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2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 函数(学生版)


函数
一、高考预测 本部分内容的主要考点是:函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的 单调性、函数的奇偶性、本部分在高考试卷中一般以选择题或填空题的形式出现,考查的重 点是函数的性质和图象的应用,重在检测考生对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度.复 习该部分以基础知识为主,注意培养用函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力.二次 函数、指数函数、对数函数是中学数学的重要函数模型,也是函数内容的主体部分,因此是 高考重点考查的对象,在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查,既有可能 在选择题、填空题中出现,也有可能在解答题中出现,从难度上看,容易题、中档题、难题 均有可能出现,以考查这些函数的图象与性质为主,同时还经常将对这些内容的考查与其他 知识融合在一起,体现知识点的交汇. 二、知识导学 要点 1:函数三要素 定义域的求法:当函数是由解析式给出时,求函数的定义域,就是由函数的解析式中所有 式子都有意义的自变量 x 组成的不等式(组)的解集;当函数是由具体问题给出时,则不仅要 考虑使解析式有意义,还应考虑它的实际意义. 求函数值域的常用方法 :观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等. 函数的表示法:函数的表示法:解析法、图象法和列表法.当一个函数在定义域的不同区 间上具有不同的对应关系时,在不同的定义域区间上的函数解析式也不同,就要用分段函数 来表示.分段函数是一个函数. 要点 2.函数的图象 1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质, 善于利用函数的性质来作图, 要合 理利用图象的三种变换.2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与 图象的关系、结合图象研究. 要点 3.函数的性质 (1)函数的奇偶性:紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数 图象的对称性等对问题进行分析转化,特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0) =0,偶函数一定有 f(|x|)=f(x)”在解题中的应用. (2)函数的单调性:一是紧扣定义;二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图 象的直观性进行分析转化.函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇,要注意 这些知识的综合运用. 要点 4.二次函数 1.求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合, 特别是含参数的两种类型: “定轴动区间,定区间动轴”的问题,抓住“三点一轴” ,三点指的是区间两个端点和区间中 点,一轴指的是对称轴. 2.注意三个“二次”的相互转化解题

3.二次方程实根分布问题,抓住四点: “开口方向、判别式Δ 、对称轴位置、区间端点 函数值正负. ” 要点 5.指数函数与对数函数 1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; 底数相同,真数不同的对 数值用对数函数的单调性进行比较.(2)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的 两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较. 2.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论,解决对数 问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解. 要点 6.函数模型的实际应用 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然

后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.明确下面的基本解题步 骤是解题的必要基础: →→→ 要点 7.函数零点 1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定; (2)零点个数的确定; (3)两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定;解决这类问题的 常用方法有:解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是那些方程两端对应的函 数类型不同的方程多以数形结合法求解。 2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范 围问题,解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不 等式求解。 3.用二分法求函数零点近似值,用二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定区间[a,b],验 证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ? ; (2)求区间(a,b)的中点 则
x1 x x1

; (3)计算 f(

x1

);①当 f( ),③若

x1

)=0,

就是函数的零点;②若 f(a)·f(
x

x1

)<0,则令 b=

x1

(此时零点

x 0 ? ( a , x1 )

f( 1 )·f(b)<0,则令 a= 1 (此时零点 近似值,否则重复以上步骤。 三、易错点点睛 命题角度 1 函数的定义域和值域

x 0 ? ( x1 , b )

)。(4)判断是否达到其精确度 ? ,则得零点

1.对定义域 Df、Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定:函数
1 x ?1
2

? f (x) ? g (x) ? ? ? f (x) ? ? g (x) h(x)= ?

当x ? D f 且x ? Dg 当x ? D f 且x ? Dg 当x ? D f 且x ? Dg

(1)若函数 f(x)= ,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数 h(x)的 值域. [考场错解] (1)∵f(x)的定义域 Df 为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定义域 Dg 为 R.
? x2 ? ?x ?1 ? 1 ? ?x ?1 ?1 ? ∴h(x)= ? x ? ( ?? ,1) ? (1, ?? ) ( x ? 1) ( x ? 1)

x

2

1

1

(2)当 x≠1 时, h(x)= x ? 1 =x-1+ x ? 1 +2≥4. h(x)= x ? 1 ∈(-∞,0)∪(0, 或 +∞). ∴h(x) 的值域为(4,+∞),当 x=1 时,h(x)=1.综合,得 h(x)的值域为{1}∪[4,+∞]. [专家把脉] 以上解答有两处错误:一是当 x∈Df 但 x ? Dg 时,应是空集而不是 x≠1.二
1

是求 h(x)的值域时,由 x≠1 求 h(x)=x-1+ +2 的值域应分 x>1 和 x<1 两种情况的讨论. [对症下药] (1)∵f(x)的定义域 Df=(-∞,1)∪(1,+∞)·g(x)的定义域是 Dg=(-∞,+
? x2 ? , ?x ?1 ? ∞).所以,h(x)= ?1, x ? ( ?? ,1) ? (1, ?? ). x ? 1.

x ?1

x

2

x

2

?1?1 x ?1

1

(2)当 x≠1 时,h(x)=
( x ? 1) 1 x ?1

x ?1

=

=x-1+ x ? 1 +2.

若 x>1,则 x-1>0,∴h(x)≥
1 x ?1

2 +2=4.当且仅当 x=2 时等号成立.若 x<1, x-1<0. 则 ∴h(x)=-[-(x-1)]+2 ≤-2+2=0.当且仅当 x=0 时等号成立.当 x=1 时,h(x)=1.综上得 h(x)的值域为(-∞,0)∪ {1}∪ [ 4, ? ? ) .
x ? 3 x ?1

[对症下药]

(1)由 2-

x ?3

≥0,得

x ?1

≥0,∴x<-1 或 x≥1.即 A=(-∞,-1)∪[1,+

∞]. (2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0, 当 a=1 时,B= ?,∵定义域为非空集合,∴a≠1.当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1),∵B ? A,
1 2 1

∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2.而 a<1,∴ 2 ≤a≤1 或 a≤-2,
1

故当 B A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ 2 ,1].
1? 2 ?1

?

3.记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 合 M,N; 集合 M∩N.M∪N.
3 3

的定义域为集合 N.求集

2

[考场错解] (1)由 2x-3>0 解得 x> 2 .∴M={x|x> 2 }.由 1- x ? 1 ≥0 得 x-1≤x-3∴-1≤ -3.∴N= ?.
3

(2)∴M∩N=?.M∪N={x|x> 2 }.
2

[专家把脉] 求集合 N 时解不等式 1f (x)

x ?1

≥0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向,不符

合不等式性质,应先移项化为 g ( x ) ≥0 的形式再转化为有理不等式,求解,另外定义域不可能 为非空集合.∴N=? 显然是错误的.
3 3 2

[对症下药] (1)由 2x-3>0,得 x> 2 .∴M={x|x> 2 }.由 1- x ? 1 ≥0 得

x?3

? ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0 ? 0 ? ? x ?1 ?x ? 1

∴x≥3 或 x<1.∴N={x|x≥3 或 x<1}.
3 3

(2)∴M∩N={x|x> 2 }∩{x|x≥3 或 x>1}={x|x≥3}.M∪N={x|x> 2 }∪{x|x≥3 或
3

x>1}={x|x> 2 或 x<1}. 4.若集合 M={y|y=2 },P={y|y= x ? 1 },则 M∩P 等于 ( ) A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} [考场错解] 选 A 或 B
-x

[专家把脉]错误地认为是求函数 y=2 和 y= x ? 1 的定义域的交集.实际上是求两函数的 值域的交集. [对症下药] ∵集合中的代表元素为 y,∴两集合表示两函数的值域,又∴
-x

M={y|y=2 }={y|y>0},P={y|y= x ? 1 }={y|y≥0}.∴M∩P={y|y>0},故选 C. 专家会诊 1。对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围,必须 对字母酌取值情况进行讨论,特别注意定义域不能为空集。2.求函数的值域,不但要重视对 应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用. 命题角度 2 函数单调性的应用 2 x 1.已知 a≥0,且函数 f(x)=(x -2ax)e 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围. x 2 x x 2 [考场错解] ∵f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1,1]上是 单调函数, x 2 x f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立.即 e [x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. ∵e >0,
-x

g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立.即
? 2 (1 ? a ) ?1 ?? 2 ? ? g (1) ? 0 . ?

2

? 2 (1 ? a ) ? ?1 ?? 2 ? ? g ( ? 1) ? 0 ?

或△=4(1-a) +8a<0 或

2

解得:a∈?.故 f(x)在[-1,1]上不可能为单调函数. [专家把脉] 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数,其实 f(x)还有 可能为单调减函数,因此应令 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 x x 2 [对症下药] f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1,1]上是单调函数.(1)若 f(x)在[-1,1]上是单调递增函数. x 2 x 则 f′(x)≥0 在[-1, 1]上恒成立, e [x +2(1-a)x-2a]≥0 在[-1, 即 1]上恒成立. >0. ∵e ∴ g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立,则有 解得,a∈?.
2

?a ? 1 ? ?1 ? ? g ( ? 1) ? 0

或△=4(1-a) +8a<0 或

2

?a ? 1 ? 1 ? ? g (1) ? 0

问的条件当成第(2)问的条件,因而除了上述证明外,还需证明 x0<-1 时,方程也没有负根.
x2 ? 2

[对症下药] (1)设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=a +
x2 ? 2
x2 x1

x2

x2 ? 1

?a

x1

?

x1 ? 2 x1 ? 1

=
3 ( x 2 ? x1 )

( x 2 ? 1)( x 1 ? 1) a -a + x 2 ? 1 x 1 ? 1 =a (a -1)+ =a (a )+ ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) .∵ x2-x1 x2-x1>0,又 a>1,∴a >1.而-1<x1<x2.∴x1+1>0,x2+1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0∴f(x)在(-1, +∞)上为增函数.
x1 x2-x1 x1 x2-x1

?

x1 ? 2

( x 1 ? 1)( x 2 ? 2 ) ? ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 1)

x0 ? 2

2 ? x0

(2)设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根,则有 a + 显然 x0≠-1, 当 0>x0>-1 时,1>x0+1>0,

x0

x0 ? 1 3 1 ? x0

=0.即 a =
3

x0

x0 ? 1

?

3 ? (1 ? x 0 ) x0 ? 1
1

?

3

-1+
xO

x0 ? 1

.

>3,-1+
3 1 ? x0

1 ? x0

>2.而 a <a <1.这是不可
3

能的, 即不存在 0>x0>-1 的解. x0<-1 时. 0+1<0 当 x 不存在 x0<-1 的解.
3

<0, -1+
1

1 ? x0

<-1, a >0 矛盾. 而 即

x0

3.若函数 f(x)=l0ga(x -ax)(a>0 且 a≠1)在区间(- 2 ,0)内单调递增,则 a 的取值范围 是 ( )
1 3 4 9 4 9

A.[ ,1]
4

B.[ ,1] C.[ ,+∞]

D.(1,- 4 )
1
3 3

[考场错解] A 当 a∈(0, 1)时, 要使 f(x)=loga(x -ax)在区间(- 2 , 0)上单调递增. ∴x -ax
1 2 1 2
3

1 2

1 4

1
3

>0 在(- ,0)上恒成立,∴(- ) + a≥0 a≥ .综合得 a∈[ 4 ,1].当 a>1 时,x -ax>0
1

在(- 2 ,0)上不可能成立. [专家把脉] 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断,而只是考虑函数的 定义域,这样的答案肯定是错误的.

1

[对症下药]
1 2

设?

(x)=x -ax 当 0<a<1 时,依题意,(x)在(- 2 ,0)上单调递减且 ? (x)在
3

1

1

(- ,0)上大于 0. 0)上恒成立.
1 2

∵?

′(x)=3x
3

2

-a.即 ?

′(x)≤0 在(3 4

2

,0)上恒成立 ?
3

a≥3x 在(- 2 ,

2

∵x∈(- ,0)∴3x ∈(0, ). ∴a≥
4
1

2

.此时 ?
1 2

(x)>0.∴ 4 ≤a<1. 当 a>1 时, ? (x)
1
2

在(- ,0)上单调递增, 上恒成立.
2
3
2

∴?

′(x)=3x -a≥0 在(- ,0)上恒成立. ∴a≤3x 在(- 2 ,0)
3

2

又 3x ∈(0, 4 )·∴a≤0 与 a>1 矛盾. ∴a 的取值范围是[ 4 ,1].故选 B. 专家会诊 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行,因此讨论函数的单调性必须求函数定 义域. 2.函数的单调性是对区间而言的,如果 f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函 数,不能说 f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是增(减)函数. 3.设函数 y=f(u),u=g(x)都 是单调函数,那么复合函数 y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数.若 y=f(u)与 u=g(x)的单 调性相同,则复合函数 y=f[g(x)]是增函数;若 y=f(u),u=g(x)的单调性相反,则复合函数 y=f[g(x)]是减函数.列出下表以助记忆. y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)] ↗ ↗ ↘ ↗ ↘ ↘ ↗ ↘ ↗

↘ ↗ ↘ 上述规律可概括为“同性则增,异性则减” . 命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 1.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,4]时,f(x)=x-2.则 (
1 1

)
3

?
3

?

A.f(sin 2 )<f(cos 2 ) B.f(sin
3

)>f(cos

3

) C.f(sin1)<f(cos1) D.f(sin 2 )

<f(cos 2 ) [考场错解] A 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期.设 x∈[-1,0]知 x+4∈[3, 4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1, 0]上是增函数又 f(x)为偶函数. ∴f(x)=f(-x)
1 1
?

1

∴x∈[0,1]时,f(x)=x+2,即 f(x)在[0,1]上也是增函数.又∵sin 2 <cos 2
1

f(sin 2 )

<f(cos 2 ). [专家把脉] 上面解答错在由 f(x)=f(-x)得 f(x)=x+2 这一步上,导致错误的原因主要是 对偶函数图像不熟悉. [对症下药] C 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3, 4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数.又∵f(x)为偶函数,∴f(x) 的图像关于 y 轴对称. ∴f(x)在[0,1]上是减函数.
1 2 1 2 ? 1 2 1 2

?
3

2 3 ?

?
3

?

A:sin <cos f(sin )>f(cos ) B:sin >cos f(sin )>f(cos 3 ). ? f(sin1)<f(cos1).故正确答案 C. C:sin1>cos1 2.(典型例题)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)

[考场错解] C f(-x)=f(x)<0=f(2).∴x>2 或 x<-2. [专家把脉] 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反.错误地认为 f(x)在 [0,+∞]上仍是减函数,导致答案选错. [对症下药] D ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x)<0.f(|x|)<f(2).又 ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)在[0,+∞]上是增函数,|x|<2 ? -2<x<2.选 D.
1

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图像关于直线 x= 2 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______ [考场错解] 填-f(0)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).又 f(x)的图像关
1

于 x= 2 对称. ∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0. ∴f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) [专家把脉] 上面解答忽视了奇函数性质的运用.即 f(x)在 x=0 处有定义 ? f(0)=0. [对症下药] 填 0 依题意 f(-x)=-f(x).f(x)=f(1-x).∴f(-x)=-f(1-x) 即 f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0, f(3)+f(2)=0. f(1)+f(0)=0. 又∵f(x) 在 x=0 处有定义,∴f(0)=0∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上, 只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005, 2005]上根的个数,并证明你的结论. [考场错解] 依题意 f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x).∴f(4-x)=f(14-x),∴f(x)=f(x+10) ∴f(x)是以 10 为周期的函数,f(3)=0.∴f(-3)=f(7)=0.∴f(3)=f(-3)=-f(3).∴f(x)既是 奇函数又是偶函数. (2)由(1)知 f(x)是周期为 10 的周期函数,又 f(3)=f(1)=0,∴ f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]上有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 401 个解.[-2005, 0]上有 401 个解,所以函数丁 y=f(x)在[-2005,2005]上有 802 个解. [专家把脉] (1)对题意理解错误,题设中“在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0”说 明除了 f(1)、f(3)等于 0 外再不可能有 f(7)=0.(2)因 f(x)在 R 上既不是奇函数,又不是偶 函数.不能认为 x∈[0,10],[-10,0]上各有两个解,则认为在[0,2005]与在[-2005,0] 上解的个数相同是错误的,并且 f(x)=0 在[0,2005]上解的个数不是 401 个,而是 402 个.

A.a∈(-∞,1) B.a∈[2,+∞] C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1)∪[2,+∞] [考场错解] 选 A 或 B ∵a∈(-∞,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数.∴f(x)存在反

函数.当 a∈[2,+∞).对称轴 x=a 在区间[1,2]的右侧,∴f(x)在 [1,2]上是减函数.∴ f(x)存在反函数. [专家把脉] 上面解答只能说明 A 或 B 是 f(x)存在反函数的充分条件, 并不是充要条件. [对症下药] ∵一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单 调函数. ∴对称轴 x=a 不应在(1,2)内,∴a≤1 或 a≥2.故选 C. 2. y= A.y=1+ C.y=12x ? x 1? x 1? x
2 2

(1≤x≤2)的反函数是 (-1≤x≤1) (-1≤x≤1)
2 2

(
1? x 1? x
2

) (0≤x≤1) (0≤x≤1)
1? y
2

B.y=1+ D.y=12

2

2

[考场错解] C ∵y =2x-x .∴(x-1) =1-y .∴x-1=2
2

2

,∴x=1-

1? y
2

2

.x、y 对换

得 y=1- 1 ? x 又 1-x ≥0.∴-1≤x≤1.因而 f(x)的反函数为 y=1- 1 ? x (-1≤x≤1). 2 2 [专家把脉] 上面解答有两处错误(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0.由(x-1) =1-y 开方取“正 号”而不是取“负号” ;(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到,而不是由反函数 解析式确定. [对症下药] B 由 y= ∴x-1= ≤x≤2).
1? y
2

2x ? x
2

2

?

(x-1) =1-y .∴x∈[1,2]x-1∈[0,+∞].
1? x
2

2

2

?

=1+

1? y

.x、y 对换得 y=1+

又∵y=
1? x
2

2x ? x

2

?

? ( x ? 1)

2

?1

(1

∴0≤y≤1 即原函数值域为[0,1].所以反函数为 y=11
-1 x -x

(0≤x≤1).选 B.

3. 设 f (x)是函数 f(x)= 2 (a -a )(a>1)的反函数,则使 f (x)>1 成立的 x 的取值范 围为 ( )
a
2

-1

?1

a

2

?1

a

2

?1

A.(

2a

,+∞) B.(-∞,
1 2
x

2a

)
2x

C.(
x

2a

,a)
x

D.(a,+∞)
2y ? 2 y 2
-1

2

?1

[考场错解] C ∵y= x=loga(y+
y
2

(a -a ),∴a -2y·a -1=0.a =
-1

-x

=y+

y

2

?1

.∴
x
2

?1

), y 对换. (x)=loga(x+ x、 ∴f
?x ? a ? 2 ? ? a ?1 ?x ? ?1 2a >a-x ?

x

2

?1

)(x∈R)又∵f (x)>1, ∴loga(x+
?1

?1

)

a

2

>1 ?

x

+

x

2

?1

>a.

x

2


x
2

2a

<x<a.选 C.
x
2

[专家把脉] 上面解答错在最后解不等式
?a ? x ? 0 ? 2 ? a ?1 ?x ? 2a 等价于 ?

?1

>a-x,这一步,因为 x+

?1

>a-x 应

或 a≤x.错解中只有前面—个不等式组.答案显然错了.
1

2y ? 2
x -x

y 2

2

?1

[对症下药] A 解法 1 ∵y= (a -a
2

)?
x

a -2y·a -1=0,a =
2

2x

x

x

=y+

y

2

?1

∴x=loga(y+ ∴loga(x+ x<+∞.
3
2

y

2

?1

).∴f (x)=loga(x+
x
2

-1

?1

)(x∈R).∵f (x)>1 <

-1

?1

)>1 ?

x+

?1

>a ?

x

2

2 ? a ?1 ?a ? x ? 0 或a ? x ? 0 ? ? 2 2 2a ? x ? 1 ? (a ? x) ?1 >a-x ? ?

1

解法 2:利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系.原题等价于 x>1 时,f(x)= 2 (a -a )

x

-x

1
x -x

1

1

a

2

?1

的值域,∴f(x)= 2 (a -a )在 R 上单调递增.∴f(x)> 2 (a- a )= 2 a .选 A. -1 -1 4. 设函数 f(x)的图像关于点(1, 2)对称, 且存在反函数 f (x), f(4)=0, (4)=________. f -1 [考场错解] 填 0 ∵y=f(x)的图像关于点(1, 2)对称, 又∵f(4)=0, ∴f(0)=4, ∴f (4)=0 [专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上,因为 f(x)图像关 于点(1,2)对称不是关于 y=x 对称,因此应找出图像过点(-2,4)是关键. [对症下药] 填-2. 解法 1 ∵f(4)=0, ∴f(x)的图像过点(4, 又∵f(x)的图像关于点(1, 0). 2)对称, ∴f(x) -1 的图像过点 (2-4,4-0)即(-2,4).∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 解法 2 设 y=f(x)上任一点 P(x、y)关于点(1,2)对称的点为 P′(2-x,4-y).依题意 4-y=f(2-x),∴4-f(x)=f(2-x) ? f(x)+f(2-x)=4.令 x=4.∴f(4) +f(-2)=4.又 f(4)=0,∴ -1 f(-2)=4.∴f (4)=-2. -1 专家会诊 1.求反函数时必须注意:(1)由原解析式解出 x=f (y),如求出的 x 不唯一,要 根据条件中 x 的范围决定取舍, 只能取一个; (2)要求反函数的定义域, 即原函数的值域. 2. 分 段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成. 3.若点(a,b)在原函数 y=f(x) -1 的图像上,则(b,a)在反函数 y=f (x)的图像上.

解法 2:依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x2+tx+t,f′(x)=-3x +2x+t, 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒有 f′(x)≥0,∵f′(x)的图像是开口向 下的抛物线. t≥5 时,f′(x)在(-1,1)上满足 f′(x)>0.即 f(x)在(-1,1)上是增函数.故 t 的取值范围是[5,+∞].
3 2
2

2

3

2

? f ? (1) ? t ? 1 ? 0 ? ? ? ∴当且仅当 ? f ( ? 1) ? t ? 5 ? 0

1 6

2.已知函数 f(x)=ax- x 的最大值不大于 ,又当 x∈
1

?1 1? ? , ? ?4 2?

1

时,f(x)≥ 8 .
1 n ?1 1

(1)求 a 的值; [考场错解] ≤1 ①

(2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n ∈N ,证明:an<
2 3
2

*

.
2

3

1
2

a

2

a

2

第(1)问,∵f(x)=ax- 2 x =- 2 (x- 3 a) +

6

. ∴

6

≤ 6 ,即 a ≤1 ? -1≤a

又当

?1 1? ? , ? x∈ ? 4 2 ?

1

1

时,f(x)≥ 8 ,即 f(x) ≥
1 1 a ? 3 32 ? 1 8
?1 1? ? , ? ?4 2?

?1 1? ? , ? 8 在?4 2?

?1 1? ? , ? 上恒成立 ? 8 ≤f(x)在 ? 4 2 ?

1

上的最

1

小值为 f( 4 ) [专家把脉]
1 1

∴f( 4 )≥ 8 .即 4

? a

7

7

≥8 .



综合,①,②知 8 ≤a≤1.
a 3

上面解答错在 f(x)在

的最小值的计算上,由①得-1≤a≤1.∴



(- 3 , 3 ),
a 1 2 1 2 1

∴对称轴 x=

3

离端点 较远,因此,f(x)的最小值应是 f( ).而不是 f( 4 ).
3 3
2

a
2

a

2

[对症下药]

(1)由于 f(x)=ax- 2 x =- 2 (x- 2 ) +
a
2

6

a

2

1

∴f(x)的最大值为 又 x∈
?1 1? ? , ? ?4 2?

6

.∴
1 8

6

≤ 6 ,即 a ≤1.∴-1≤a≤1
1 8
?1 1? ? , ? ?4 2?

2

1

时,f(x)≥ ,即 f(x)≥ 在
1 3
?1 1? ? , ? ?4 2?

上恒成立.∴ 8 ≤[f(x)]min.由①得-1
1 a 2 3 a 2 3 2

1 3

≤a≤1.∴- ≤a≤ .∴f(x)在 ② 由①,②得 a=1.
1 2

上的最小值为 f( )=

- .∴8

≥ .解得 a≥1
8

1 n ?1

2

(2)(i)当 n=1 时,0<a1< , 不等式 0<an<
1 1

成立.因 f(x)>0, x∈(0,3 ), 所以 0<a2=f(a1)

≤ 6 < 3 .故 n=2 时,不等式也成立.
1 3
2

1

(ⅱ)假设 n=k(k≥2)时, 不等式 0<ak< k
1 1 ?1 1

?1

成立, 因为 f(x)=x- 2 x 的对称轴 x= 3 知 f(x)
1 ?1

在[0, 3 ]上为增函数,所以 0<ak< k
1 3

≤ 3 得 0<f(ak)<f( k
1 ? 1 k ? 2 ? 1 k ? 2 ?

)
2

1 ( k ? 1)
2

?

k ? 4 2 ( k ? 1) ( k ? 2 )

于是有 0<ak+1<

k ?1

- ·
2

k ? 2

?

1 k ? 2

.
1 n ?1

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任何 n∈N ,不等式 an< 立.

*



3.已知函数 f(x)的二项式系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方 程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解 (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 2 2 [考场错解] (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).∵f(x)+2x=ax +(b+2)x+c>0 的解集.为(1,3),
? b? 2 ?1? 3 ? 4 ?? ?b ? ? 4 a ? 2 ? a ? ? ? a ?c ? 3a. ? ? 1? 3 ? 3 ?c ? 的两根,∴

∴1、3 是方程 ax +(b+2)x+c=0 2 2 ∴f(x)=ax -(2+4a)x+3a ① 由方程 f(x)+6a=0 得 ax -(2+4a)x+9a=0 ②
1

2

∵方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a·9a=0 即 5a -4a-1=0,解得 a=1 或 a=- 5 .
1 6
2

2

2

3

∴f(x)的解析式为 f(x)=x -6x+9 或 f(x)=1 ? 2a

2

5

x - 5 x- 5 .
? 4a ? 1 a a
2

a

2

? 4a ? 1 a

(2)由 f(x)=ax -(2+4a)x+3a=a(x-

2

a

)-

2

可得 f(x)的最大值为-



a

2

? 4a ? 1 a

令-

>0 ? a(a+2+

3

)(a+2-

3

)<0 解得 0<-2-

3

或-2+

3

<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3 )∪(-2+ 3 ,0). [专家把脉] 上面解答由 f(x)+2x>0 的解集为(1,3).忽视了隐含条件 a<0.所以(1)
a
2

? 4a ? 1

a 应舍去 a=1.另外第(2)问若没有 a<0 这个条件,也不能说 f(x)的最大值是,从而 很不容易求得 a 的范围. [对症下药] (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且 a<0,因而 2 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax -(2+4a)x+3a ① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax -(2+4a)x+9a=0 ② 2 2 因为方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a·9a=0.即 5a -4a-1=0,解得 a=1 或
1

a=- 5 .
1 1 5
2

6 5

3 5

由于 a<0,舍去 a=1.将 a=- 代入①得 f(x)的解析式为 f(x)=5
1 ? 2a

x - x- .

a

2

? 4a ? 1 a

(2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a(xa
2

2

2

)-

2

及 a<0,可得 f(x)的最大值为

-

? a 2 ? 4a ? 1 ?? ? 0 ? a ? 4a ? 1 ? a .由 ? a ? 0 .

, 解得 a<-2-

3

或-2+

3

<a<0.

专家会诊 利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况, 还可以 讨论二次函数在闭区间上的最值.对于根的分布问题,一般需从三个方面考虑:①判别式;
b

②区间端点函数值的正负;③对称轴 x=- 2 a 与区间端点的关系.另外,对于二次函数在闭区 间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解. 命题角度 6 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 |lnx| 1.函数 y=e -|x-1|的图像大致是 ( ) [考场错解] 选 A 或 B 或 C |lnx| [专家把脉] 选 A, 主要是化简函数 y=e -|x-1|不注意分 x≥1 和 x<1 两种情况讨论,
1

选 B,主要是化简时错误地认为当,x<1 时,e 误.

|lnx|

-|x-1|=-

x

.选 C,主要时当 x≥1 时化简错

[对症下药] D ∵f(x)=e -|x-1|= 作出其图像即可 x 2 2.(典型例题)在 y=2 ,y=log2x,y=x ,y=cos2x 这四个函数中,当 0<x1<x2<1,使
? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? f? 2 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

|lnx|

1 ? ? 1, ( x ? 1 ) ?x ? x ? ?1, ( x ? 1) ?

恒成立的函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [考场错解] C [专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误.由题设条件知 F(x)在(0,1)上是凸函数,
2

>

?

?

认为 y=log2x 和 y=cos2x 在(0,1)上是凸函数.其实 y=cos2x 在(0, 1)是凹函数. [对症下药] B 根据条件, 0<x1<x2<1, 当 使
? x1 ? x 2 ? ? f? 2 ? ? ? ?

4

)是凸函数,在(

4



f ( x1 ) ? f ( x 2 )

>

2

恒成立知 f(x)在(0,

?

1)上是凸函数,因此只有 y=log2x 适合.y=2 和 y=x 在(0,1)上是函数.y=cos2x 在(0,
?

x

2

4

)

是凸函数,但在(

4

,1)是凹函数,故选 B.
1
2

3.若函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, 增区间为
1 4 1 4

2

)内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递
1

A.(-∞,- ) B.(- ,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,- 2 ) [考场错解] 选 A 或 C [专家把脉] 选 A,求 f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误;选 C,求复合函 数的单调区间时没有注意内、 外层函数均递减时, 原函数才是增函数. 事实上 (0, +∞)是 f(x) 的递减区间.
1

[对症下药]
1

D ∵f(x)=loga(2x +x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, 2 )内恒有 f(x)>0,若 a>1,
1
2 2

2

1

则由 f(x)>0 x> 2 或 x<-1.与题设矛盾.∴0<a<1.设 ? (x)= 2x +x=2(x+ 4 ) - 8 . ? (x)>0 ? x>0
1 1

或 x<- 2 .∴f(x)在(-∞,- 2 )内是增函数. x -1 4. 已知函数 f(x)=ln(e +a)(a>0) (1)求函数 y=f(x)的反函数 y=f (x)及 f(x)的导数 f′ f-1 (x). (2)假设对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)].不等式|m- (x)|lnf′(x)<0 成立.求实数 m 的取值范围. x y -1 x [ 考 场错 解 ] (1) 由 y=f(x)=ln(e +a) 得 x=ln(e -a) .∴f (x)=ln(e -a)(x>lna),f ′
e
x

(x)=[ln(e +a)]′= e
-1

x

x

? a. e
x

e

x

(2)由|m-f (x)|+ln[f′(x)]<0 得-ln e
e
x

x

? a.

+ln(e -a)<m<ln(e -a)+ln e
e
x x

x

x

x

? a.

在(ln(3a),

ln(4a))上恒成立.设 h(x)=ln(e -a)+ln e 且 m>[S(x)]max
a

x

x

? a.

. S(x)=-ln e

? a.

+ln(e -a).即 m<[h(x)]mni.

x

∵ S(x) , h(x)=ln(e -a)+ln(1+
4 3 8 3

x

e

x

) 在 [ln(3a) , ln(4a)] 上 是 增 函 数 . ∴
5 4 12 5 12 5 8

[h(x)]min=ln(2a)+ln =ln( a). [S(x)]max=ln(3a)-ln =ln( a) ∴ln( a)<m<ln( 3 a). [专家把脉] 错在第(2)问 h(x),S(x)在(ln(3a),ln(4a))上是增函数没有根据.应用定 义法或导数法判定后才能用这一结论. x y -1 x [对症下药] (1)由 y=f(x)=ln(e +a)得 x=ln(e -a)∴y=f (x)=ln(e -a)(x>lna), f′(x)=
e e
x x

? a.

.

e
x

x

e ?a e ? a -1. 由 ? ′(x)= e ? a e ? a +1, x x x ? ′(x)>0,r′(x)>0,从而可知 ? (x)与 r(x)均在[ln(3a), 注意到 0<e -a<e <e +a,故有
x x x

?

e

x

r ?( x ) ?

e

x

?

e

x

12

h(4a)]上单调递增,因此不等式③成立,当且仅当 ?
8

(ln(4a))<m<r(ln(3a)),即 ln(

5

a)<

m<ln( 3 a). 专家会诊 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时,首先要弄清复合函数的构成,然 后转转化为基本初等函数的单调性加以解决,注意不可忽视定义域,忽视指数和对数的底数 对它们的图像和性质起的作用. 命题角度 7 函数的应用 2 1.某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x , 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为 ( ) A.45.606 B.45.6 C.46.8 D.46.806 [考场错解] D 设 甲 地 销 售 x 轴 , 则 乙 地 销 售 15-x 辆 . 总 利 润 2 L=L1+L2=5.06x-0.15x +2(15-x)=
51

-0.15x +3.06x+30=-O.15(x51

2

5

) +46.806

2

∴当 x=

5

时,获得最大利润 46.806 万元.故选 D.
51

[专家把脉]
51

上面解答中 x=

5

不为整数,在实际问题中是不可能的,因此 x 应根据抛物

线取与 x= 5 接近的整数才符合题意. [对症下药] B 设 甲 地 销 售 x 辆 . 则 乙 地 销 售 (15-x) 辆 , 则 总 利 润 2 L=L1+L2=5.06x-0.15x +2(15-x)=

-0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2) +46.806. 根据二次函数图像和 x∈N ,∴当 x=10 时, 2 获得最大利润 L=-0.15×10 +3.06×10+30=45.6 万元.选 B. 2.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元) 与年产量 t(吨)满足函数关系 x=2000 为赔付价格).
t

2

2

*

,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S

[对症下药] (1)解法 1 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:W=2000-St
2000

t ?

2000 S 2

2

?

t )

∵W=2000
1000

t

-St=S

t

(

S

-

t

)≤S

(

1000

2000

=(

S

) 当且仅当
1000 S
2

2

t

=

S

-

t



t=(

S

) 时,W 取得最大值. ∴乙方取得最大年利润的年产量 t=(
2

2

) 吨.
t

解法 2 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为 W=2000
1000
1000

-St.

1000

∴W=2000

t

-St=-S(

t

-

S

)+

2

S

∴当 t=(
1000 S

S

) 时,w 取得最大值.

2

∴乙方取得最大年利润的年产量 t=(
1000 ? S

) (吨)
t

2

解法 3 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:w=2000
1000

-St.

t

1000

由 w′=

t

-S=

t

,令 w′=0 得 t=t0=(

S

) . t<t0 时, 当 w′>0; t>t0 时, 当 w′<0. 所
1000 S

2

以 t=t0 时 w 取得最大值.因此乙方取得最大年利润的年产量 t0=(
1000

) 吨.

2

设甲方净收入为 v 元,则 v=St-0.002t . 将 t= (
1000
2

2

S

) 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔
1000
2 3

2

2 ? 1000
4

3

?

8 ? 1000
5

3

?

1000

2

( 8000 ? S )
5

3

S S 付价格 S 之间的函数关系式 v= S - S .又 v′=- S -令 v′=0 得 S=20,当 S<20 时,v′>0;当 S>20 时,v′<0,∴S=20 时,v 取得最大值.因此甲

方向乙方要求赔付价格 S=20(元/吨)时,获得最大净收入. 3.某段城铁线路上依次有 A,B,C 三站,AB=5km,BC=3km 在列车运行时刻表上,规定列 车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行时, 假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm/h,匀速行驶, 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误 差. (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差 之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围.
5 v 8

[考场错解] (1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是| -7|和| v -11|
5 8

(2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,所以| v -7|+| v -11|≤2(*)
5 5 8 13 5 5 8

当 0<v≤ 7 时,(*)式变形为 v -y+ v -11≤2
5 8 5 8 8

解得 20 ≤v≤ 7 .当 7 <v≤ 11 时,(*)式变形为
5 8 8 13

7- v + v -11≤2, 解得 7 <v≤ 11 .当 v> 11 时, (*)式变形为 7- v +11- v ≤2.解得 11 <v≤ 16 . 综
13 13

上所述,v 的取值范围[ 20 , 16 ]. [专家把脉] 上述解答错在单位不统一,应将速度 v(km/h)化为 v(60km/分).由于一开始 出现错误,导致后面结果全是错误的.
300 480

[对症下药] (1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是[
300 480

v

-7]和[

v

-11]

(2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,∴|
300 300 480

v

-7|+|
7

v

-11|≤2(*) .
480

300

当 0<v≤
300

7

时,(*)式变形为
480 11

v

-7+
300 v

v

-11≤2,解得 39≤v≤
300 v

480

480



7

<v≤
300 v

,(*)式变形为 7480 480 v

+

-11≤2,解得

7

<v≤

v

当 v>

11

时,(*)式变

195

195

形为 7-

+11-

≤2,解得

11

<v≤ 4 ,综上所述,v 的取值范围是[39, 4 ] 4.某人在一山坡 P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔.如图 所 示 , 塔 及 所 在 的 山 崖 可 视 为 图 中 的 竖 直 线 OC , 塔 高 BC=80(米),山高 OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山 坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上,l 与水平地面的夹角为
1

α ,tanα = 2 .试问,此人距山崖的水平距离多远时,观看 塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)? [考场错解] 如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0),B(0,220),C(0,300)
x ? 200

直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα ,即 y=
x ? 200

2

.设此人距山崖的水平距离为 x,

则 P(x,
x ? 200 2

2

)(x>200),由经过两点的直线的斜率公式
x ? 800 , x ? 640

? 300

kPC= 得:

x

=

2x

kPB=

2x

.由直线 PC 到直线 PB 的角的公式
160

k PB ? k PC 1 ? k PB k PC

?

tan ∠BPC=
64 x

64 x 2x ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x

设 u=

x

2

? 288 x ? 160 ? 640

.( x ? 200 ).

∴ux -(288u-64)x+160×640u=0

2



∵u≠0∵x∈R.△=(288u-64) -4×160×640u ≥0. 解得 u≤2. 当 u=2 时,x=320.即此人距山崖 320 米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. [专家把脉] 上述解答过程中利用 x∈R 由判别式法求 u 的最 大值是错误的,因为 x>200,即由判别式求得 u 的最大值,还 必须检验方程①的根在(200,+∞)内. [对症下药] 如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200, 0),B(0,220),C(0,300).直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα ,
x ? 200

2

2

即 y=

2

.
x ? 200 2

设此人距山崖的水平距离为 x,则 P(x, 200).由经过两点的直线的斜率公式
x ? 200 2 ? 300 ? x x ? 200 x ? 800 2x 2 ? 220 ? x x ? 640 2x

)(x>

kPC=

,kPB=
? 1? 2x x ? 800 2x

.由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得
64 x ? 288 x ? 160 ? 640 ? x? 64 160 ? 640 x ? 288 ( x ? 200 ).

k PB ? k PC 1 ? k PB ? k PC

tan∠BPC=

?

x ? 640 2x

x

2

=
? 288

160 ? 640

要使 tan∠BPC 达到最大,只须 x+
160 ? 640

x

达到最小.由均值不等式
160 ? 640 x

x+

? 288

x

≥2

160 ? 640 ? 288

,当且仅当 x=
?

时上式取得等号.故当 x=320 时

tan∠BPC 最大.由此实际问题知,0<∠BPC< 2 ,所以 tan∠BPC 最大时,∠BPC 最大,故当此 人距山崖水平距离为 320 米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. 5.某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 件需要增
x
2

加投入 0.25 万元,市场对此产品的需要量为 500 件,销售收入为函数为 R(x)=5x- 2 (0≤x ≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百件). (1)把利润表示为年产量的函数 f(x).(2) 年产量是多少时,当年公司所得利润最大? (3)年产量是多少时,当年公司不亏本?(取
21 . 5625

=4.65).
x
2

[考场错解] (1)设年产量为 x(百件),所以 f(x)=5x1 21 . 5625

2

(0.5+0.25x)
1

(2)f(x)=元)

2

(x-4.75) +
1

2

2

∴当 x=4.75(百件)时[f(x)]max= 2 ×21.5625=10.78125(万
21 . 5625
2

(3)∵f(x)≥0,∴ 2 (x-4.75) + 2 ≥0,解得 0.1≤x≤9.4 ∴年产量 10 件到 940 件 之间不亏本. [专家把脉] 上述解答忽视了“市场对产品的需要量为 500 件”条件,事实上,当产品
x
2

生产量超过 500 件时,市场销售最多只能是 500 件,事实上,因此,这时不能用 R(x)=5x表示收入,而是 R(5).
2 ? x ?5 x ? ? ( 0 . 5 ? 0 . 25 x ), (0 ? x ? 5) ? 2 ?12 ? 0 . 25 x , ( x ? 1) f(x)= ?

2

[对症下药]

(1)设年产量 x(百件),所以
x
2

1

21 . 5625
2

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-5x-

2

(0.5+0.25x)=- 2 (x-4.75) +

2

1

∴当 x=4.75(百件)时,[f(x)]max= 2 ×21.5625(万元)
1 2 1

当 x>5 时,f(x)=12-0.25x<12-1.25< ×21.5625∴x=4.75 时,[f(x)]max= 2 ×21.5625 即年产量是 475 件时,当年公司所得利润最大.
1 2
2

21 . 5625 2

(3)当 0≤x≤5 时,由 f(x)≥0,- (x-4.75) + ∴0.1≤x≤5.(ⅱ)当 x>5 时,12-0.25x≥0 ? 5<x<48. 综合得 0.1≤x≤48. 即生产量在 10 件到 4800 件不亏本. 专家会诊 与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题, 也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题,解答这类问题的关键是建立相关函数的解 析式,然后应用函数知识加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去,看是否符合 实际问题. 四、典型习题导练
? 2 e x ? 1 , x ? 2, ? f (x) ? ? 2 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 . ?

? 0 .1 ? x ? 9 .4 ? ? ≥0 ? 0 ? x ? 5

1、

则 f ( f (2)) 的值为

.

2、已知 f ( x ) 是定义在 (0, ? ? ) 上的单调递增函数,且满足 f (3 x ? 2 ) ? f (1) ,则实数 x 的取 值范围是

A. ( ? ? ,1)
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

?2 ? ? ,1 ? B. ? 3 ?

?2 ? ? , ?? ? ? C. ? 3

D. (1, ? ? )

3、定义函数 y ? f ( x ), x ? D ,若存在常数 C,对任意的 x 1 ? D ,存在唯一的 x 2 ? D ,使得
?C

,则称函数 f ( x ) 在 D 上的均值为 C.已知 f ( x ) ? lg x , x ? [10 , 100 ] ,则 )
3

函数 f ( x ) ? lg x 在 x ? [10 , 100 ] 上的均值为(
7 3

A. 10

B. 4
2

C. 2
? x log
2

D.10
a 的解集为非空集,则实数 a 的取值范围

4、若关于 x 的不等式 | x ? 2 x | ? 是_________
x

2

5、已知 f ( x ) ? 2 ? 1 , g ( x ) ? 1 ? x ,规定:当 | f ( x ) |? g ( x ) 时, h ( x ) ? | f ( x ) | ;当
| f ( x ) |? g ( x ) 时, h ( x ) ? ? g ( x ) ,则 h ( x )

A. 有最小值 ? 1 ,最大值 1 C. 有最小值 ? 1 ,无最大值

B. 有最大值 1,无最小值 D. 有最大值 ? 1 ,无最小值

x , x ? (?? , 0) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 6、下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意的 1 2 ,当 1 时,总有 ” 的是( )

A. f ( x ) ? ( x ? 1)

2

B. f ( x ) ? ln ( x ? 1)
5

f (x) ?

1 x

C.

D. f ( x ) ? e

x

1 ? ? 2 7、已知 ? x ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x ) 是以 T 为周期的 偶函数,且当 3 ? 5x ? ? x ? [0,1] 时, f ( x ) ? x ,若在区间 [ ? 1, 3] 内,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数

k 的取值范围是


x

8、已知函数

f

? x ? ? lo g 2



g ?x? ? ?x ? 2
2

,则

f

? x ? ? g ? x ? 的图象只能是(



① A. ① B. ②

② C. ③

③ D. ④



f ? x ? 2? 9、已知函数 f ( x ) 是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 = f ( x ) ,且当

x∈[0,2)时,
A.-2

f

? x ? =log2(x+1),则 f ? ? 2 0 1 1 ? ?
B.-1 C.2

f ? 2012 ?

的值为(



D.1
x ?1

10、如果直线 2 ax ? by ? 14 ? 0 ( a ? 0, b ? 0 ) 和函数 f ( x ) ? m
2 2

? 1 ( m ? 0, m ? 1) 的图像恒
b

过同一个定点,且该定点始终落在圆 ( x ? a ? 1) ? ( y ? b ? 2 ) ? 2 5 的内部或圆上,那么 a 的 取值范围是________.
? 2 x , ( x ? A) f (x) ? ? , A ? ? x | 0 ? x ? 1? , B ? ? x | 1 ? x ? 2 ? ? 4 ? 2 x , ( x ? B ) x0 ? A 11、设集合 函数



f [ f ( x 0 )] ? A
f

, 则

x0

的取值范围是

.

?x? ?

12、已知函数 则实数 a 的范围是( A.

? lo g 2 x ? x ? 0 ? ? ? x f ?3 ? x ≤ 0 ? ? ,且关于 x 的方程

?x? ?

x?a ?0

有且只有一个实根,

) B.

? ?? , 0 ?
f

? 0 ,1 ?
g ?x? ? f

C. C.4

? 1, 2 ?
D.5

D.

? 1, ? ? ?

13、若函数 A.2

?x? ?

2x ?1

,则函数 B.3

? f ? x ? ? ? ln x 在 ? 0 , 1 ? 上的不同零点个数为
) 1 ? xy ;当 x , y ? ( ? 1, 0 ) 时,有 x? y

f (x) ? f ( y) ? f (

14、定义在(—1,1)上的函数 f(x)满足:

1 1 1 1 P ? f ( )? f ( )?? ? f ( 2 )?? ? f ( ) 2 f ( x ) ? 0 ;若 5 11 r ? r ?1 2012 ? 2012 ? 1 , 1 Q ? f( ) 2 ,R=f(0).则 P,Q ,R 的大小关系为 A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. R ? P ? Q
2

D.不能确定 .

15、设 f ( x ) ? | 2 ? x | ,若 0 ? a ? b ,满足 f ( a ) ? f ( b ) ,则 ab 的取值范围是 16、已知函数 f ( x ) ? e ,则当 x 1 ? x 2 时,下列结论正确的是
x

e

x1

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
? 2

e

x1

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

e

x2

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

A.
e
x2

B.

C.

?

D. 17、直线 y

与曲线

y ? x ? x ?a
2

有四个交点,则 a 的取值范围是

A .

?3 ? ? ,1 ? ?4 ?

B.

? 5? ? 1, ? ? 4?

C.

? 7? ? 2, ? ? 4?

D.

? 9? ? 2, ? ? 4?

18、若对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其函数图象是连续的,且存在常数 ? ( ? ? R ) ,使得
f ( x ? ? ) ? ? f ( x ) ? 0 对任意的实数 x 成立,则称 f ( x ) 是“ ? ? 同伴函数” .下列关于“ ? ?

同伴函数”的叙述中正确的是
1 ?

A. 2 “

同伴函数”至少有一个零点 是一个“ ? ? 同伴函数”

B. f ( x ) ? x 是一个“ ? ? 同伴函数”
2

C.

f ( x ) ? log 2 x

D. f ( x ) ? 0 是唯一一个常值“ ? ? 同伴函

数”


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