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广东省佛山市普通高中2011届高三教学质量检测(一)(数学理)


2011 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学 (理科)
? 参考公式: 圆台侧面积公式: S ? ? (r ? r )l .
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A. (??, 0)

A ? ??1, 0, a? , B ? ?

x 0 ? x ? 1?
B. (0,1)

,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 C.

?1?

D. (1, ??)

2.已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角的余弦值为

3 10 A. 10
3.在等差数列 A. 22 C. 24

3 10 B. 10 ?

2 C. 2

?
D.

2 2

?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ?
B. 23 D. 25 第4题 图

4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 A.6 C. 3 5? B. 6? D. 6 5?

5.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)(1+i) 在复平面内对应的点为 M ,则“ a ? ? ”是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

y ? cos ? ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? ? 的最小正周期为 6.函数

?

?

? A. 4

? B. 2

C. ?

D. 2?

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式 7.已知函数

-1-

成立的是 A. C.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

B. D.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 8.已知双曲线 a 与抛物线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的
一个交点为 P ,若 A. x ? 3 y ? 0

PF ? 5

,则双曲线的渐近线方程为 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

B. 3x ? y ? 0

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).

s1 , s 2 分别表示甲、乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差,


第 9 题图

s1

s 2 .(填“ ? ” 、 “ ? ”或“=” ).
(x + 1 n ) x 展开式中,第四项与第六项的系数相等,
,展开式中的常数项的值等于 .

10. 如果 则n=

11. 已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴,

y 轴分别交于 A, B 两点,

若动点 P (a, b) 在线段 AB 上,则 ab 的最大值为__________. 12. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 13.若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2
2 2 与曲线 C : ( x ? 5) ? y ? 16 只有一个公共点 M ,



第 12 题 图



PM

的最小值为__________.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 15. (几何证明选讲)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , .

EF // CD ,若 BC ? 3, DE ? 2, DF ? 1 ,
-2-

第 15 题图

则 AB 的长为___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 ,
?

cos B ?

4 5.

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 17. (本题满分 14 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是 否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” , 得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、

p 的值;

(Ⅱ)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 3 人作为领队, 记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X , 求 X 的分布列和 期望 EX . 18. (本题满分 12 分) 设数列

?an ? 是首项为 a? (a? ? ?) ,公差为 2 的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,且
?an ? 的通项公式;
an 2n 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

S1 , S2 , S 3

成等差数列. (Ⅰ)求数列

(Ⅱ)记

bn ?

-3-

19. (本题满分 14 分) 如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O ,

PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 ,

NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点.
(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

第 19 题 图

20. (本题满分 14 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) e? 2 a b 3 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半 的离心率为

径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为

k1 , k2 ,证明: k1 ?k2 为定值;

OP OM (Ⅲ) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若
迹是什么曲线.

??
,求点 M 的轨迹方程,并说明轨

21. (本题满分 14 分) 已知三次函数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a, b, c ? R ?

.

1, f ?1? f ? x? (Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 的
解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间

?

?

??3, 2? 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t

,求实数 t 的最小值;

f ?( x) ? 1 f ? x? (Ⅲ)当 ?1 ? x ? 1 时, ,试求 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 的表达式.

-4-

参考答案和评分标准 一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. ?

10.8,70

1 11. 2

1 12. 2 ?

13. 4

(2, 2k? ? ) 3 14.

?

9 15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

? cos B ?
解:Ⅰ ) 分

4 3 , sin B ? 1 ? cos 2 B ? ? ? 5 且 B ? (0 ,180 ) ,∴ 5 .-------------------------------2

cos C ? cos(180? ? A ? B) ? cos(135? ? B)
? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ?

------------------------------- 3 分

2 4 2 3 2 ? ? ? ?? 2 5 2 5 10 . ------------------------6 分

sin C ? 1 ? cos2 B ? 1 ? (?
2) 由 (Ⅰ ) 可得 分

2 2 7 ) ? 2 10 10 .

-------------------------------8













BC AB ? sin A sin C





10 AB ? 7 2 2 10 2







AB ? 14 .

-------------------------------10 分

在 ?BCD 中, BD ? 7 , 所以 CD ? 37 . 17. (本题满分 14 分)

CD 2 ? 7 2 ? 102 ? 2 ? 7 ?10 ?

4 ? 37 5 ,

-------------------------------12 分

解: (Ⅰ ) 第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 , 所以高为 5 率直方图如下:

0.3

? 0.06

. 频

-5-

-------------------------------2 分

120 200 ? 200 n? ? 1000 0.04 ? 5 ? 0.2 0.2 第一组的人数为 0.6 ,频率为 ,所以 . p? 195 ? 0.65 300 .

由题可知, 第二组的频率为 0. 3, 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 所以

第 四 组 的 频 率 为 0.03 ? 5 ? 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所 以
a ? 1 5 0? 0 . ? 4 . 60

-------------------------------5 分

) 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 与 [45,50) 岁 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 的 比 值 为 ( Ⅱ) 因 为 [ 4 0 , 4 5岁

60 : 30 ? 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40, 45) 岁中有 12 人, [45,50) 岁中有 6
人. -------------------------------6 分 随机变量 X 服从超几何分布.
0 3 1 2 C12 C6 C12 C6 5 15 P( X ? 0) ? ? P( X ? 1) ? ? 3 3 C18 204 , C18 68 , 2 1 C12 C6 33 ? 3 C18 68 3 0 C12 C6 55 ? 3 C18 204 .

P( X ? 2) ?



P( X ? 3) ?

-------------------------------10 分 1 2 3

所以随机变量 X 的分布列为 0 X

P

5 204

15 68

33 68

55 204

-------------------------------12 分

-6-

EX ? 0 ?
∴ 数学期望

5 15 33 55 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 204 68 68 204 . -------------------------14 分

18. (本题满分 12 分) 解 :( Ⅰ ) ∵

S1 ? a1 , S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 6 ,

-------------------------------2 分 由

S1 , S2 , S3

成等差数列得,

2 S2 ? S1 ? S3

,即

2 2a1 ? 2 ? a1 ? 3a1 ? 6



解得

a1 ? 1 ,故 an ? 2n ? 1;
bn ? an 2n ? 1 1 ? ? (2n ? 1)( ) n n n 2 2 2 ,

---------------------------------------4 分

(Ⅱ )

---------------------------------------5 分

1 1 1 1 Tn ? 1? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n 2 2 2 2 , 法 1: ?



1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 5 ? ( ) 4 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 , ② ① 2 得, 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? 2 ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 ① ? ②得, 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? (2n ? 1) ? ( 1 ) n ?1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2? 2 1 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 ,---------------------------10 分
Tn ? 3 ? 4 2n ? 1 2n ? 3 ? n ? 3? n 2 2 2n . an 2n ? 1 1 1 ? ? n ? n ?1 ? n n n 2 2 2 2 ,



---------------------------------------12 分

法 2:

bn ?
n



Fn ? ?

n k f ( x ) ? (kx k ?1 ) ? k ?1 k ?1 2 k ?1 ,记 ,

? n k ?? ? x ? x n?1 ?? 1 ? (n ? 1 ? nx) x n ? f ( x) ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? 1? x ? (1 ? x)n k ?1 k ?1 ? ? ? 则 ,
n k

?1? Fn ? 4 ? (n ? 2) ? ? ? 2? ∴

n ?1



---------------------------------------10 分

-7-

1 1 (1 ? n ) 2 ? 4 ? (n ? 2) ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 Tn ? Fn ? 2 1 2n?1 2n 2n 1? 2 故 . -----------------------12 分
19. (本题满分 14 分) 解:法 1: (Ⅰ )连结 BD , ∵PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴PA ? BD , 又∵BD ? AC , AC ? PA ? A , ∴BD ? 平面 PAC , 又∵E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴EF // BD , ∴EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ )连结 OM , ∵PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM , ∴PC // OM ,

PM OC 1 ? ? AC 4 ,故 PM : MA ? 1: 3 ∴ PA

-------------------------------8 分

(Ⅲ )∵EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴NO ? EF , ∴?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ---------------------------------------10 分 ∵ 点 M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 ,

NO ? 6 , MO ? 22 , 所以在矩形 MNCA 中, 可求得 MN ? AC ? 4 2 , --------------------12
分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 ∴ 二 面 角

cos ?MON ?
M? ? E
-8-

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 ?? 2 ? MO ? ON 33 ,
F 的 N 余
弦 值 为

?

33 33 .

---------------------------------------14 分

法 2: (Ⅰ )同法 1; (Ⅱ )建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) ,

??? ? ??? ? EF ? (?2, 2,0) , PC ? (4, 4, ? 4) ∴ , ???? ? (0,0, m ) n ? ( x , y , z ) M MEF 设点 的坐标为 ,平面 的法向量为 ,则 ME ? (4, 2, ?m) , ? ???? ? ?n ? ME ? 0 ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ? ? ? ??? ? z ? ?n ? EF ? 0 ,即 ??2 x ? 2 y ? 0 m, 所以 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 ,
6 ? n ? (1,1, ) m , 故 24 ??? ? ? 4?4? ?0 m ∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 ,解得 m ? 3 ,
故 AM ? 3 , 即 点 M 为 线 段 PA 上 靠 近 P 的 四 等 分 点 ; 故 PM : MA ? 1: 3 --------------------------8 分

??? ? ?? N (4, 4, 2) EN ? (0, 2, 2) m NEF (Ⅲ ) ,则 ,设平面 的法向量为 ? ( x, y, z) ,
?? ???? ? m ? ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? ? ?? ??? ? ?m ? EF ? 0 ,即 ??2 x ? 2 y ? 0 ,令 x ? 1 , 则? ?? y ? 1 m z ? ? 1 则 , ,即 ? (1,1, ?1) ,
当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,

?

?? ? 1?1? 3 33 cos ? m, n ?? ?? 33 , 3 ? 11 ∴
∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ )由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,
2 2 2

?

33 33 .-------14 分

∵ 直 线

x? y?2?0

d?
与 圆 相 切 , ∴

2 ?b 2





b? 2



---------------------------------------1 分

-9-

e?
又 所

c 3 ? a 3 ,即 a ? 3c , a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 3 , c ? 1 ,
以 椭 圆 方 程 为

x2 y 2 ? ?1 3 2 .

---------------------------------------3 分

2 x0 y2 2 2 2 y0 ? 2 ? x0 ? 0 ?1 P ( x , y ) ( y ? 0) A ( ? 3,0) B ( 3,0) 3 , 0 0 0 2 (Ⅱ )设 , , ,则 3 ,即

k1 ?


y0 x0 ? 3 ,

k2 ?

y0 x0 ? 3 ,
-----------------4 分

2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 2 3 3 k1 ? k2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3, 即


k1 ?k2 为定值

?

2 3.

---------------------------------------6 分

(Ⅲ )设 M ( x, y ) ,其中 x ?[? 3, 3] .

OP
由已知 整

2 2

OM

??

2

x2 ? 2 ?
及点 P 在椭圆 C 上可得 得

2 2 x 2 3 ? x ? 6 ? ?2 x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 ) ,
, 其 中



(3? 2 ?1) x2 ? 3? 2 y 2 ? 6
-------------------------------------8 分

x ?[? 3, 3] .

??
① 当

3 2 3 时,化简得 y ? 6 ,

所 以 点 M 的 轨 迹 方 程 为 y ? ? 6 (? --------------------9 分

3? x ?

3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段;

x2 y2 ? ?1 6 6 3 ?? 3 时 , 方 程 变 形 为 3? 2 ? 1 3? 2 ② 当 , 其 中 x ?[?
-------------------------------------11 分

3 ,

3 ] ,

- 10 -

0?? ?
当 部分;

3 3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ? 3 的

3 ? ? ?1 当 3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 的部
分; 当 ? ?1 时 , 点 M 的 轨 迹 为 中 心 在 原 点 、 长 轴 在 x 轴 上 的 椭

圆. ---------------------------------------14 分 21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ )∵ 函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) ,∴ f (?1) ? ?a ? b ? c ? 2 , ①

2 ? 又 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,函数 f ( x ) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,

? f (1) ? ?2 ?a ? b ? c ? ?2 ? ? f ?(1) ? 0 ,∴?3a ? 2b ? c ? 0 , ∴?
由 ① 和 ② 解 得



a ?1 , b ? 0 ,

c ? ?3 , 故

f ( x) ? x3 ? 3x ;

---------------------------------------4 分
2 ? ? (Ⅱ )由(Ⅰ ) f ( x) ? 3x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,

∵ f (?3) ? ?18 , f (?1) ? 2 , f (1) ? ?2 , f (2) ? 2 , ∴ 在区间

??3, 2? 上 fmax ( x) ? 2 , fmin ( x) ? ?18 , ??3, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 20 ,
---------------------------------------8 分

∴ 对于区间

∴t ? 20 ,从而 t 的最小值为 20;

? (Ⅲ )∵ f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,
2



? f ?(0) ? c ? ? f ?( ?1) ? 3a ? 2b ? c ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?

? ? ? ,可得 6a ? f (?1) ? f (1) ? 2 f (0) .

f ?( x) ? 1 f ?(?1) ? 1 f ?(0) ? 1 f ?(1) ? 1 ∵ 当 ?1 ? x ? 1 时, ,∴ , , ,


6 | a |? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? 4
a? 2 2 3 ,故 a 的最大值为 3 ,
- 11 -





? ? ? 2 ? a? 3 当 时, ?


f ?(0) ? c ? 1 f ?(?1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 f ?(1) ? 2 ? 2b ? c ? 1
取 ,解得 b ? 0 , c ? ?1 , 得 最 大 值 时

a
2 3 x ?x 3 .

f ? x? ?

---------------------------------------14 分

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