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上海市嘉定区2014届高三1月第一次质量调研数学(理)试题


上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)
2014 年 1 月 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上的解答一律 无效. 2. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 学校、 班级等相关信息填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码. 答 题纸不能折叠. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是_____________. 2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ? (1 ? 3i ) ? 1 ,则 | z |? _______. 3.已知函数 y ? f (x) 存在反函数 y ? f 则f
?1 ?1

( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,

(1) 的值是___________.
2

* 4.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ( n ? N ) ,则 a 8 的值是__________.

5.已知圆锥的母线长为 5 cm ,侧面积为 20? cm ,则此圆锥的体积为________ cm .
2 3

4 ?? ? ,则 tan?? ? ? ? ____________. 4? 5 ? 2 2 a 1 x y ? 0 ,且双曲线的右焦点与 7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )满足 b 2 a b
6.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? 抛物线 y ? 4 3 x 的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.
2

8.分别从集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} 和集合 B ? {5 , 6 , 7 , 8} 中各取一个数,则这两数之积为偶 数的概率是_________. 9.在平面直角坐标系中,△ ABC 的顶点坐标分别为 A(1 , 2) , B(?7 , 3) ,点 C 在直线 y ? 4 上运动, O 为坐标原点, G 为△ ABC 的重心,则 OG ? OC 的最小值为__________.

? r ? 10.若 lim ? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_____________. n ?? 2r ? 1 ? ?
11.在平面直角坐标系中,动点 P 到两条直线 3x ? y ? 0 与 x ? 3 y ? 0 的距离之和等于 4 , 则 P 到原点距离的最小值为_________. 12.设集合 A ? {( x , y ) ( x ? 4) ? y ? 1 } , B ? {( x , y ) ( x ? t ) ? ( y ? at ? 2) ? 1 } ,
2 2 2 2

n

若存在实数 t ,使得 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________.

?ax 2 ? 2 x ? 1 , x ? 0 , ? 13.已知函数 f ( x ) ? ? 是偶函数,直线 y ? t 与函数 f (x) 的图像自左 ?? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ? 至右依次交于四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为________. 14.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为 1 的等边三角形(图(1);二 )
级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作 等边三角形,然后去掉底边(图(2);将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的 ) 作图方法,得到三级分形图(图(3);?;重复上述作图方法,依次得到四级、五级、?、 ) n 级分形图.则 n 级分形图的周长为__________.

??

图(1)

图(2)

图(3)

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代 表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设向量 a ? ( x ? 1 , 1) , b ? (3 , x ? 1) ,则“ a ∥ b ”是“ x ? 2 ”的??????( A.充分非必要条件 C.充分必要条件
n

?

?

?

?



B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 ? ? 16.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) x ? ? A. 180 B. 120 C. 90 D. 45 17.将函数 y ? sin 2 x ( x ? R )的图像分别向左平移 m ( m ? 0 )个单位,向右平移 n
( n ? 0 )个单位,所得到的两个图像都与函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像重合,则 m ? n 6?


的最小值为?????????????????????????????( A.

2? 3

B.

5? 6

C. ?

D.

4? 3

18.设函数 f (x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f (x) 满足:① f (x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f (x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函 数 f (x) 的“和谐区间” .下列结论错误的是???????????????( A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”
2



B.函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

C.函数 f ( x) ?

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1
2

D.函数 f ( x) ? log a ? a ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间”
x

? ?

1? 8?

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,正三棱锥 A ? BCD 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , E 为棱 BC 的中点. (1)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求该三棱锥的体积 V .

A

B E C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3 , x ? R .
2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ( A) ? 1 , AB ? AC ?

2 ,求△ ABC 的面积.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ?1 , (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点, 过 求证:

? ? ?

3? ? 在椭圆 C 上. 2 ? ?

?

| PA | 2 ? | PB | 2 为定值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? x ?

m . ? 2 ( m 为实常数) x

(1)若函数 y ? f (x) 图像上动点 P 到定点 Q(0 , 2) 的距离的最小值为 2 ,求实数 m 的值; (2)若函数 y ? f (x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的取值范围; (3)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1? 有解,求 k 的取值范围. ?2 ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 数 列 {a n } 的 首 项 为 a ( a ? 0 ) 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) 设 bn ? S n ? 1 , , .

cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;
*

(3)当 t ? 1时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {c n } 为等比数列,且 a , t , k 成等差数列.

上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次质量调研(理)
参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. (2 , ? ?) 2.

1 2

3. 2

4. 15

5. 16?

6. ?

1 7

7. x ?
2

10. (?? , ? 1] ? ? ?

? 1 ? , ? ? ? 11. 2 2 ? 3 ?

12. ?0 ,

? ?

4? 3? ?

13.

7 4

y2 3 ? 1 8. 2 4 n ?1 ?4? 14. 3 ? ? ? ?3?

9. 9

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.A 17.C 18.D 三.解答题 19. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) (1)取 BD 中点 F ,连结 AF 、 EF ,因为 EF ∥ CD ,所以 ?AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角(或其 补角) ????????????????????(2 分) . 在△ AEF 中, AE ? AF ? 2 2 , EF ? 1 , ????????????(1 分)

1 2 所以 cos ?AEF ? 2 ? . 8 2 2

??????????????????(2 分)

所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos

(2)作 AO ? 平面 BCD ,则 O 是正△ BCD 的中心, ?????????(1 分) 连结 OE , OE ? 所以 AO ? 所以, V ?

2 . ???????(1 分) 8

3 , ???????????????????????(1 分) 3 23 AE 2 ? EO 2 ? , ?????????????????(1 分) 3

1 1 3 23 23 ? Sh ? ? ? 4? ? . ????????????(2 分) 3 3 4 3 3

20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分) (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? 3 cos x 2 x ? 2 sin? 2 x ?
2

? ?

??

?, 3?

所以,函数 f (x) 的最小正周期为 ? . 由 2k? ? 得 k? ?

??????????????????(2 分) ??????????????????(1 分) ???????????????(2 分) ????????????????(2 分)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ?Z ) ,

5? ? , ? x ? k? ? ( k ? Z ) 12 12
? ?

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是 ?k? ?

5? ?? , k? ? ? ( k ? Z ) ?????(1 分) . 12 12 ?

?? 1 ? ? ? 1 ,所以 sin? 2 A ? ? ? , ?????(1 分) 3? 3? 2 ? ? ? ? 4? ? 5? ? 因为 0 ? A ? ,所以 ? 2 A ? ? ,所以 2 A ? ? ,从而 A ? . ?(2 分) 2 3 3 3 3 6 4 又 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A ? 2 , ,所以, | AB | ? | AC |? 2 , ??????(1 分)
(2)由已知, f ( A) ? 2 sin? 2 A ?

? ?

??

所以,△ ABC 的面积 S ?

1 1 2 2 . ????(2 分) ? | AB | ? | AC | ? sin A ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) 因为 C 的焦点在 x 轴上且长轴为 4 ,

x2 y2 , ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ???????????(1 分) 4 b2 ? 3? ? 在椭圆 C 上,所以 1 ? 3 ? 1 , 因为点 ?1 , ??????????(2 分) ? 2 ? 4 4b 2 ? ? 2 解得 b ? 1 , ????(1 分) x2 ? y 2 ? 1. 所以,椭圆 C 的方程为 ?????????????(2 分) 4 x?m (2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ? , ??(1 分) 2 1 ? ? y ? 2 ( x ? m) , ? 由? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) ?????????(2 分) ?x ? y2 ? 1 , ?4 ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 、 x 2 是方程(*)的两个根,
故可设椭圆 C 的方程为

m2 ? 4 , ??????????????(1 分) 2 2 2 2 2 2 2 所以, | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y 2 1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4 4 4 5 5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4 4 5 2 . ????????????(3 分) ? [m ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) 4 2 2 所以, | PA | ? | PB | 为定值. ????????????????????(1 分)
所以有, x 2 ? x 2 ? m , x1 x 2 ? (写到倒数第 2 行,最后 1 分可不扣) 22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) (1)设 P( x , y ) ,则 y ? x ?

m ? 2, x
2

m? ? | PQ | 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ? x ? ? x? ?

????????????????(1 分)

? 2x 2 ?

m2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m ? 2 , ??????????????(1 分) x2

当 m ? 0 时,解得 m ? 所以, m ?

2 ? 1;当 m ? 0 时,解得 m ? ? 2 ? 1 . ????(1 分)
????????????????(1 分)

2 ? 1或 m ? ? 2 ? 1 .

(只得到一个解,本小题得 3 分) (2)由题意,任取 x1 、 x2 ? [2 , ? ?) ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ?

? ? x x ?m m m ? 2 ? ? x1 ? ? 2 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 2 ? 0 ,??(2 分) ? ? x2 x1 x1 x 2 ? ?
??????(2 分)

因为 x 2 ? x1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 ,所以 x1 x2 ? m ? 0 ,即 m ? x1 x 2 , 由 x2 ? x1 ? 2 ,得 x1 x 2 ? 4 ,所以 m ? 4 . 所以, m 的取值范围是 (?? , 4] . (3)由 f ( x) ? kx ,得 x ?

??????????????????(2 分)

m ? 2 ? kx , x m 2
????????????????(2 分)

因为 x ? ? , 1? ,所以 k ? 2 ? ? 1 , x x ?2 ? 令t ?

?1

?

1 2 2 ,则 t ? [1 , 2] ,所以 k ? mt ? 2t ? 1 ,令 g (t ) ? mt ? 2t ? 1 , t ? [1,] , 2 x
?1 ?
? ?

于是,要使原不等式在 x ? ? , 1? 有解,当且仅当 k ? g (t ) min ( t ? [1,] ) 2 .??(1 分) 2 因为 m ? 0 ,所以 g (t ) ? m? t ? 因为 t ? [1 , 2] ,故当 0 ? ? 当?

? ?

1? 1 1 ? ? 1 ? 图像开口向下,对称轴为直线 t ? ? ? 0 , m? m m

2

1 3 2 ? ,即 m ? ? 时, g (t )min ? g (2) ? 4m ? 5 ;?(4 分) m 2 3

1 3 2 ? ,即 ? ? m ? 0 时, g (t )min ? g (1) ? m ? 3 . ????????(5 分) m 2 3 2 综上,当 m ? ? 时, k ? [4m ? 5 , ? ?) ; 3 2 当 ? ? m ? 0 时, k ?[m ? 3 , ? ?) . ?????????????(6 分) 3

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) (1)因为 S n ?1 ? t ? S n ? a 当 n ? 2 时, S n ? t ? S n ?1 ? a ① ②, ??????????????????(2 分) ??????????????????(1 分)
n ?1

①—②得, a n ?1 ? t ? a n ( n ? 2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 ,

所以, {a n } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 a n ? a ? t (2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 (n ? 3)[( n ? 3)a ? 2] ? 0 (**)成立. n ? 3 时,

(n?N ) .??(1 分)
*

???????????(1 分) (*) ????(1 分)

由 | bn |?| b3 | ,得 | na ? 1 |?| 3a ? 1 | , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2] ? 0 (**)

2 2 恒成立,所以 a ? ? . n?3 7 1 2 n ? 1时,有 4a ? 2 ? 0 , a ? ? . n ? 2 时,有 5a ? 2 ? 0 , a ? ? . ???(3 分) 2 5 2? ? 2 综上, a 的取值范围是 ?? , ? ? . ??????????????????(1 分) 7? ? 5

n ? 4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?

(3)当 t ? 1 时, S n ?

a(1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n , bn ? , ???(1 分) ?1 ? 1? ? 1? t 1? t 1? t 1? t

cn ? k ? n ?

an at(1 ? t n ) at n ?1 1? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at ? ? ? ?n? , ???(2 分) 1? t 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?a ? t ? 1 , ? 1? t ? 0 , ? ? 所以,当 ? 时,数列 {c n } 是等比数列,所以 ? ???(2 分) t k (1 ? t ) 2 ? at k? , ? ? ?0 t ?1 ? 2 ? ? (1 ? t )
又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?

t , t ?1

5 ?1 . 2

?????????????????????????(1 分)

从而, a ?

5 ?1 ,k ? 2

5 ?3 . 2

??????????????????(1 分)

所以,当 a ?

5 ?1 5 ?1 ,t ? ,k ? 2 2

5 ?3 时,数列 {c n } 为等比数列.??(1 分) 2


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