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高中数学第1章导数及其应用单元检测苏教版选修2-2资料


第1章

导数及其应用单元检测

一、填空题 1.函数 y=sin 3x 的导数是________. 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点__________个.

3.已知 f(x)=(x+a) ,且 f ? ?<

br />2 2

?1? ? ? ?3 ,则 a 的值为__________. ?2?

4.若函数 y=loga(x -2x-3)的增区间是(-∞,-1),则 a 的取值范围是________. 5.

?

a

?a

|x|dx=________.
3 2

6.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x +ax +7ax 不存在极值点的充要条件是__________. 2 7.函数 y=6x -12x 的极值点为________. 8.函数 f ? x ? ? sin ? 3x ?
ax

? ?

?π 3? π? ? 在点 ? ?6, 2 ? ? 处的切线方程为________. 6? ? ?

9. 设曲线 y=f(x)=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 a=________. 2 10.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 a=________,b =________. 11.(2012 上海高考)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B ?

?1 ? ,5 ? , ?2 ?

C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为__________.
12.若函数 f (x) ?

4x 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 x ?1
2

________. 二、解答题 2 13.已知函数 f(x)=ax +bx+4ln x 的极值点为 1 和 2. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在区间(0,3]上的最大值. 14.求 C 的值,使

?

1
2

0

(x +Cx+C) dx 最小.

2

2

15. 设函数 f(x)=ax +bx+k(k>0)在 x=0 处取得极值, 且曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. (1)求 a,b 的值; (2)若函数 g ? x ? ?

ex ,讨论 g(x)的单调性. f ( x)

1

参考答案 1. 答案:3cos 3x 2. 答案:1 3. 答案:-2 解析:∵f(x)=(x+a) ,∴f′(x)=2x+2a.依题意有 2×
2

1 +2a=- 2

3,解得 a=-2. 2 4. 答案:0<a<1 解析:定义域为{x|x>3 或 x<-1},函数 y=x -2x-3 在(-∞, -1)上为减函数,∴0<a<1. 5. 答案:a
2

解析:

?

a

?a

|x|dx=

?

0

?a

(-x)dx+
2

?

a

0

xdx= ?

1 2 x 2
2

0 ?a

1 ? x2 2

a 0

? a2 .

6. 答案:0≤a≤21 解析:f′(x)=3x +2ax+7a,当 Δ =4a -84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成立,函数不存在极值点. 7. 答案:x=1

3x 3 π ? ? 2 2 4 π 3 ?π? ∴ f' ? ? ? 3cos ? . 3 2 ?6?
8. 答案: y ? ∴k ?

解析:∵ f ? ? x ? ? 3cos ? 3x ?

? ?

π? ?, 6?

3 3 3? π? .由点斜式,得 y ? ? ?x? ?, 2 2 2? 6? 3x 3 π 即y? ? ? . 2 2 4
9. 答案:2 解析:设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线斜率为 k1,则 k1=f′(0)=a. 又直线 x+2y+1=0 的斜率 k 2 ? ?
ax

1 , 2

依题意得 a· ? ? ? =-1,∴a=2. 10. 答案:1 1 解析:令 f(x)=x +ax+b,则 f′(x)=2x+a, 2 ∴曲线 y=x +ax+b 在(0,b)处的切线斜率为 a. ∴切线方程为 y-b=ax, 即 ax-y+b=0. 与切线方程 x-y+1=0 对比,得 a=1,b=1.
2

? 1? ? 2?

1 ? 10 x,0 ? x ? , ? 5 ? 2 11. 答案: 解析:由题意 f ? x ? ? ? 4 ??10 x ? 10, 1 ? x ? 1, ? ? 2 1 ? 2 10 x ,0 ? x ? , ? ? 2 则 xf ? x ? ? ? ??10 x 2 ? 10 x, 1 ? x ? 1. ? ? 2
∴xf(x) 与 x 轴 围 成 图 形 的 面 积 为

?

1 2 0

10x dx +

2

?

1 1 2

( - 10x + 10x)dx =

2

10 3 x 3

1 2 0

10 ? ? ? ? 5 x 2 ? x3 ? 3 ? ?

1 1 2

?

10 1 ? 10 ? ? 5 10 1 ? 5 ? ? ?5? ? ? ? ? ? ? ? . 3 8 ? 3 ? ? 4 3 8? 4
2

12. 答案:(-1,0] 解析:由已知得 f ? ? x ? ? 即 1-x ≥0,-1≤x≤1,
2

4 ? 4 x2 在(m,2m+1)上有 f′(x)≥0, ( x 2 ? 1)2

? m ? ?1, ? ∴ ? 2 m ? 1 ? 1, ∴-1<m≤0. ? m ? 2m ? 1. ?
13. 答案:解:(1)f′(x)=2ax+b+ 又 y=f(x)的极值点为 1 和 2, 2 ∴2ax +bx+4=0 的两根为 1 和 2, ∴?

4 2ax 2 ? bx ? 4 = ,x∈(0,+∞), x x

?2a ? b ? 4 ? 0, ?a ? 1, 解得 ? ?8a ? 2b ? 4 ? 0. ?b ? ?6.
2

(2)由(1)得 f(x)=x -6x+4lnx, ∴f′(x)=2x-6+ =

2( x ? 1)( x ? 2) ,x∈(0,3]. x

4 2x2 ? 6 x ? 4 = x x

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -5 4ln 2-8 4ln 3-9 ? ? ? ∵f(3)=4ln 3-9>-5=f(1),且 f(3)=4ln 3-9>4ln 2-8=f(2), ∴f(x)max=f(3)=4ln 3-9. 14. 答案:解:令 y= =

?

1

0

(x +Cx+C) dx
2 2 2

2

2

?

1

0

(x +2Cx +C x +2Cx +2C x+C )dx

4

3

2 2

?1 5 1 4 1 2 3 2 3 ? x ? Cx ? C x ? Cx ? C 2 x 2 ? C 2 x ? 1 0 2 3 3 ?5 ? 1 7 7 2 = ? C? C 5 6 3
=?

7? 1? 13 = ?C ? ? ? . 3? 4 ? 240 1 所以当 C ? 时,y 最小, 4 1 1 2 2 即当 C ? 时, ? (x +Cx+C) dx 最小. 0 4
15. 答案:解:(1)∵f(x)=ax +bx+k(k>0), ∴f′(x)=2ax+b. 又 f(x)在 x=0 处取得极值,故 f′(0)=0,从而 b=0. 由曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线 x+2y+1=0 相互垂直可知,该切线斜率 为 2,即 f′(1)=2a=2,从而 a=1. (2)由(1)知,g(x)= g ? x ? ?
2

2

ex (k>0), x2 ? k
3

g' (x) ?

ex ( x2 ? 2 x ? k ) (k>0), ( x 2 ? k )2
2

令 g′(x)=0,得 x -2x+k=0. ①当 Δ =4-4k≤0,即当 k≥1 时,g′(x)≥0 在 R 上恒成立,故函数 g(x)在 R 上为增 函数. 2 ②当 Δ =4-4k>0,即当 0<k<1 时,方程 x -2x+k=0 有两个不相等实根 x1=1-

1 ? k ,x2=1+ 1 ? k , 当 x∈(-∞,1- 1 ? k )时,g′(x)>0, 故 g(x)在(-∞,1- 1 ? k )上为增函数; 当 x∈(1- 1 ? k ,1+ 1 ? k )时,g′(x)<0, 故 g(x)在(1- 1 ? k ,1+ 1 ? k )上为减函数; 当 x∈(1+ 1 ? k ,+∞)时,g′(x)>0, 故 g(x)在(1+ 1 ? k ,+∞)上为增函数.

4


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