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高三数学理科二轮复习 1-2-5空间几何体


高考专题训练五
班级________ 姓名________ 时间:45 分钟

空间几何体
分值:75 分 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出 的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图 可以是( )

解析:由三视图可知,该几何体的直观图为 B. 答案:B

2.(2011· 辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,

它的三视图中的俯视图如图所示,侧(左)视图是一个矩形,则这个矩形的面 积是( )

A.4 C.2

B.2 3 D. 3

解析:设该正三棱柱侧棱长和底面边长为 a, 则 3 2 a· a=2 3, 4

∴a3=8,∴a=2,

由俯视图知,该正三棱柱如图 ABC-A1B1C1, 其侧(左)视图即为矩形 CDD1C1, 其面积为 3×2=2 3. 答案:B

3.(2011· 山师大附中高三模拟)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)

视图如图所示,则下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有(

)

A.①②③⑤ C.①②④⑤

B.②③④⑤ D.①②③④

解析:根据给出的正(主)视图和侧(左)视图可知,该组合体由上、中、 下三个几何体组合而成,由于正(主)视图和侧(左)视图中三层均为矩形,所 以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱 组合而成的.而第⑤个俯视图中,有两处与已知不符,一是上层几何体的 俯视图不正确,由于上层几何体的正(主)视图与侧(左)视图为两个相同的矩 形,所以其俯视图中矩形的两边长应该相等;二是下层几何体的俯视图不 正确,如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形,则在正(主)视图中底 层的矩形应有一条中位线,这与已知不符合,所以⑤不可能,故选 D. 答案:D 4.(2011· 湖北)设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列 说法中最合适的是( ) B.V1 比 V2 大约多两倍半 D.V1 比 V2 大约多一倍半

A.V1 比 V2 大约多一半 C.V1 比 V2 大约多一倍

解析:设球的内接正方体的边长为 a, 球的半径为 R,∴2R= 3a,∴R= 3 a. 2

4 4 3 3 3 3 ∴V1= πR3= π· a = πa3, 3 3 8 2 V2=a3,∴V1= 答案:D 5.(2011· 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 ( ) 3 πV2≈2.5V2,∴V1-V2≈1.5V2. 2

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

解析:由三视图可知,该四棱锥为正四棱锥 1 S 底=4×4=16,S 侧=4× ×4×2 2=16 2 2 ∴S 表面积=S 底+S 侧=16+16 2. 答案:B

6.(2011· 辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB

=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则棱锥 S-ABC 的体积为( A. 3 3 2 3 B. 3 5 3 D. 3

)

4 3 C. 3 解析:如图所示.

∠ASC=∠BSC=45° 且 OS=OB=OA=OC=2, ∴△SOB,△SOA 为全等的等腰直角三角形, 且 SC⊥OB,SC⊥OA, 又 OA∩OB=O,∴SC⊥平面 AOB 又∵AB=OB=OA=2, ∴△AOB 为等边三角形 1 1 4 ∴VS-ABC=VS-AOB+VC-AOB= ·△AOB· S SC= × 3×4= 3. 3 3 3 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题 中横线上.

7.(2011· 全国新课标版)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和

底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的

3 ,则 16

这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________. 解析:令球心为 O,圆锥底面圆圆心为 O′,球半径为 R,圆锥底面 3 圆半径为 r,则 ·4πR2=πr2, 16 ∴r= 3 R R,在 Rt△AOO′中, OO′= AO2-AO′2= . 2 2 R-

R 2 1 h 故H= R=3. R+ 2 1 答案: 3 8. (2011· 洛阳市高三模拟)图 2 中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平 面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形 1 内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展形图内的概率是 ,则此长方体 4 的体积是________.

解析:设长方体的高为 h,则图 2 中虚线围成的矩形长为 2+2h,宽为

1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为 2+4h;由几何概型的概 率公式知 2+4h 1 = ,得 h=3,所以长方体的体积是 V=1×3=3. ?2+2h??1+2h? 4

答案:3 9.(2011· 北京市海淀区高三第二学期练习)如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点, 点 则三棱锥 P-ABC 的正(主) 视图与侧(左)视图的面积的比值为________.

解析:依题意得三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图分别是一个 三角形,且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长,底边上的高也都 相等,因此三棱锥 P-ABC 的正视图与侧视图的面积之比等于 1. 答案:1 10.一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为 1 的平 行四边形,侧(左)视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长 为 1 的正方形拼成的矩形,则该几何体的体积 V 是________.

解析:由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边 长为 1 的正方形,高为 3.

所以 V=1×1× 3= 3. 答案: 3 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.

11. 分)(2011· (12 浙江省宁波市)一个多面体的直观图及三视图如图所示 (其中 M,N 分别是 AF,BC 的中点).

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求二面角 A-CF-B 的余弦值; (3)求多面体 A-CDEF 的体积. 解:

由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF, 且 AB=BC=BF=4, π DE=CF=4 2,∠CBF= . 2 (1)证明:连接 BE,易知 BE 通过点 M,连接 CE. 则 EM=BM,CN=BN,∴MN∥CE,又 CE?平面 CDEF,MN?平面 CDEF,∴MN∥平面 CDEF.

(2)作 BQ⊥CF 于 Q,连接 AQ, ∵平面 BFC⊥平面 ABFE,平面 ABFE∩平面 BCF=BF,AB?平面 ABFE,AB⊥BF,∴AB⊥平面 BCF, 又 CF?平面 BCF,∴AB⊥CF,又 BQ⊥CF,AB∩BQ=B,∴CF⊥ 平面 ABQ,∵AQ?平面 ABQ,∴AQ⊥CF,故∠AQB 为所求二面角的平 面角.

4 AB 在 Rt△ABQ 中,tan∠AQB=BQ= = 2,则 2 2 cos∠AQB= 3 3 ,故所求二面角的余弦值为 . 3 3

1 (3)多面体 A-CDEF 的体积 V=2×VA-CEF=2×VC-ABF=2× S△ABF· BC 3 = 64 . 3

12.(13 分)(广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图(1) 所示.墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD- EFGH.图(2)、(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD⊥平面 PEG. 分析:(1)根据正(主)视图和俯视图可以知道其侧(左)视图和正(主)视图 是完全相同的;(2)根据两个视图给出的标记,这个安全墩的下半部分是一 个底面边长为 40 cm、 高为 20 cm 的长方体, 上半部分四棱锥的高为 60 cm, 根据公式计算即可;(3)根据正四棱锥的性质进行证明. 解:

(1)该安全标识墩侧(左)视图如右图所示. (2)该安全标识墩的体积 V=VP-EFGH+VABCD-EFGH 1 = ×402×60+402×20=32000+32000=64000(cm3). 3 (3)

证明:如右图所示,连接 HF、EG.由题设知四边形 ABCD 和四边形 EFGH 均为正方形, ∴FH⊥EG, 又∵ABCD-EFGH 为长方体,

∴BD∥FH. 设点 O 是 EFGH 的对称中心,连接 PO. ∵P-EFGH 是正四棱锥, ∴PO⊥平面 EFGH,而 FH?平面 EFGH, ∴PO⊥FH. ∵FH⊥PO,FH⊥EG,PO∩EG=O, PO?平面 PEG,EG?平面 PEG, ∴FH⊥平面 PEG. 而 BD∥FH,故 BD⊥平面 PEG. 点评:解这类给出了直观图和三视图中的两个图形的题目,只要根据 直观图得出另一个视图的形状,再根据给出的两个视图上标注的几何量, 在第三个视图上标注上几何量即可.


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