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专题检测·能力跨越 选修4-4


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专题检测·能力跨越
选修 4-4 1.在极坐标系中,曲线 L:ρ sin2θ =2cosθ ,过点 A(5,α )(α 为锐角且 tanα =错 误!未找到引用源。)作平行于θ =错误!未找到引用源。(ρ ∈R)

的直线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点. (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同的单位长度,建立平面 直角坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的直角坐标方程. (2)求 BC 的长. 2.(2013·徐州模拟)在极坐标系中,已知直线 2ρ cosθ +ρ sinθ +a=0(a>0)被圆 ρ =4sinθ 截得的弦长为 2,求 a 的值. 3.(2013·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为错误!未找 到引用源。(t 为参数),曲线 C 的参数方程为错误!未找到引用源。(θ 为参数). 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 4.(2013·南通模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正 半轴重合.曲线 C 的极坐标方程为ρ 2cos2θ +3ρ 2sin2θ =3,直线 l 的参数方程为错 误!未找到引用源。(t 为参数,t∈R).试在曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距 离最大. 5.已知圆锥曲线 C 的极坐标方程为ρ =错误!未找到引用源。,以极点为坐标原 点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线 C 的直角坐标方程,并求焦点到
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准线的距离. 6.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若 直线 l 的极坐标方程为ρ sin 错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。. (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)已知 P 为椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点, 求 P 到直线 l 的距离的最大值. 7.已知 A={(x,y)错误!未找到引用源。,α 为参数},B={(x,y)错误!未找到引用 源。, y=3-t,t 为参数},且 A∩B≠ ? ,求实数 m 的取值范围. 8.已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, 直线 C1:ρ cos 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。与曲线 C2:错误! 未找到引用源。(t∈R)交于 A,B 两点.求证:OA⊥OB. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为错误!未找到引用源。. 以直角坐标系原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方 程为ρ cos 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。.点 P 为曲线 C 上的 一个动点,求点 P 到直线 l 距离的最小值. 10.已知曲线 C 的极坐标方程是ρ =2sinθ ,直线 l 的参数方程是错误!未找到引 用源。(t 为参数). (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 11.平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,0)在曲线 C1:错误!未找到引用源。(a>0,φ 为参数)上.以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标
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方程为:ρ =acosθ . (1)求曲线 C2 的普通方程. (2)已知点 M,N 的极坐标分别为(ρ 1,θ ),错误!未找到引用源。,若点 M,N 都在 曲线 C1 上,求错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
1 的值. ?2 2

12.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 A 的极坐标为错误!未找到引用源。,直线 l 的极坐标方程为ρ cos 错误! 未找到引用源。=a,且点 A 在直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程. (2)圆 C 的参数方程为错误!未找到引用源。(α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

答案解析
1. 【解析】 (1)由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3),曲线 L 的直角坐标方程为 y2=2x, 直线 l 的直角坐标方程为 y=x-1. (2) 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 联 立 得 x2-4x+1=0, 得 x1+x2=4,x1·x2=1,由弦长公式得 BC=错误!未找到引用源。|x1-x2| =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。. 2.【解析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2x+y+a=0, 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4,
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因为截得的弦长为 2,所以圆心(0,2)到直线的距离为错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,因为 a>0,所以 a=错误!未找 到引用源。-2. 3.【解析】因为直线 l 的参数方程为错误!未找到引用源。(t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x. 联立方程组错误!未找到引用源。 解得公共点的坐标为(2,2),错误!未找到引用源。. 4.【解析】曲线 C 的普通方程是错误!未找到引用源。+y2=1,直线 l 的普通方程 是 x+错误!未找到引用源。y-错误!未找到引用源。=0, 设点 M 的直角坐标是(错误!未找到引用源。cosθ,sinθ),则点 M 到直线 l 的距 离是 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 因为-错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。 ≤错误!未找到引用源。, 所以当 sin 错误!未找到引用源。=-1,即θ+错误!未找到引用源。=2kπ-错误! 未找到引用源。(k∈Z), 即θ=2kπ-错误!未找到引用源。(k∈Z)时,d 取得最大值. 此时错误!未找到引用源。cosθ=-错误!未找到引用源。,sinθ=-错误!未找 到引用源。. 综上,点 M 的极坐标为错误!未找到引用源。时,该点到直线 l 的距离最大.
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5.【解析】由ρ=错误!未找到引用源。得:ρcos2θ=4sinθ,ρ2cos2θ=4ρsin θ, 又ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以所求曲线的直角坐标方程是 x2=4y,所以焦点到准 线的距离为 2. 6.【解析】(1)直线 l 的极坐标方程ρsin 错误!未找到引用源。=3 错误!未找 到引用源。,则错误!未找到引用源。ρsinθ-错误!未找到引用源。ρcosθ =3 错误!未找到引用源。, 即ρsinθ-ρcosθ=6,所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+6=0. (2)P 为椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点, 设 P(4cosα,3sinα),其中α∈[0,2π), 则 P 到直线 l 的距离 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,其中 cos φ=错误!未找到引用源。, 所以当 cos(α+φ)=1 时,d 的最大值为错误!未找到引用源。. 7.【解析】A={(x,y)错误!未找到引用源。+(y-m)2=2}, B={(x,y)错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。 ?m∈[4,8]. 8.【证明】直线 C1 的直角坐标方程是 x-y=4,曲线 C2 的直角坐标方程是 y2=4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),将这两个方程联立,消去 x, 得 y2-4y-16=0 ?y1y2=-16,y1+y2=4. 所以 x1x2+y1y2=(y1+4)(y2+4)+y1y2 =2y1y2+4(y1+y2)+16=0, 所以错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=0,所以 OA⊥OB.
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9.【解析】ρcos 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。化简为ρcos θ+ρsinθ=4,则直线 l 的直角坐标方程为 x+y=4. 设点 P 的坐标为错误!未找到引用源。,得 P 到直线 l 的距离 d=错误!未找到引 用源。, 即 d=错误!未找到引用源。,其中 cosφ=错误!未找到引用源。,sinφ=错误! 未找到引用源。 .当 sin 错误! 未找到引用源。 =1 时,dmin=2 错误! 未找到引用源。 -错误!未找到引用源。. 10.【解析】(1)曲线 C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0. (2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程, 得 y=-错误!未找到引用源。(x-2), 令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0).又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1), 半径 r=1,则 MC=错误!未找到引用源。,所以 MN≤MC+r=错误!未找到引用源。 +1,即 MN 的最大值为错误!未找到引用源。+1. 11. 【解析】 (1)由曲线 C1 的参数方程得其普通方程为错误! 未找到引用源。 +y2=1, 且 a>0,将点 A 的坐标(2,0)代入得 a=2,从而 C2 的极坐标方程为ρ=2cosθ,化为 直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. (2)由(1)得曲线 C1 的普通方程为错误!未找到引用源。+y2=1,由 x=ρcosθ,y= ρsinθ得极坐标方程为错误!未找到引用源。+ρ2sin2θ=1,从而错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。+sin2θ, 故错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+sin2 θ+错误!未找到引用源。+sin2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
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12.【解析】(1)由点 A 错误!未找到引用源。在直线ρcos 错误!未找到引用源。 =a 上,可得 a=错误!未找到引用源。, 所以直线 l 的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心到直线的距离 d=错误!未找到引用源。<1,所以直线与圆相交.

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