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湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考数学(文)试题


湖南省湘中名校 2014 届高三第一次大联考

数学(文)试题
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑,函数与导数,三角函数) 一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请把答案填在答卷上) 1.已知命题 p : ?x0 ? R ? , log 2 x

0 ? 1 ,则 ?p 是( A. ?x ? R ? , log 2 x ? 1 C. )

B. ?x ? R ? , log 2 x ? 1

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1

? D. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log 3 x ? 0 ,则 A I (CU B ) ? (
x

?

?

?

?



A.

? x x ? 1?
B. 必要条件
x

B.

? x x ? 0?

C.

? x 0 ? x ? 1?

D.

? x x ? 0?


3. 钱 大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的( A. 充分条件 C. 充分必要条件
2

D. 既非充分也非必要条件 )

4.设 a,b,c 依次是方程 2 ? x ? 0, log 2 x ? 2 ? x, log 1 x ? x 的根,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b
x

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

2 ? 5、已知命题 P :" ?x ? ? 0,1? , a ? e ", 命题 q :" ?x ? R, x ? 4 x ? a ? 0" ,若命题 P ? q 是真命题,

则实数 a 的取值范围是( A. ?1, 4? B.

) C. (4, ??) D.

?e, 4?

? ??,1?

6.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单 位后 ,得到的图像解析式为 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin 2 x ( ).

?
6



?
6

)

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)
)
[来源:学科网]

?
3

7. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1)且当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则 y =f(x)与 y ?| log 5 x | 的图 象的交点个数为( ) A. 3 B. 4 8.已知 f ? x ? ? x 2 , g ? x ? ? ?

C. 5
x

D. 6

使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 m 的取值范围是 A. m ?

?1? ? ? m ,若对任意的 x1 ? ? ?1,3? ,存在 x2 ? ? 0, 2? , ?2?
( ) D. m ? 2 C. m ? 0

1 4

B. m ? 1

9. 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 [m, n] 内是单调的; ②当定义域是 [m, n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“ 和谐 区间”.若函数

f ( x) ?

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是( a x



A. ( , )

1 5 2 2

B. (0,1)

C. (0, 2)

D. (1,3)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把正确答案填在答卷对应的横线上) 10. log 2

7 1 ? log 212 ? log 2 42 ? ______________. 48 2

11.运行如图的程序框图,输出的结果是

12. 已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 13.过点(0,-2)向曲线 y ? x 作切线,则切线方程为
3

1 ,则 x ? y 的值为 3


14. 函数 f ? x ? 的定义域为 R,且满足以下三个条件: ① f ? 0 ? ? 0 ;② f ?

?x? 1 ? ? f ? x ? ;③ ?3? 2

?1? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? ,则 f ? ? ? ?3?

?1? f ? ? 等于 ?6?

15.如图点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的边 BC 中线 AD 上一点,且 AO ? 2 OD ,过 O 的

直线交边 AB 于 M,交边 AC 于 N, 记∠AOM= ? , (1)则 ? 的取值范围为________,
[来源:学科网]

(2)

1 OM
2

?

1 ON
2

的最小值为________.

[来源:学科网 ZXXK]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 对于集合 M,定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M ,对于两个集合 M、N,定义集合 ? 1, x ? M

M ? N ? x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1 .已知 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , B ? ?1,3,9, 27,81? .
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值, (Ⅱ)用列举法写出集合 A ? B ;

?

?

17.(本小题满分 12 分) 已函数 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数,在 [0,1] 上时 f ? x ? ? 2 ? ln ? x ? 1? ? 1
x

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 f (2 x ? 1) ? f (1 ? x 2 ) ? 0 .

18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=1,求△ABC 的周长的取值范围.

1 c?b. 2

19. (本小题满分 13 分) 已知 a 为实数,x=1 是函数 f ( x) ?

1 2 x ? 6 x ? a ln x 的一个极值点。 2 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递减,求实数 m 的取值范围;
(Ⅱ)设函数 g ( x) ? x ?

1 ,对于任意 x ? 0 和 x1 , x2 ? [1,5] ,有不等式 x

| ? g ( x) | ?5ln 5 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

20、 (本小题满分 13 分) 有一块边长为 4 米的正方形钢板,现对其进行切割,焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗忽略 .. .. .. 不计) ,有人用数学知识作了如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成长方 体。 (Ⅰ)求这种切割、焊接而成 的长方体的最大容积 V1 . (Ⅱ)请问:能重新设计,使所得长方体的容器的容积 V2 ? V1 吗?若能、给出你的一种设计方 案。

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln

x ?1 1? x ? (a ? 0) . 2 a( x ? 1)

[来源:学科网]

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 求证:当 n ? N ? 且 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? L ? ? ln n . 2 3 4 n

?


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