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三角函数与解三角形解答题


三角函数与解三角形
一、山东近年高考题
1.(2007 山东 20)(本小题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙 船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲 船的北偏西 105°方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里.当甲船 航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方 向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少 海里? 2.(2008 山东 17) (本小题满分 12 分)

?x ? ? )(0 ? ? ? π , ? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x) 已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(
图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

3.(2009 山东 17)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 1 C ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 4 3

4.(2010 山东 17) (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ?

(Ⅰ)求 ? 的值;

1 1 ? ? 1 sin 2 x sin ? ? cos2 x cos? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,其图象过点 ( , ). 2 2 2 6 2 1 ,纵坐标不变,得到函数 2

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值。 4
5.(2011 山东 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (Ⅰ)求

?

cos A ? 2cos C 2c ? a , ? cos B b

sin C 1 的值; (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S. sin A 4
1

考点分析: (1) 三角函数的图像与性质 ①化成一角一函数常用公式:倍角公式、降幂公式、两角和差正余弦公式 ②常见问法:求参数值、求函数值、求周期、求对称轴或对称中心、求单调区间、 定区间求值域或最值、画函数图像(特别是给定区间) ③注意:与向量结合(向量平行于垂直) 、图像的平移变换 (2)解三角形 熟练应用正余弦定理、已知等式化成全角或全边、解方程 (3)三角函数与解三角形相结合

二.各地试题:三角函数
1.(2011 广东 16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

) , x? R .

(2)求其单调减区间;

(3)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

2.(2011 天津 15)已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? ? 0,

?
4

), ,

? ?

??

? ,若 f ( ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. 4? 2

?

3.(2010 天津 17)已知函数 f ( x) =2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R) .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

2

4.(2011 北京 15) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ?

?
6

) ?1。
? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

5.(2010 北京 15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x.
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值。

?

3

6.(2010 广东 16)

已知函数f ? x ? ? A sin ? 3 x ? ? ? ( A>0,x ? ? ??, ?? ?, 0<?<?),在x ? (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式 2 ? 12 (3)若( f ? + )= ,求 sin ? . 3 12 5

?
12

时取得最大值4。

7.(2010 湖北 16)已知函数 f ? x ? ? cos ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

1 1 ?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? , g ? x ? ? sin 2 x ? . 2 4 ?3 ? ?3 ?

(Ⅱ)求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的最大值,并求使 h ? x ? 取得最大值的 x 的集合.

8.(2010 江西 17) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x)sin x ? m sin( x ?
2

?

)sin( x ? ) . 4 4

?

(1)当 m ? 0 时,求 f ( x) 在区间 ? (2)当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

? ? 3? ? , 上的 取值范围; ?8 4 ? ?

3 ,求 m 的值. 5
3

9.(2010 湖南 16) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的零点的集合.

10.(2010 重庆 16) (本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (I) (II)

? ?

2 ? x ? ? ? 2 cos 2 , x ? R 。 3 ? 2

求 f ? x ? 的值域; 记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 , 求 a 的值。

二.各地试题:解三角形
1. ( 2011 湖 北 16 ) 设 ? ABC 的 内 角 A.B.C 所 对 的 边 分 别 为 a.b.c , 已 知

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4
(Ⅰ)求 ? ABC 的周长 (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

2.(2011 湖南 17) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 c sin A ? a cos C . (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

3.(2011 江西 17) (本小题满分 12 分) 在 VABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C ? cos C ? ?? sin (1) 求 sin C 的值; (2) 若 a ? b ? ?(a ? b) ? ? ,求边 c 的值.
4
? ?

C . ?

4.(2011 全国 17)(本小题满分 l0 分)

VABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 A ? C ? 90? , a ? c ? 2b , 求

C.

5.(2010 安徽 16)(本小题满分 l2 分) 设△ABc 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且

. (1)求角 A 的值;

(Ⅱ)

,a=

,求

(其中

) .

6.(2010 辽宁 17) (本小题满分 12 分)

在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 (Ⅰ)求 A 的大小;

(Ⅱ)求

的最大值.

5

7.(2010 全国 2 17) (本小题满分 10 分)

中,

为边

上的一点,





,求 AD .

8.(2010 浙江 18)(本题满分 l4 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2.2sinA=sinC 时.求 b 及 c 的长.
COS 2C ? ? 1 4

6


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