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江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:数列(含答案)


江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 数列
一、填空题 1、(2014 年江苏高考)在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1, a8 ? a6 ? 2a2 ,则 a6 的值 是 ▲

2 、 ( 2013 年 江 苏 高 考 ) 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为



3、(2012 年江苏高考)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 4、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研) 记数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 a1=1, Sn=2(a1+an)(n≥2, n∈N*), 则 Sn= ▲ 5 、 ( 2015 届 江 苏 南 通 市 直 中 学 高 三 9 月 调 研 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且
a1 ? a3 ? 1 ? a2 ? a4, S4 ? 2 ,则数列 {an } 的公比 q 为



6、 (2015 届江苏苏州高三 9 月调研) 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ?

1 , 则 a4 ? a5 ? 2

▲ 7、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知数列{an}满足 an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前 n 项 和为 Sn.若 S9=6,S10=5,则 a1 的值为 ▲
b1 ? b2 , 8、 (南通市 2014 届高三第三次调研) 设数列{an}为等差数列, 数列{bn}为等比数列. 若 a1 ? a2 ,

且 bi ? ai2 (i ? 1,2,3) ,则数列{bn}的公比为 ▲ . 9、(苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1 = ?1,S3 = 6,则 S6 = ▲ 10、(徐州市 2014 届高三第三次模拟)在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a4 ? 8 .设 S3n 为该数列
3 的前 3n 项和, Tn 为数列 an 的前 n 项和.若 S3n ? tTn ,则实数 t 的值为

? ?



11、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1 a1,a3,a7 成等比数列,则 的值为 ▲ d 二、解答题 1、 (2014 年江苏高考)设数列{ }的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得

1 南京清江花苑严老师

,则称{

}是“H 数列。 ”

(1)若数列{

}的前 n 项和

=

(n

) ,证明:{

}是“H 数列” ;

(2)设数列{

}是等差数列,其首项

=1.公差 d 0.若{

}是“H 数列” ,求 d 的值;

(3)证明:对任意的等差数列{

},总存在两个“H 数列” {

}

和{

},使得

=

(n

)成立。

2、(2013 年江苏高考)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和。记

bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数。 2 n ?c

* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N );

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 。

a n ?1 ? 3、 (2012 年江苏高考) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:
? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?
2

a n ? bn a n ? bn
2 2

n? N *, ,

(1)设 bn ?1

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

4、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列, 且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

5、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2a2 ? a1 ? a3 ,且对
2 南京清江花苑严老师

2 ? an an ? 2 ? 4 . 于任意 n ? N* ,都有 an ? 0 , an ?1

(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

6、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间分别插入 m 个正数 a1,a2,?,am 和正数 b1,b2,?, bm,使 a,a1,a2,?,am,b 是等差数列,a,b1,b2,?,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5, = ,求 的值; b3 4 a (2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈ N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值及此时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).

7 、(南通市 2014 届高三第三次调研)各项均为正数的数列 {an} 中,设 Sn ? a1 ? a2 ?

? an ,

Tn ? 1 ? 1 ? a1 a2

? 1 , an

且 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 , n ? N* . (1)设 bn ? 2 ? Sn ,证明数列{bn}是等比数列; (2)设 cn ? 1 nan ,求集合 ? m, k, r ? | cm ? cr ? 2ck , m ? k ? r, m, k, r ? N* . 2 8、(苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))已知常数 λ≥0,设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足:a1 = 1,
Sn ?1 ? an ?1 Sn ? ? ? 3n ? 1 an ?1 ( n ? N * ). an

?

?

?

?

(1)若 λ = 0,求数列{an}的通项公式;

1 (2)若 an?1 ? an 对一切 n ? N * 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 2

9 、 ( 徐 州 市 2014 届 高 三 第 三 次 模 拟 ) 已 知 数 列 ?an ? , ?bn ? 满 足 a1 ? 3 , anbn ? 2 ,

bn ?1 ? an (bn ?

2 ) , n ? N* . 1 ? an
3

南京清江花苑严老师

1 (1)求证:数列 { } 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; bn

(2) 设数列 ?cn ? 满足 cn ? 2an ? 5 , 对于任意给定的正整数 p , 是否存在正整数 q , r ( p ? q ? r ), 使得

1 1 1 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q , r ;若不存在,说明理由. cr cq cp

10、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))已知数列{an}的各项都为正数,且对任 意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 < . an a1

参考答案
一、填空题 1\、4
2、12 3、

3 5

4、2-2n

-1

5、

1 3

6、3 7、1

8、 3 ? 2 2

9、39 10、7

11、2

二、解答题 1、 (1)证明:∵ = ,∴ = = (n ) ,又 = =2= ,∴

(n

) 。∴存在 m=n+1 使得

(2)

=1+(n-1)d ,若{

}是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得



=1+(m-1)d 成立。化简得

m=

+1+

,且 d 0

又m



, d

,且 为整数。

(3)证明:假设成立且设
南京清江花苑严老师

都为等差数列,则
4

n

+

=

+(

-1)



=

+

+1,



=



)同理

=







=

=k

由题

=

=

+( -1)

+

+( -1)

=(

)+(n-1) (

)=(n+k-1)



可得{

}为等差数列。即可构造出两个等差数列{

}

和{

}同时也是“H 数列”满足条件。

2、证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和
∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2
2

1 3 ? b1b4 ∴ (a ? d ) 2 ? a(a ? d ) 2 2 1 1 2 1 1 1 ∴ ad ? d ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2 4 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴左边= S nk

? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a

右边= n

2

Sk ? n2 k 2 a
? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?
nS n 得: n2 ? c

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn

b1 ? (n ? 1)d1 ?
成立

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒 2 2 2 n ?c

5 南京清江花苑严老师

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由③式得: c ? 0 法二:证:(1)若 c

由①式得: d 1 ?

1 d 2

∵ d ?0



d1 ? 0

? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ?
2

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 即: ? a ? 由此: S n 故: Snk

? b1b4 ,

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?

2

? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a .

? n2 Sk ( k , n ? N * ).

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn

? An ? Bn 型.

观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c

? 0 时 {bn} 是等差数列.

3、解:(1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

2



2 2 2 2 ? 2 ? ? bn ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1 ? ? ? 。∴ ? ∴ ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? an ?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?


6

南京清江花苑严老师

2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 a ? ?? n ? ? ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 。(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 4、解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.???????????? 3 分
?2+3d+2q3=21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 ?8+6d+2q =30, ?q=2.

所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n.

???????????? 7 分

7 南京清江花苑严老师

记 Tn=c1+c2+c3+?+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+?+cn =2×2+3×22+4×23+?+n×2n 2 Tn=
-1

+(n+1)×2n,


2×22+3×23+?+(n-1)×2n 1+n×2n+


(n+1)2n 1,


所以-Tn=2×2+(22+23+?+2n )-(n+1)×2n 1, ??????????? 11 分 即 Tn=n·2n 1,n∈N*.


???????????? 14 分

2 5、解:(1)由条件, ?n ? N* , an ?1 ? an an ? 2 ? 4 ,

2 令 n ? 1 ,得 a2 = a1a3 ? 4 .

??????????????????????2 分 ???????????4 分

又 2a2 ? a1 ? a3 ,且 a1 ? 1 , 易求得 a2 ? 3, a3 ? 5 .

2 再令 n ? 2 ,得 a3 = a2 a4 ? 4 ,求得 a4 ? 7 . ????????????????6 分

2 ? an an ? 2 ? 4 (2)∵ an ?1

(1) (2)

2 ? an ?1an ?3 ? 4 ∴ an ?2

2 2 ? an ? (an an ? 2 ? 4) ? (an ?1an ?3 ? 4) 由(1)-(2)得, an ?1 ?2

? an an ? 2 ? an ?1an ?3 ?????????????????8 分
2 2 ? an ?1an ?3 ? an ? an an ? 2 ∴ an ?1 ?2

∴ an ?1 (an ?1 ? an ?3 ) ? an ? 2 (an ? an ? 2 ) ∴
? a ? an ? 2 ? an ? an ? 2 an ?1 ? an ? 3 ? ,∴数列 ? n ? 为常数数列. ?????????12 分 an ?1 an ? 2 ? an ?1 ?
an ? an ? 2 a1 ? a3 ? 2. ? a2 an ?1



∴ an ? an ? 2 ? 2an ?1.

∴数列 {an } 为等差数列. ???????????????????????14 分 又公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , ∴ an ? 2n ? 1 .?????????????????16 分

6、解:(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b-a 则 d= ,q= 6
6

b . a ??????????2 分
8

a+b a3=a+3d= ,b3=aq3= ab. 2
南京清江花苑严老师

a3 5 b 1 因为 = ,所以 2a-5 ab+2b=0,解得 =4 或 . b3 4 a 4

??????????4 分

λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a× n. m+1 m+1
1


n

因为 λa=a× qm 1,所以 q=λm+1,从而得 bn=a× λm+1. (λ-1)(n-5) 因为 an-5=bn,所以 a+ × a=a× λm+1. m+1
n (λ-1)(n-5) m+ 因为 a>0,所以 1+ =λ 1(*). m+1 n

?????????6 分

(λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈ N*,所以 1+ 为有理数. m+1
n

要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1.
n

若 λ=2,则 λm+1为无理数,不满足条件. 同理,λ=3 不满足条件. 当 λ=4 时,4
n m +1

??????????8 分
2n m+1

=2

2n m +1

.要使 2

2n 为有理数,则 必须为整数. m+1

又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ }为递增数列. n Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, < =bn+1. n n Sn n+1 Sn Sn+1 Sn 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ = Sn,所以 < ,即数列{ }为递增数列. n n n n+1 n Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ }为递减数列. n Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > . n n m+1 m+1


???????????10 分

???????????12 分

b-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+1
9 南京清江花苑严老师

bn-a 所以 d> ,即 a+nd>bn,即 an>bn. n Sm +1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1


aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > .以下同①. n m+1


综上, an>bn(n∈N*,n≤m).

?????????16 分

证法二:设等差数列 a,a1,a2,?,am,b 的公差为 d,等比数列 a,b1,b2,?,bm,b 的公 比为 q, b=λa(λ>0,λ≠1). 1 λ-1 由题意,得 d= a,q=aλm+1, m+1
n λ-1 所以 an=a+nd=a+ an,bn=aλm+1. m+1

要证 an>bn(n∈N*,n≤m), n λ-1 m+1 只要证 1+ n-λ >0(λ>0,λ≠1,n∈N*,n≤m).??????????12 分 m+1
x λ-1 构造函数 f(x)=1+ x-λm+1(λ>0,λ≠1,0<x<m+1), m+1 x λ-1 λ-1 1 m +1 则 f′(x)= - λ lnλ.令 f′(x)=0,解得 x0=(m+1)logλ . lnλ m+1 m+1

λ-1 以下证明 0<logλ <1. lnλ λ-1 不妨设 λ>1,即证明 1< <λ,即证明 lnλ-λ+1<0,λlnλ-λ+1>0. lnλ 1 设 g(λ)=lnλ-λ+1,h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1),则 g′(λ)= -1<0,h′(λ)=lnλ>0, λ 所以函数 g(λ)=lnλ-λ+1(λ>1)为减函数,函数 h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1)为增函数. 所以 g(λ)<g(1)=0,h(λ)>h(1)=0. λ-1 λ-1 所以 1< <λ,从而 0<logλ <1,所以 0<x0<m+1.??????????14 分 lnλ lnλ 因为在(0,x0)上 f′(x)>0,函数 f(x)在(0,x0)上是增函数; 因为在(x0,m+1)上 f′(x)<0,函数 f(x)在(x0,m+1)上是减函数. 所以 f(x)>min{f(0),f(m+1)}=0. 所以 an>bn(n∈N*,n≤m). 同理,当 0<λ<1 时,an>bn(n∈N*,n≤m). ??????????1 7、【解】(1)当 n ? 1 时, (2 ? S1 )(1 ? T1 ) ? 2 , 即 (2 ? a1 )(1 ? 1 ) ? 2 ,解得 a1 ? 1 . a1
南京清江花苑严老师

???????????2 分
10

由 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 ,所以 Tn ? 当 n ≥ 2 时, Tn ?1 ? ①-② ,得
2 ?1 2 ? Sn ?1

2 ?1 2 ? Sn





2an 1 2 2 ? ? ? ( n ≥ 2 ),???????????4 分 an 2 ? Sn 2 ? Sn ?1 (2 ? Sn )(2 ? Sn ?1 )

即 (2 ? Sn )(2 ? Sn?1 ) ? 2[(2 ? Sn?1 ) ? (2 ? Sn )]2 , 即 bnbn?1 ? 2(bn?1 ? bn )2 ,所以

bn bn?1 5 ? ? , bn?1 bn 2 bn ?1. bn?1

因为数列{an}的各项均为正数,所以数列 ?2 ? Sn ? 单调递减,所以 所以

bn 1 ? ( n ≥ 2 ). bn?1 2

因为 a1 ? 1 ,所以 b1 ? 1 ? 0 , 所以数列{bn}是等比数列. ???????????6 分

1 1 n (2)由(1)知 2 ? Sn ? ( )n ?1 ,所以 an ? n?1 ,即 cn ? n . 2 2 2 cm cr 由 cm ? cr ? 2ck ,得 ? ? 2 (*) ck ck
又 n ≥ 2 时,
cn ?1 n ? 1 ? ? 1 ,所以数列 ?cn ? 从第 2 项开始依次递减. cn 2n

????8 分

m m cm cm 4m (Ⅰ)当 m ≥ 2 时,若 k ? m ≥ 2 ,则 ≥ ? 2 ? ≥2, m ? 2 ck cm ? 2 m?2 2m ? 2
(*)式不成立,所以 k ? m = 1 ,即 k ? m ? 1 . 令 r ? m ? 1 ? i(i ? N* ) ,则 cr ?
r 2
m ?1? i

???????????10 分
2 ? m ? 1? 2
m ?1

? 2ck ? cm ?

?

m 2 2i ?1 ? m ?1 ? m ?1? i , m 2 2 2

所以 r ? 2i ?1 ,即存在满足题设的数组 ? 2i ?1 ? i ? 1, 2i ?1 ? i, 2i ?1 ? ( i ? N* ).??? 13 分 (Ⅱ )当 m ? 1 时,若 k ? 2 ,则 r 不存在;若 k ? 3 ,则 r ? 4 ; 若 k ≥ 4 时,
c1 c ≥ 1 ? 2 ,(*)式不成立. ck c4

?

?

综上所述,所求集合为 (1,3,4), (2i ?1 ? i ? 1,2i ?1 ? i,2i ?1 ) ( i ? N* ). ??????16 分 (注:列举出一组给 2 分,多于一组给 3 分) 8、

?

?

11 南京清江花苑严老师

12 南京清江花苑严老师

9、(1)因为 anbn ? 2 ,所以 an ?

2 , bn

2an 2bn 4 , ?????????2 分 ? 2? ? 2? ? 2 1 ? an b ? 2 b ? 2 n n 1? bn 1 1 1 ? ? , 所以 bn ?1 bn 2
则 bn ?1 ? anbn ?

4 bn

13 南京清江花苑严老师

又 a1 ? 3 ,所以 b1 ? 即

?1? 2 3 1 ,故 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, 3 2 2 ? bn ?

??4 分

1 3 1 n?2 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,所以 bn ? . ?????????6 分 bn 2 2 2 n?2 (2)由(1)知 an ? n ? 2 ,所以 cn ? 2an ? 5 ? 2n ? 1 , ①当 p ? 1 时, c p ? c1 ? 1 , cq ? 2q ? 1 , cr ? 2r ? 1 ,


1 2 1 1 1 ?1? , , 成等差数列,则 ( ? ), 2 q ? 1 2 r ?1 c cq cp r
2 1 ? 1 ,1 ? ?1 , 2q ? 1 2r ? 1
??????????9 分

因为 p ? q ? r ,所以 q ≥ 2 , r ≥ 3 ,

所以( ? )不成立. 1 1 1 ②当 p ≥ 2 时,若 , , 成等差数列, cr cq cp 则

2 1 1 1 2 1 4 p ? 2 q ?1 ? ? ? ? ? ,所以 , 2q ? 1 2 p ? 1 2 r ? 1 2r ? 1 2q ? 1 2 p ?1 (2 p ?1)(2 q ?1) (2 p ? 1)(2q ? 1) 2 pq ? p ? 2q ,所以 r ? , 4 p ? 2q ? 1 4 p ? 2q ? 1
2

即 2r ? 1 ?

?????????12 分 ??????14 分
2

欲满足题设条件,只需 q ? 2 p ? 1 ,此时 r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,

因为 p ≥ 2 ,所以 q ? 2 p ? 1 ? p , r ? q ? 4 p ? 7 p ? 3 ? 4( p ? 1) ? p ? 1 ? 0 , 即r ? q. ??????????15 分 综上所述,当 p ? 1 时,不存在 q , r 满足题设条件; 当 p ≥ 2 时,存在 q ? 2 p ? 1 , r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,满足题设条件.?16 分 10、解:(1)解法一:因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则 a3=3-2d,a4=3-d. 2 2 a3 (3-2d) 因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2=a4= 3-d . ??????3 分 (3-2d)2 3 3 因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2,或 d=4.因为 an>0,所以 d=4. 1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2.?????5 分 解法二:因为 a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 成等差数列,

?2 ? a1 ? a3 ? 2 则 ?a 3 ? a 4 ,?????3 分 ?2 a ? a ? 3 3 ? 4
3 3 1 或 a3 ? ?1 (舍),所以 a1 ? 2 ? ? 。???5 分 2 2 2 解法三:因为 a1,a2,a3 成等差数列,则 a3 ? 2 ? a1 ,
则 2a3 ? a3 ? 3 ,解得 a 3 ?
2

因为 a2,a3,a4 成等比数列,则 a4 ? (2 ? a1 ) ??????3 分
2

因为 a3,a4,a5 成等差数列,则 2a4 ? a3 ? a5 ,则 2(2 ? a1 ) ? 2 ? a1 ? 3
2

解得: a1 ? 3 或 a1 ?

1 1 ;当 a1 ? 3 时, a3 ? ?1 (与 an ? 0 矛盾,故舍去),所以 a1 ? . 2 2
???5 分(注:没有舍去一解,扣 1

分)
14 南京清江花苑严老师

(2)证法一:因为 a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列, 2 所以 2a2n=a2n-1+a2n+1,① a2n2 +1 =a2na2n+2.②;所以 a2n-1 =a2n-2a2n,n≥2.③ 所以 a2n-2a2n + a2na2n+2=2a2n. 因为 an>0,所以 a2n-2 + a2n+2=2 a2n . ????7 分 即数列{ a2n }是等差数列. 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2). 由 a1,a2 及 a2n-1,a2n,a2n+1 是等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 是等比数列, (2a2-a1)2 可得 a4= .??????8 分 a2 (a2-a1)n+a1 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2)= . a2 [(a2-a1)n+a1]2 所以 a2n= .????????10 分 a2 [(a2-a1)(n+1)+a1]2 所以 a2n+2= . a2 [(a2-a1)n+a1][(a2-a1)(n+1)+a1] 从而 a2n+1= a2na2n+2= . a2 [(a2-a1)(n-1)+a1][(a2-a1)n+a1] 所以 a2n-1= .??????12 分 a2 ①当 n=2m,m∈N*时, [(a2-a1)m+a1][(a2-a1)(m+1)+a1] a2 an+1 a2 a2 (a2-a1)(m+1)+a1 a2 - = - = - 2 an a1 a1 a1 [(a2-a1)m+a1] (a2-a1)m+a1 a2 m(a1-a2)2 =- <0. ?????14 分 a1[(a2-a1)m+a1] ②当 n=2m-1,m∈N*,m≥2 时, [(a2-a1)m+a1]2 a2 an+1 a2 (a2-a1)m+a1 a2 a2 - = - = - an a1 [(a2-a1)(m-1)+a1][(a2-a1)m+a1] a1 (a2-a1)(m-1)+a1 a1 a2 2 (m-1)(a1-a2) =- <0. a1[(a2-a1)(m-1)+a1] an+1 a2 综上,对一切 n∈N*,n≥2,有 < . ??????16 分 an a1 证法二:①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列. an+2 an+1 an+2an-a2n+1 (2an+1-an)an-a2n+1 (an+1-an)2 因为 - = = =- ≤0, an+1 an an+1an an+1an an+1an an+2 an+1 所以 ≤ .??????9 分 an+1 an an+2 an+1 ②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以 = .???11 分 an+1 an an+2 an+1 a3 由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*, ≤ ≤?≤ .???13 分 a2 an+1 an 2 2 (a1-a2)2 a3 a2 2a2-a1 a2 2a2a1-a1 -a2 又因为 - = - = =- , a2 a1 a2 a1 a2a1 a2a1 2 (a1-a2) a3 a2 因为 a1<a2,所以- <0,即 < .???15 分 a2a1 a2 a1
15 南京清江花苑严老师

an+1 a2 综上, < .????16 分. an a1

16 南京清江花苑严老师


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