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2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆


2015 届高考数学一轮总复习 8-4 椭圆
基础巩固强化 一、选择题 x2 y2 1.(文)设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 C.8 [答案] D [解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. x2 y2 (理)椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F

2,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 16 7 的周长为( A.32 C.8 [答案] B [解析] 由题设条件知△ABF2 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16. → → x2 y2 2.(文)(2012· 丽水模拟)若 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,且PF1· PF2= a b 1 0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为( 2 A. 5 3 B. 2 3 ) ) B.16 D.4 B.5 D.10 )

1 C. 3

1 D. 2

[答案] A 2c 5 [解析] 在 Rt△PF1F2 中,不妨设|PF2|=1,则|PF1|=2.|F1F2|= 5,∴e= = . 2a 3 (理)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1、F2,若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2, 则曲线 Γ 的离心率等于( 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 [答案] A [解析] 设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t(t>0), 3t 1 若 Γ 为椭圆,则离心率为 e= = , 6t 2 3t 3 若 Γ 为双曲线,则离心率为 = . 2t 2
1

)

2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2

3. (2013· 浙江绍兴一模)椭圆 等于( A.2 C.8 ) B.4 3 D. 2

x2 y2 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, 则|ON| 25 9

[答案] B [解析] 连接 MF2.已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,∴|MF2|=10-|MF1|=8. 1 如图,|ON|= |MF2|=4.故选 B. 2

x2 y2 4.(2013· 新课标Ⅰ理,10)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭 a b 圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x y A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 [答案] D [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵A、B 在椭圆上,
2 2

)

x y B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9

2

2



? ?x y ?a +b =1.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b

2 2 x2 y2 1-x2 2-y1 两式相减得, 2 = 2 , a b

?x1-x2??x1+x2? ?y2-y1??y2+y1? 即 = , a2 b2 ∵AB 的中点为(1,-1),∴x1+x2=2,y1+y2=-2, y2-y1 b2 ∴k= = 2, x2-x1 a -1-0 1 b2 1 又∵k= = ,∴ 2= , 2 a 2 1-3 又∵c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,∴b2=9,a2=18,

2

x2 y2 ∴椭圆 E 的标准方程为 + =1,故选 D. 18 9 5.(文)若椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是( x2 y2 A. + =1 81 72 x2 y2 C. + =1 81 45 [答案] A 1 [解析] 依题意知:2a=18,∴a=9,2c= ×2a,∴c=3,∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方 3 x2 y2 程为 + =1. 81 72 (理)(2013· 烟台质检)一个椭圆中心在原点, 焦点 F1, F2 在 x 轴上, P(2, 3)是椭圆上一点, 且|PF1|, |F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x y A. + =1 8 6 x2 y2 C. + =1 8 4 [答案] A x2 y2 4 3 [解析] 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由点(2, 3)在椭圆上知 2+ 2=1.又|PF1|, |F1F2|, a b a b c 1 |PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2= a 2 6. x2 y2 6. 椭圆 + =1 的焦点为 F1、 F 2, 椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60° , 则△F1PF2 的面积是( 100 64 64 3 A. 3 16 3 C. 3 [答案] A [解析] 由余弦定理:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos60° =|F1F2|2. 又|PF1|+|PF2|=20,代入化简得|PF1|· |PF2|= 1 64 3 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin60° = . 2 3 二、填空题 x2 y2 7.(文)设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM| 25 16 =3,则 P 点到椭圆左焦点距离为________. [答案] 4
3
2 2

) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36

)

x y B. + =1 16 6 x2 y2 D. + =1 16 4

2

2

)

91 3 B. 3 64 D. 3

256 , 3

[解析] |OM|=3,|PF2|=6, 又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4. x2 (理)(2013· 池州二模)已知点 M( 3, 0), 椭圆 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、 B, 则△ABM 4 的周长为________. [答案] 8 [解析] M( 3,0)与 F(- 3,0)是椭圆的焦点,则直线 AB 过椭圆左焦点 F(- 3,0),且|AB| =|AF|+|BF|,△ABM 的周长等于|AB|+|AM|+|BM|=(|AF|+|AM|)+(|BF|+|BM|)=4a=8. 8.若方程 x2sin2α-y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么 α 的取值范围是________. 7π 3π? [答案] ? ?2kπ+ 6 ,2kπ+ 2 ?,k∈Z

[解析]

? ?-cosα>sin2α, 根据题意知,? cosα<0, ?sin2α>0. ?

1

1

1 ? ?-1≤sinα<-2, 化简得,? ? ?cosα<0. 7 3 ? 解得 α∈? ?2kπ+6π,2kπ+2π?(k∈Z).

?|x|≤2, x2 y2 9.已知椭圆 M: 2+ 2=1(a>0,b>0)的面积为 πab,M 包含于平面区域 Ω:? 内,向 a b ?|y|≤ 3.
π Ω 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆 M 内的概率为 ,则椭圆 M 的方程为________. 4 x2 y2 [答案] + =1 4 3 [解析]

平面区域 Ω:

?|x|≤2, 是一个矩形区域,如图所示, ? ?|y|≤ 3.
4

依题意及几何概型,可得

πab π = ,即 ab=2 3. 8 3 4

因为 0<a≤2,0<b≤ 3,所以 a=2,b= 3. x2 y2 所以,椭圆 M 的方程为 + =1. 4 3 三、解答题 10.椭圆的两焦点坐标分别为 F1(- 3,0),F2( 3,0),且椭圆过点 M(1,- (1)求椭圆方程; 6 (2)过点 N(- ,0)作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 P、Q 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断 5 ∠PAQ 的大小是否为定值,并说明理由. x2 y2 3 [解析] (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意 c= 3,且椭圆过点 M(1,- ), a b 2 a -b =3, 2 ? ? ? ?a =4, x2 ∴? 1 ?? 2 ∴椭圆方程为 +y2=1. 3 4 ?b =1. ? ?a2+4b2=1. ? 6 (2)设直线 PQ:x=ty- , 5
2 2

3 ). 2

?x=ty-5, 由? x ? 4 +y =1.
2 2

6

12 64 消去 x 得,(t2+4)y2- ty- =0, 5 25

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), ∴y1y2=- 64 12t ,y +y = , 25?t2+4? 1 2 5?t2+4?

又 A(-2,0), → → ∴AP· AQ=(x1+2,y1)· (x2+2,y2) 4 4 =(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+ )(ty2+ )+y1y2 5 5 4 16 =(t2+1)y1y2+ t(y1+y2)+ =0, 5 25 π ∴∠PAQ= (定值). 2 能力拓展提升 一、选择题 x2 y2 1 11.(2013· 荆州市质检)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+2bx a b 2 +c=0 的两个实数根分别是 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)到原点的距离为( )

5

A. 2 C.2

B.

7 2

7 D. 4

[答案] A c 1 b 3 2b c [解析] 因为 e= = ,所以 a=2c,由 a2=b2+c2,得 = ,x1+x2=- =- 3,x1x2= = a 2 a 2 a a 1 2 2 ,点 P(x1,x2)到原点(0,0)的距离 d= x1 +x2 2= ?x1+x2? -2x1x2= 2. 2 12.(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 )

[答案] B c [分析] 要求离心率 e= ,先由条件建立 a、b、c 的方程,利用 a2=b2+c2 消去 b,两边同除以 a a2 即可化为 e 的方程. [解析] 3 由题意得:4b=2(a+c)?4b2=(a+c)2?3a2-2ac-5c2=0?5e2+2e-3=0?e= 或 e 5

=-1(舍),故选 B. x2 y2 (理)(2013· 全国大纲理,8)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 4 3 PA2 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( 1 3 A.[ , ] 2 4 1 C.[ ,1] 2 [答案] B [解析] 3 3 B.[ , ] 8 4 3 D.[ ,1] 4 )

如图:A1(-2,0),A2(2,0)
6

直线 A2M 的方程为 y=-(x-2),即 y=2-x, x2 y2 代入椭圆方程 + =1 中消去 y 得,7x2-16x+4=0, 4 3 16 2 2 12 ∴2+x= ,∴x= ,∴M 点坐标为( , ). 7 7 7 7 26 24 同理可得 N 点坐标为( , ) 19 19 24 19 3 3 ∵kA1M= = ,kA1N= = , 2 4 26 8 +2 +2 7 19 3 3 ∴直线 PA1 斜率的取值范围是[ , ]. 8 4 [解法探究] 点 P 在椭圆 C 上运动,PA2 的斜率取值已知,求 PA1 的斜率的取值范围,若能找到 kPA1 与 kPA2 的关系,则解答更简便. 由条件知,A1(-2,0),A2(2,0), x2 y2 0 0 设 P 点坐标为(x0,y0),则 + =1, 4 3 y0 y0 kPA2= ,kPA1= , x0-2 x0+2 3 3- x2 4 0 3 于是 kPA1· kPA2= 2 = =- . 4 x0-22 x2 0-4 y2 0 ∴kPA1= 3 , -4kPA2 12 7

3 3 ∵-2≤kPA2≤-1,∴4≤-4kPA2≤8,∴ ≤kPA1≤ . 8 4 x2 y2 y2 13.(文)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 a b 4 线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 [答案] C [解析] B.a2=13 D.b2=2 )

7

由已知双曲线渐近线为 y=± 2x.圆方程为 x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取 y=2x 与椭圆交于 P、Q 1 2a a 5a 2 5a 两点,且 P 在 x 轴上方,则由已知|PQ|= |AB|= ,∴|OP|= .则点 P 坐标为( , ), 3 3 3 15 15 5a2 20a2 225 225 又∵点 P 在椭圆上,∴ 2 + 2 =1.① a b

?a = 2 , 又∵a -b =5,∴b =a -5.②,解①②得? 1 ?b =2.
2 2 2 2 2 2

11

故选 C. (理)

x2 y2 设 F 是椭圆 + =1 的左焦点,且椭圆上有 2011 个不同的点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,?,2011), 25 16 且线段|FP1|,|FP2|,|FP3|,?,|FP2011|的长度成等差数列,若|FP1|=2,|FP2011|=8,则点 P2010 的横 坐标为( 2008 A. 2011 1004 C. 201 ) 1005 B. 201 536 D. 67

[答案] C x2 y2 [解析] ∵椭圆 + =1,∴F(-3,0),由|FP1|=2=a-c,|FP2011|=8=a+c,可知点 P1 为椭 25 16 1 圆的左顶点,P2011 为椭圆的右顶点,即 x1=-5,x2011=5=-5+2010d,∴d= ,则数列{xi}是以 201
8

1 1 1004 -5 为首项, 为公差的等差数列,∴x2010=-5+2009× = . 201 201 201 二、填空题 x2 y2 14.(文)如果 AB 是椭圆 2+ 2=1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的 a b 离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB· kOM 的值为________. [答案] e2-1 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),
2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 由点差法, 2+ 2=1, 2+ 2=1, a b a b

?x1-x2??x1+x2? ?y2-y1??y2+y1? 作差得 = , a2 b2 ∴kAB· kOM= y2-y1 y1+y2 -b2 c2-a2 2 · = 2 = 2 =e -1. a x2-x1 x1+x2 a

(理)以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点 M、N,椭圆的左焦点为 F1, 且直线 MF1 与此圆相切,则椭圆的离心率 e 等于________. [答案] 3-1

[解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,

又|F1F2|=2c,∴|MF1|= 3c, 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a, c ∴ 3c+c=2a,∴e= = 3-1. a 15.(2013· 苏北四市联考)已知两定点 M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点 P,使|PM|+|PN|=4, 则该直线为“A 型直线”.给出下列直线,其中是“A 型直线”的是________(填序号). ①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3. [答案] ①④ x2 y2 [解析] 由题意可知,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆,其方程是 + =1, 4 3 x2 y2 ①把 y=x+1 代入 + =1 并整理得,7x2+8x-8=0, 4 3
9

∵Δ=82-4×7×(-8)>0,直线与椭圆有两个交点, ∴y=x+1 是“A 型直线”. x2 y2 x2 1 ②把 y=2 代入 + =1,得 =- 不成立,直线与椭圆无交点,∴y=2 不是“A 型直线”. 4 3 4 3 x2 y2 ③把 y=-x+3 代入 + =1 并整理得,7x2-24x+24=0,Δ=(-24)2-4×7×24<0,∴y=- 4 3 x+3 不是“A 型直线”. x2 y2 ④把 y=-2x+3 代入 + =1 并整理得,19x2-48x+24=0,∵Δ=(-48)2-4×19×24>0,∴ 4 3 y=-2x+3 是“A 型直线”. 三、解答题 x2 y2 16.(文)(2012· 广东文,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 a b 为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. [解析] (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0), 所以 c=1, x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1, a b b 即 b2=1,所以 a2=b2+c2=2, x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,
2 ? ?x +y2=1, 由? 2 消去 y 并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, ? ?y=kx+m,

因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0 整理得 2k2-m2+1=0,①
?y2=4x, ? 由? 消去 y 并整理得, ? ?y=kx+m,

k2x2+(2km-4)x+m2=0, 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1,②

10

2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ? ?m= 2, ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2 3.

(理)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 (1)求椭圆 C 的方程; →

(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆 的右顶点,求实数 m 的取值范围. x2 y2 [解析] (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

? ?a 2 由题意?b= , 3 ? ?c=2.

a2=b2+c2, 解得 a2=16,b2=12.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 x2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 + =1,故-4≤x≤4. 16 12 → x ? =(x-m) +12×? ?1-16?.
2 2



因为MP=(x-m,y),所以|MP|2=(x-m)2+y2

1 1 = x2-2mx+m2+12= (x-4m)2+12-3m2. 4 4 → 因为当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, → 即当 x=4 时,|MP|2 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4].

考纲要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用.
11

3.理解数形结合的思想. 补充说明 1.求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法,运用待定系数法求方程时,当椭圆的焦点位置不 x2 y2 明确而无法确定其标准方程时,设方程为 + =1(m>0,n>0),可以避免讨论和繁琐的计算,也可 m n 以设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便. 2.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤: (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能; x2 y2 y2 x2 (2)设方程:根据上述判断设方程 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0),当椭圆焦点位置不确定 a b a b 时,可设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n); (3)找关系:根据已知条件,建立方程组; (4)写出标准方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 3.函数与方程的思想 (1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中,常将所求量表达为其他量的函数,运用函数 的方法解决. (2)求圆锥曲线方程时,往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征,确定形状, 设出其标准方程,然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数.要注意解题过程中,设 而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解. 4.焦点三角形问题 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形.习惯上称为焦点三角形,在焦点三角形中命制 题目是常见命题方式,解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手: ①定义;②正、余弦定理;③三角形面积. 5.求椭圆的离心率时,常常要列出 a、b、c 的一个齐次方程,结合 b2=a2-c2,两边同除以 a2 c 化为 e(e= )的二次方程求解. a 6.椭圆上点 M 到焦点距离的最大值为 a+c,最小值为 a-c. 备选习题 x2 y2 1.若椭圆 2+ 2=1 过抛物线 y2=8x 的焦点,且与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,则该椭圆的 a b 方程是(
2

)
2

x y A. + =1 4 2 x2 y2 C. + =1 2 4 [答案] A

x2 B. +y2=1 3 y2 D.x2+ =1 3

[解析] 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与 双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,∴a=2,c= 2,
12

x2 y2 ∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为 + =1. 4 2 x2 y2 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴上的一个顶点, a b → 1 A. 2 1 C. 4 → → ) 1 B. 3 1 D. 5 若 2DF1=DA+DF2,则该椭圆的离心率为(

[答案] B → → → [解析] 由 2DF1=DA+DF2知 F1 是 AF2 的中点, 1 ∴a-c=2c,∴a=3c,e= . 3 x2 y2 3.F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点,P 是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2 的外角平 a b 分线的垂线,则垂足 Q 的轨迹为( )

A.圆

B.椭圆 D.抛物线

C.双曲线 [答案] A

[解析] ∵PQ 平分∠F1PA,且 PQ⊥AF1, ∴Q 为 AF1 的中点,且|PF1|=|PA|, 1 1 ∴|OQ|= |AF2|= (|PA|+|PF2|)=a, 2 2 ∴Q 点轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆. 4.(2013· 乌鲁木齐一诊)如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,B2,焦点分 别为 F1,F2,直线 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.

13

[答案] (

5-1 ,1) 2

[解析]

→ → x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),∠B1PA2 为钝角可转化为B2A2与F2B1所夹的角为钝 a b

5-1 c c 角,则(a,-b)· (-c,-b)<0,得 b2<ac,即 a2-c2<ac,故( )2+ -1>0,即 e2+e-1>0,e> 或 a a 2 - 5-1 5-1 e< ,又 0<e<1,所以 <e<1. 2 2

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