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2.1.2 向量的加法课件


向量的加法

引入:
1. 飞机从广州飞往上海,再 从上海飞往北京,这两次位移的 结果与飞机从广州直接飞往北 京的位移是相同的. 这时我们就把后面这样一次 位移叫做前面两次位移的合位移. 广州 上海 北京

2.在大型车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.

它的实际位移AB,可以看作 水平运动的分位移AC与竖 直向上运动的分位移AD的 合位移.

D

B

A

C

由分位移求合位移,称为位移的合成 求两个向量和的运算叫向量的加法。

a

b

已知向量a和b, 在平面内任取一点O, ???? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? 作OA = a, AB = b, 则向量OB叫做a和b的和, ? ? ? ? ? ? ???? ???? ???? ? ? 记作a + b.即a + b = OA + AB = OB

向量的加法的定义: ? ? ? ?

求两个向量和的运算叫做向量的加法. A
a b

B

a

b

a+b O

两个向量的和仍是一个向量,当向量a与向量b不共线时,

a+b的方向与a, b都不同向,且 |a+ b|< |a|+|b|.

a
作法:

B b A. a

b a+ b

C
首 尾 相 连 首 尾 连

[1]在平面内任取一点A

注意代数表达式

[2]作AB= a , BC= b AB+BC=AC [3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的和,记作a + b。 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法, 称为

向量加法的三角形法则。

两种特例(两向量平行)
? a ? b
A B C

1.方向相同
当a与b同向时,则

? ? ???? a ? b ? AC

a+b ,a,b同向,且
|a+b|= |a|+|b|;

两种特例(两向量平行)
2.方向相反
当a与b反向时, 若 |a|>|b|, 则 a+b的方向与a相同, 且 |a+b|= |a||b | 若|a|< |b|则 a +b 方向与b相同, 且 |a +b|= |b|B

? a

? b

? ? ???? a ? b ? AC

C

A

向量和的特点: (1)两个向量的和仍是一个向量. (2)当向量a与向量b不共线时,a+b的 方向与a,b都不同向,且|a+b|<|a|+|b|.
(3)当a与b同向时,则a+b ,a,b同向,且

|a+b|=|a|+|b|; 当a与b反向时,若|a|>|b|,则 a+b的方向与a相同,且 |a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b| 则a+b的方向与b相同,且 |a+b|=|b|-|a|.

a a b
A

B
a+b

C

作法: 作 AB= a, AD =b,以AB,AD为邻边 作平行四边形,则 AC = a + b 。

b

D

共 起 点

这叫做向量加法的平行四边形法则。

练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a ? b
(1)
b

a?b

共 起

b

a
a?b
a

(2)

b a



如图,已知 a , b , c ,请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c a b b a a+ b

+

a ,b

+

c

? ? a?b

b

? ? b?c

c

? ? ? a?b?c
b+ a
b a

向量加法的运算律
① 交换律: a+b=b+a
D

② 结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )
a?b?c
A

c
C

a
B

b

? ? ? ? 交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? 结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 想一想

向量加法的运算律

? ? ? ? ? a ? ? a)(? a) a ? 0 ( ? ?

1.若两向量互为相反向量,则它们的和为多少? 2.零向量和任一向量

? ? ? ? ? a?0 ? 0?a ? a

a 的和为多少?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a + b , a+b ? ? ? ? 和 a-b

想一想

B

C
a+b

a
A

b

D

的大小关系如何? ? ? ? ? ? ? a ? b ≦ a?b ≦ a ? b
何时取得等号?

例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 ??? ???? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? () ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE 1 OA
解:(1) ? OC ? OB; OA
E
D

(2) ? FE ? AD; BC

F
A

O
B

C

(3) ? FE ? 0. OA

???? ???? ???? ???? ??? ? = AB+BC+CD+DF+FA ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? = AC+CD+DF+FA = AD+DF +FA ? ? ???? ??? ? 0 = AF +FA ????= ???? ??? ? ???? ???? ? ?

???? ???? ???? ???? ??? ? 解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA

例2: 求向量

???? ???? ???? ???? ???? AB+DF+CD+BC+FA 之和.

∴AB+DF+CD+BC+FA = 0

巩固练习:
AD 1.化简 (1) AB ? CD ? BC ? ________
(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ MN

?

0 (3) AB ? BD ? CA ? DC ? ________
2.根据图示填空
E
g

?

??

?

?

e

D
d

(1)a ? b ? ( 2) c ? d ?

c

f

f f g

A
a

c
B

b

C

(3)a ? b ? d ? ( 4) c ? d ? e ?

例3:如图,一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 ???? ? C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 ???? 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度

???? 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
船实际行驶的速度

就是

???? ???? 在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3

???? ???? ???? ∵AD = AB+BD
???? ∴ AD = 4

C

D

∴tan∠DAB = 3

A

B

∴∠DAB = 60

o

答:船实际行驶速度的大小为4km/h, 方向与水流速度间的夹角 60
o

.

练习1轮船从A港沿东偏北30° 方向行驶了40 海里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里 到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.

??? ???? ? ???? 解:如图,设A B、 C 分别表示轮船的两次位移,则A C 表示 B ???? ??? ???? ? 轮船的合位移,A C = A B + B C。

???? 在R t△A D B 中,∠A D B = 90°,∠ D A B = 30°, B |= 40 , |A ???? ???? 所以|D B |= 20 , D |= 20 3 |A
C

???? 北 在R t△A D C 中, D C = 90°, C |= 60 , ∠A |D ???? ???? 2 ???? 2 所以|A C |= |A D | + |D C |

= (20 3)2 + 602 = 40 3 , ???? ???? ∵|A C |= 2|A D | ∴∠C A D = 60°。

B 30 A D



练习2 两个力F1和F2同时作用在一个物体 上,其中F1 =40N,方向向东,F2=40 3 N, 方向向北,求它们的合力.

??? ? ??? ? 解:如图, 表示F1 , OB表示F2 .以OA, AC为邻边作 OA ???? 平行四边形OACB, 则OC表示合力F .
??? ? ???? ??? ? 在Rt△OAC中,| OA |? F1 ? 40 N,AC |?| OB |? F2 ? 40 3 N. | 由勾股定理, 得 ???? ??? 2 ???? 2 ? F ?| OC |? | OA | ? | AC | ? 402 ? 3 ? 402 ? 80 N

设合力F 与F1的夹角为? .则 ???? | AC | F2 4 3 ? tan ? ? ??? ? ? ? 3 4 | OA | F1

北 B F2 θ O F1 A B 东 C

所以, 合力大小为80 N , 方向向东偏北60?

课堂小结:
向量加法的定义
三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律 向量加法的运算


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