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湖北省武汉市吴家山中学高一数学必修四同步辅导 1.3三角函数的诱导公式


第三节
学点:探究与梳理

三角函数的诱导公式

自主探究 探究问题 1:你能用角的终边的对称关系和三角函数的定义推导出 角的三角函数之间的关系吗? 探究问题 2:若 f (n) ? sin(
n? ? ? ) ,则 f (n) ? f (n ? 4) ? f (n ? 2) ? f (n ? 6) = 4 3? ? ? 、 2? ?? 与 ? 2



探究问题 3:在锐角△ABC 中,你能证明下列各式吗? ⑴ sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ;⑵ tan Atan B tan C ? 1 . 重点把握 1、对于 0°~360?间的角,可用下面形式划分: 对于任何一个 0°~360?间的角 ? ,以下四种情形中有且只有一 种成立.
?? ? ?? -? ? ?? ?? +? ?-? ?

? ? [0? ,90? ) ? ? [90? ,180? ) ? ? [180? , 270? ) ? ? [270? ,360? )

(其中 ? 为不大于 90? 的非负角)

在研究 ?? 、 ? ? ? 、

?
2

? ? 的诱导公式时, ? 为任意角.但为了方便,我们把 ? 看成 ..

? 锐角,这样就可以把这些角放在各个象限内去考虑(如 2k? +? (k∈Z)、 ? ? 是第一象限 .. 2
角,

?
2

? ? 、 ? ? ? 是第二象限角, ? +? 是第三象限角, ?? 是第四象限角,如图).记住这

些角所在的象限,对于理解与记忆诱导公式是有好处的. 2.研究诱导公式的思想方法:

由角的终边的某种对称性,导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性,这样就 产

? 生了 ? ? 、? ? ? 等诱导公式.诱导公式可采用如下的记忆方法:将 ? ? 、 ? ? ? 、 ? ? 2
写成统一形式:
n? ? ? ( n ? Z ).当 n =0,2(偶数)时即为 ? ? 、 ? ? ? ,当 n =1(奇 2

1

数)时即为

?
2

? ? .故有口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.

题例:解析与点拨

31? ? ? 10? ? -sin 11? ; 例 1 计算:⑴sin ? ? ? ? -cos ? ? ? 10 ? 6 ? ? 3 ?

⑵ sin(?870? ) ? cos930? ? cos(?1380? ) ? sin(?690? ) .
7? 4? ? ? 11? ? 解析:⑴原式= -sin ? 4? ? ? -cos ? 2? ? ? -sin = -sin ? ? ? ? -cos ? ? ? ? +sin ? ? ? ? ? ? ? ? 10 10 6 ? 3 ? 6? 3? ? ? ? ?

= sin

? ? ? 1 1 +cos +sin = + +0.3090=1.3090 . 6 3 10 2 2

⑵原式 ? sin(210? ? 3 ? 360? ) cos(210? ? 2 ? 360? ) ? cos(60? ? 4 ? 360? )sin(30? ? 2 ? 360? )
sin 210? cos 210? ? cos 60? sin 30? ? sin(180? ? 30? ) cos(180? ? 30? ) ? cos 60? sin 30?

1 3 1 1 3 ?1 = sin 30? cos 30? ? cos 60? sin 30? = ? ? . ? ? ? 2 2 2 2 4

点拨:本题是“知角求值”问题,求解中涉及了诱导公式及弧度制与角度制的 换算, 具有一定的综合性,略有难度.在求值过程中,要熟练把握转化路径,灵活运用公式进行转 化. 例 2 ⑴已知 cos( ? ? ? ) ? ? , ⑵已知 cos ? ?

1 3? ? ? ? 2? .求 sin(2? ? ? ) 的值; 2 2

2 ,角 ? ? ? 的终边 在 y 轴的非负半轴上,求 cos ?2? ? 3? ? 的值; 3 ? 2? ? 2? , ? ? ) ? m(m ? 0),求 tan( cos( ? ? ) 的值; ⑶已知 ? ? ? 6 3 3 3
⑷已知 2sin(? ? ?) ? cos(? + ?) = 1 (0<?<?),求 cos(2? ? ?) + sin(? + ?)的值. 解析:⑴已知条件即 cos ? ?

1 3? 3 ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ,又 2 2 2
3 . 2

∴ sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? ? sin(? ? ? ) ? ? sin ? ?

点拨:本题是在约束条件下三角函数式的求值问题.由于给出了角 ? 的范围,因此,? 的三角函数的符号是一定的, 求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号, 又要注意根据 ? 的范围确定三角函数的符号. ⑵因为角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上,所以 ? ? ? =

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) ,

2

于是 2( ? ? ? )= ? ? 4k? (k ? ? ) ,从而 2? ? 3? ? ? ? ? ? ? 4k? (k ? Z ), 所以

c o s2( ? 3? ) ? c o s ? (? ? ) ? 4k? ] = cos(? ? ? ) = ? cos ? = ? ? [

2 . 3

点拨 :本题求解中,通过对角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上的分析而得的

??? =

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,还不能马上将未知与已知沟通起来.然而,当我们通过观察,

分析角 2? ? 3? 的结构特征,并将它表示 2( ? ? ? ) ? ? 后,再将 ? ? ? =

?
2

? 2k? 代入,

那 么未知和已知之间随即架起了一座桥梁,它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍.

2? ? ?? ? ? ? ? ? ) ( , 3 3 2? ? ? ? ? ) ? cos[ ? ? (? ? )] = ? cos(? ? ) =-m, ∴ cos( 3 3 3
⑶∵ ∵

?
6

?? ?

2? 2? 2? ? 2? ? ? ? ,∴ sin( ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ,∴ 0 ? ? ? ) = 1 ? m2 , 3 2 3 3 3
2? ??) 1 ? m2 3 =? . 2? m cos( ? ? ) 3 sin(

2? 故 tan( ( ??) ? 3

点拨:通过观察,充分挖掘的隐含条件,获得角 ? ?

?
3

与角

2? 2? ? ? ? = ? -( ? ? ) ? ? )的值奠定了基础,这是求解 ,为顺利利用诱导公式求 cos( 3 3 3
本题的关键. 本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要通过对已知式和欲求之式 中角的观察分析后自己构造出来,在思维和技能上都有较高的要求. ⑷将已知条件化简得:2sin ? + cos ? = 1????????① 设 cos(2? ? ?) + sin(? + ?) = a ,则 a = cos ? ? s in ?????② 联立①②,解得: sin ? ? (1 ? a) , cos ? ? (1 ? 2a) ,∵sin2? + cos2? = 1,
1 3 1 3

2? ? ? 之间的关系是 3

1 1 7 (1 ? 2a ? a 2 ) ? (1 ? 4a ? 4a 2 ) ? 1 , 2 + 2a ? 7 = 0, ∴5a 解之得: 1 = ? , 2 = 1(舍 a a 9 9 5 7 去,否则 sin? = 0,与 0<?<? 不符),∴cos(2? ? ?) + sin(? + ?) = ? . 5
∴ 点拨:此题利用 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 作为桥梁,建立起关于实数 a (a = cos ? ? sin ?)的方程 求解,对思维能力和活用公式的能力要求较高,这是解决此类问题的常用方法,但解题后要 注意检验. 本大题是 “知式求值” 问题, 解题过程中涉及到诱导公式、 同角三角函数的基本关系式、
3

三角恒等变形、待定系数法、方程思想、化归转化思想等知识与技巧,具有综合程度较高、 技巧性较强等特点,对计算能力的要求也较高.此类问题常用的变换技巧有:变角、变名、 变运算、变常数、通分、切弦互化等. 例 3 化简:⑴ sin 2 500? ? sin 2 770? ? cos2 (1620? ? x) ( 180? ? x ? 270? ) ;
cos( ? ? ) sin(? ? 5? ) cos(8? ? ? ) 2 ? ? ? sin(?? ) ; ⑵ cos(3? ? ? ) sin(? ? 3? ) sin(?? ? 4? )

?



sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[( k ? 1)? ? ? ] (k ?Z ) . sin( k? ? ? ) ? cos( k? ? ? )

解析: :⑴∵ 180? ? x ? 270? , ∴ 原式 ? sin 2 (360 ? ?140 ?) ?sin 2(2 ?360 ? ?50 ?) ?cos 2(4 ?360 ? ? ? ? x 180 )
? sin2 140? ? sin2 50? ? cos2 (180? ? x) ? sin 2 (180? ? 40? ) ? sin 2 (90? ? 40? ) ? cos2 x

? sin 2 40? ? sin 2 50? ? cos2 x ? sin 2 40? ? cos2 40? ? cos2 x ? 1 ? cos2 x ? ? cos x ;

⑵原式= =

? sin[2 ? 2? ? (? ? ? )] sin ? cos[4 ? 2? ? ( ?? )] ? ? ? sin ? cos[2? ? (? ? ? )] ? sin[2? ? (? ? ? )] ? sin(2 ? 2? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin ? cos( ?? ) cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ?

⑶当 k 为偶数时,不妨设 k ? 2n ( n ? Z ) , 则原式=
sin(2n? ? ? ? ? ) ? cos(2n? ? ? ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? ( ? cos ? ) ? ? ? ?1 ; sin( ?? ) ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

当 k 为奇数时,不妨设 k ? 2n ? 1 ( n ? Z ) , 则原式=
sin[(2n ? 2)? ? ? ] ? cos(2n ? 2)? ? ? ] sin ? ? cos( ?? ) sin ? ? cos ? ? ? ? ?1 , sin[(2n ? 1)? ? ? ] ? cos[(2n ? 1)? ? ? ] sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin ? ? ( ? cos ? )

综上知,当 k ? Z 时,原式=-1. 点拨:在三角函数式的化简中,一般情形是“负角化正角,大角化小角” .化简时,不 仅要注意函数间的恒等变形,还要注意角之间的关系(如互补、互余)及变换.对于 k? ? ? ( k ? Z )形式的角,一般需对 k 的奇偶性进行分类讨论,即可转化为 ? 的三角函 数求解, 这在三角函数式的运算中经常出现. 例 4 在△ABC 中,求证:⑴ cos(2 A ? B ? C ) ? ? cos A ;⑵ tan
A? B 3? ? C . ? ? tan 4 4

证明:在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ,∴⑴ cos(2 A ? B ? C ) ? cos(? ? A) ? ? cos A ; ⑵ tan
A? B ? ?C ? ?C 3? ? C . ?? tan ? ? tan(? ? ) ? ? tan 4 4 4 4

点拨:①在解答与三角形有关的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这一条件的应用.
4

②在△ABC 中,由 A ? B ? C ? ? 可得 A ? B ? ? ? C , 的公式: sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , sin 例5 若函数 f (n) ? sin

A? B ? C ? ? 等,由此可得到相应 2 2 2

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin 等等. 2 2 2 2

n? ( n?Z ) ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (102) ? 6



解析:∵ sin

n? n? (n ?12)? ,∴ f (n) ? f (n ? 12) , ? sin( ?2 ?) ?sin 6 6 6

如图,将单位均匀地分成 12 等份,则依次对应 n =1,2,?12 时 的弧度数分别为
? 2? 12? , ,?, ,由正弦函数的特点可知, 6 6 6

f (1) ? f (2) ? ? ? f (12) ? 0 ,又 102=12×8+6,

∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (102) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (6) ? 2[ f (1) ? f (2) ? f (3)] ? 2 ? 3 . 点拨:本题利用诱导公式化简寻找规律,发现 f (n) ? f (n ? 12) ,即函数 f (n) 具有周期 性,这给解题带来极大的方便.如果采用分别计算 f (1) 、 f (2) 、?、 f (102) ,再求和,则 非常繁杂,因此,在解题时要注意观察问题的特点,然后采用相应的措施予以解答.

学业水平测试

基础巩固
1. 下列三角函数: sin(n? ? ①
4? ②o ); c 2 s ( 3 n?) ?

?
6 3

; n ③2 ( i s

n?) ?

?
3

; c 1 n ?] ? ? ④o ) 2 ( s [

?
6



? ? ⑤ sin[(2n ? 1)? ? ] (其中 n ? Z ) .其中函数值与 sin 的值相等的是( )
3

A.①②

B.①③④
1 3

C.②③⑤
3? ? ? ) 的值是( 2

D.①③⑤ )
2 2 3

2.若 cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin( A.-
1 3

B.

1 3

C.

2 2 3

D.-

3.设 tan(3? ? ? ) ? ?2 ,且 ? 为第二象限角,则 sin(?? ) 的值为( ) A.
2 5 5

B.-

2 5 5

C.

D.-

5 5

4.化简 1 ? sin 2 1180? 的结果是( ) A. cos100? B. cos80? C. sin 80 ? D. cos10?

5.设函数 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ,其中 a 、 b 、 ? 、 ? 都是非零常数,且满 足 f (2010) ? ?1 ,则 f (2011) = .
5

6.设 A、B、C 是三角形的三个内角 ,则在① sin( A ? B) ? sin C ;② cos( A ? B) ? cos C ; ③ tan( A ? B) ? tan C ;④ sin 常数的有
A? B C A? B C ? cos ;⑤ cos ? sin .在这五个式子中,值为 2 2 2 2

(把你认为正确的命题的序号都填上) .

能力提升
7.若 sin(? ? ? ) ? cos(?? ) ? A. ? 8.若 sin
3 16

1 ,则 sin3 (? ? ? ) ? cos3 (2? ? ? ) 的值是( 2



B.

11 16

C. ?

11 16

D. ?

5 16

1 5? 5? 的值分别是( ? m ,则 cos(4? ? ) 与 2? 7 7 tan(?4? ? ) 7
1 ? m2 m 1 ? m2 m



A. 1 ? m2 ,

B.- 1 ? m2 , D. 1 ? m2 ,-

1 ? m2 m 1 ? m2 m

C.- 1 ? m2 ,-

9. 若对于任意 k ? Z 都有 sin(? ? k? ) ? cos(? ? ? ? k? ) , 其中 0 ? ? ? ? , 则角 ? 的值是 ) ( A.
? 4

B.

? 2

C.

3? 4

D. ?

? 4

10.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cos B ? sin A , sin B ? cos A) 在( ) A.第一象限 B.第二象限
2

C.第三象限
2

D.第四象限
?
2 ? ? ) ? 13 ? 0 ,

11. 已知 ? 、? 均为锐角, 12 sin (? ? ? ) ? 20 sin 且 则 ? 、 ? 分别为( ) A. ? ?

(

3? 2

? ? ) ? 12 sin(3? ? ? ) ? 20 2 sin(

?
3

,? ?

?
4

B. ? ?

?
6

,? ?

?
4

C. ? ?
1

?
3

,? ?

?
6

D. ? ?
3? 2

?
6

,? ?
19? 2

?
3

12.已知 sin ? 是方程 5 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根, sin 2 [(2k ? )? ? ? ] ? cos2 (? ? 则
2

) ? tan 2 (

??)

( k ? Z )的值是



拓展创新
13. lg | tan 91? | ? lg | 92? | ? lg | 93? | ?? ? lg |178? | ? lg |179? | = .

14.若角 ? 的终边与直线 y ? 3x 重合,且 sin(? ? ? ) ? 0 ,又点 P(m, n) 是角 ? 终边上的一 点,且 | OP |? 10 ,则 m ? n 等于 15.已知 f ( x) ? ? . .

(x ? 1) ?cos ? x 1 4 ,则 f ( ) ? f ( ) 的值是 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1 (x ? 1)

6

16.已知 sin(? ? ? ) ?

3 5

sin(? ?

3? 2

) ? sin(

3? 2

? ? ) ? tan 2 (2? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? ? ) cos(

,求

cos(

?
2

?
2

的值.
??)

17.已知 ? 是第三象限角, f (? ) ?
1 5

sin(3? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? cos(?? ? ? )

3? ) 2 ,

⑴化简 f (? ) ;⑵若 sin(3? ? ? ) ? ,求 f (? ) 的值;⑶若 ? ? ?1860? ,求 f (? ) 的值.

18.已知 sin(3? ? ? ) ? 2 sin ? , 3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) , 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ,求
? 与 ? 的值.

19.已知 cos(75? ? x) ? , x 是第三象限角,求 sin(105? ? x) ? cos( x ? 105? ) 的值.

1 3

20.已知 f ( x) ? sin( n? ? x)cos( n? ? x) tan( x ? n?) ( n ? Z ) ,求 f (

7? ) 的值. 6

自主发展 1.如图,角 ? 的顶点在原点,始边在 y 轴的正半轴、终边经过点 P(?3,?4) ,角 ? 的 顶点在原点, 始边在 x 轴的正半轴, 终边 OQ 落在第二象限, tan ? ? ?2 , 且

7

则 cos ?POQ 的值为( ) A、
5 5

B、-

11 5 25

C、

11 5 25

D、-

5 5

2.已知关于 x 的方程 2 x2 ? ( 2 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos? , 求
sin 2 ? cos? sin ? 的值. ? 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan 2 ?

8

第三节
探究问题: 1.sin(

三角函数的诱导公式

3? 3? ? ? ) ? ? cos ? ,cos( ? ? ) ? ? sin ? ,sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(2? ? ? ) ? cos ? . 2 2

2.计算得值为-1. 3.⑴在锐角△ABC 中,有 0 ? A ?
C?A?

?
2

,0 ? B ?

?
2

,0 ? C ?

?
2

,且 A ? B ?

?
2

,B ? C ?

?
2



?
2

,∴有 0?

?
2

?B? A?

?
2

? , 即 s i nA ? s i n ( ? B ? ) 2

cB , 同 理 , sin B ? cos C , os

sin C ? sin A ,∴三式相加即得 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ;

sin( ? B) cos B cos C cos A 2 ⑵由⑴得 tan A ? tan( ? B) ? ,同理,有 tan B ? , tan C ? , ? ? 2 sin C sin A cos( ? B) sin B 2

?

?

∴ tan A tan B tan C ?

cos B cos C cos A 1 , ? ? ? sin B sin C sin A tan A tan B tan C

又在锐角△ABC 中,有 tan A ? 0 , tan B ? 0 , tan C ? 0 ,∴有 tan Atan B tan C ? 1 .

学业水平测试:
1.C;2.A;3.B;4.B;5.1;6.①④⑤;7.C;8.B;9.C;10.B;11.B; 12.
3 25 ;13.0;14.2;15.0;16. = ? ; 4 9
sin(3? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? cos(?? ? ? ) cos ? 3? ) sin ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ; 2 ? ? cos ?

17.⑴ f (? ) ?

2 6 2 6 1 1 ⑵由 sin(3? ? ? ) ? , n ? ? ? , ? 是第三象限角, cos ? ? ? 得i 又 ∴ , f (? ) ? ∴ ; s 5 5 5 5

1 1 ⑶ cos ? (?1860? ) ? cos(?60? ? 5 ? 360? ) ? cos(?60? ) ? cos 60? ? ,∴ f (? ) ? f (?1860? ) ? ? . 2 2

18.由已知条件,得 sin ? ? 2 sin ? , 3 cos ? ? 2 cos ? ,两式平方后相加,得
sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? 2 ,即 1 ? 2cos 2 ? ? 2 ,解得 cos ? ? ?

2 , 2

当 cos ? ?

? 2 3 ? 时,由 0 ? ? ? ? 知 ? ? ,此时 cos ? ? ,由 0 ? ? ? ? 得 ? ? ; 4 2 2 6
3? 2 3 5? 时,由 0 ? ? ? ? 知 ? ? ,此时 cos ? ? ? ,由 0 ? ? ? ? 得 ? ? . 4 2 2 6

当 cos ? ? ? ∴? ?

?
4

,? ?

?
6

或? ?

3? 5? ,? ? . 4 6

19. sin(105? ? x) ? cos( x ? 105? ) ? sin(105? ? x) ? cos(105? ? x)
? s i n [ 1? 8? 0
?

(? 5 ? ) ] 7 x

c?o s [ 1 ?8 x ? 0 ?
9

(? 5 7

?

)x] s ? n ( 7 ?5 x, ) ? i ?

cos(75

)

1 ∵ x 是第三象限角,且 cos(75? ? x) ? ? 0 ,∴ 75? ? x 是第四象限角, 3

∴ sin(75? ? x) ? ? 1 ? cos 2 n(75? ? x) ? ?

2 2 2 2 1 1? 2 2 ? ?? ,∴原式= ? . 3 3 3 3

20.当 n 为偶数时,令 n ? 2k ( k ? Z ) , 则 f ( x) ? sin(2k? ? x) cos(2k? ? x) tan( x ? 2k? ) ? ? sin x cos x tan x ? ? sin 2 x , ∴ f(
7? 7? ? ? 1 ) ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ) ? ? sin 2 ? ? ; 6 6 6 6 4

当 n 为奇数时,令 n ? 2k ? 1 ( k ? Z ) , 则 f ( x) ? sin[(2k ? 1)? ? x]cos[(2k ? 1)? ? x]tan[ x ? (2k ? 1)? ]
? sin(? ? x) cos(? ? x)[? tan(? ? x)] ? sin x(? cos x) tan x ? ? sin 2 x ,

∴ f(

7? 7? ? ? 1 7? 1 ) ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ) ? ? sin 2 ? ? ;故当 n ? Z 时, f ( ) ? ? . 6 4 6 6 6 6 4

自主发展: 1.D; 2.
3 2 ?5 . 4

10


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