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高考数学简单几何体复习题18


第九章

直线、平面、简单几何体(B)综合能力测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1. (2009· 上海市普通高等学校春季招生考试)在空间中, “两条直线没有公共点”是“这 两条直线平行”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:在空间中,两条直线没有公共点,这两条直线可能是异面直线,即由“两条直线 没有公共点”不能推知“这两条直线平行”; 反过来, 由“两条直线平行”可知“这两条直 线没有公共点”.因此,在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要 不充分条件,选 B. 2.(2009· 广东重点中学)已知三条不重合的直线 m、n、l 与两个不重合的平面 α、β,有 下列命题: ①若 m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 l⊥α,m⊥β 且 l∥m,则 α∥β; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ④若 α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则 n⊥α. 其中正确的命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:对于①,若 m∥n,n?α,则 m∥α 或 m?α,①不正确;对于②,若 l⊥α,m⊥β 且 l∥m,则 α∥β,显然成立;对于③,若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β,由面面平 行的判定定理知它是不正确的;对于④,若 α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则 n⊥α,由面 面垂直的性质定理知它是正确的;综上所述,正确命题的个数为 2,故选 B. 3.(2009· 东北三省十校一模)三棱锥 P-ABC 中∠ABC=90° ,PA=PB=PC,则下列说 法正确的是 ( ) A.平面 PAC⊥平面 ABC B.平面 PAB⊥平面 PBC C.PB⊥平面 ABC D.BC⊥平面 PAB 答案:A 解析:如图,因为∠ABC=90° ,PA=PB=PC,所以点 P 在底面的射影落在△ABC 的 斜边的中点 O 处,连结 OB、OP,则 PO⊥OB.又∵PA=PC,所以 PO⊥AC,且 AC∩OB= O, 所以 PO⊥平面 ABC. 又∵PO?平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 ABC,故选 A.

4.(2009· 安徽皖北联考)已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为 4,4,7,若 此三棱锥的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积是 ( ) 81 A.81π B.36π C. π D.144π 4 答案:A 解析:由于三棱锥的三个侧面两两垂直,即可把它补成长方体,其对角线长为 9,外接 9 球的半径为 ,则球的表面积为 81π,故选 A. 2 5.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,点 P 在 A1B1 上,则直线 PQ 与直线 AM 所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案:D 解析:取 AC 的中点 N,连结 AN、QN, 可证: AB⊥AM? ? ?? ? AB∥NQ ?
? ? ?? ? 又AM⊥A1N?

AM⊥NQ

AM⊥面A1B1QN? ? ??AM⊥PQ. ? PQ?面A1B1QN ? 故选 D. 6.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 BD1=8,BD1 与侧面 BC1 所成的角为 30° , 则 BD1 和底面 ABCD 所成的角为 ( ) A.30° B.60° C.45° D.90° 答案:C 解析:∵BD1 与侧面 BC1 所成的角为∠D1BC1,则∠D1BC1=30° . 又 BD=8,∴D1C1=4,∴BD=4 2. 又 D1B 与底面 ABCD 所成的角为∠D1BD, BD 2 从而 cos∠D1BD= = , BD1 2 ∴∠D1BD=45° . 7.已知三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2.则二面角 P -BC-A 的大小为 ( ) π π π 2π A. B. C. D. 4 3 2 3 答案:C 解析:如图所示,由三棱锥的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3, 得 PB=PC= 3, PA=BC=2, 取 BC 的中点 E,连结 AE,PE, 则∠AEP 即为所求二面角的平面角. 且 AE=EP= 2, π ∵AP2=AE2+PE2,∴∠AEP= . 2 8.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中

点,则点 B 到平面 AMN 的距离是 9 A. B. 3 2 6 5 C. D.2 5 答案:D

(

)

解析:设 AC 的中点为 O,MN 的中点为 E,连结 AE,作 OG⊥AE 于 G,易证 OG 即是点 B 到平面 AMN 的距离.作出截面图,如图所示, 3 2 9 由 AA1=3,AO= ,AE= ,△AA1E∽△OGA,计算得 OG=2, 2 2 2 故选 D. 9.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b.AB 与 α、β 所 成的角分别是 θ 和 φ,AB 在 α、β 内的射影分别是 m 和 n.若 a>b,则 ( ) A.θ>φ,m>n B.θ>φ,m<n C.θ<φ,m<n D.θ<φ,m>n 答案:D 解析:由题意可得

? ?a>b,a ?tanφ=n, b ? , ?tanθ=m

AB2=a2+n2=b2+m2,

?m>n, ? 即有? 故选 D. ? ?θ<φ, 10.如图所示,在单位正方体 ABCD-A1B1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+ D1P 取得最小值,则此最小值为 ( )

A.2

B.

2+ 6 2

C.2+ 2 D. 2+ 2 答案:D 解析:如图所示,把对角面 A1C 绕 A1B 旋转至 A1BC′D1′,使其与△AA1B 在同一平 面上,连接 AD1′,则 AD1′= 1+1-2×1×1×cos135° = 2+ 2为所求的最小值.

11.一个正三棱锥的四个顶点都在 的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是

半径为 1 的球面上,其中底面 ( )

3 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 3 4 12 答案:C 解析:由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为 1. ∵底面是正三角形且球半径为 1. 3 3 ∴底面边长为 3,∴底面积为 , 4 1 3 3 3 ∴V= × ×1= . 3 4 4 12.(2010· 辽宁省东北育才中学高三模拟)如图在正四棱锥 S-ABCD 中,E 是 BC 的中 点, P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动, 并且总是保持 PE⊥AC, 则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是 ( )

答案:D 解析: 取 CD 中点 F, AC⊥EF, 又∵SD 在面 ABCD 内的射影为 BD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥SD, 取 SC 中点 Q,∴EQ∥SD, ∴AC⊥EQ,又 AC⊥EF,∴AC⊥面 EQF,因此点 P 在 FQ 上移动时总有 AC⊥EP.故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在题中的横线上。) 13.(2009· 江苏,12)设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; (3)设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; (4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题,真命题 的序号是________(写出所有真命题的序号) ... 答案:(1)(2) 解析:由面面平行的判定定理可知,(1)正确. 由线面平行的判定定理可知,(2)正确. 对于(3)来说,α 内直线只垂直于 α 和 β 的交线 l,得不到其是 β 的垂 线,故也得不出 α⊥β. 对于(4)来说,l 只有和 α 内的两条相交直线垂直,才能得到 l⊥α. 也就是说当 l 垂直于 α 内的两条平行直线的话,l 不一定垂直于 α. 14. 如图所示, 等边△ABC 的边长为 4, D 为 BC 中点, 沿 AD 把△ADC 折叠到△ADC′处,使二面角 B-AD-C′为 60° ,则折叠后点 A 到直线 BC′的距离为________;二面角 A-BC′-D 的正切值为________. 答案: 15 2 解析:如图,作 DM⊥BC′于点 M,连结 AM,则 AM 为点 A 到直线

BC′的距离,AD=2 3,DM= 3,所以 AM= AD2+DM2= 15.二面角 A-BC′-D 的 2 3 平面角为∠AMD,正切值为 tan∠AMD= =2. 3 15.(2009· 四川,15)如图所示,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是 侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________.

答案:90° 解析:设棱长为 a,补正三棱柱 ABC-A2B2C2(如图).平移 AB1 至 A2B,连结 A2M,∠MBA2 即为 AB1 与 BM 所成的角,在△A2BM 中,A2B = 2a, a 5 BM= a2+( )2= a, 2 2 3 13 A2M= a2+( a)2= a, 2 2 2 2 2 ∴A2B +BM =A2M ,∴∠MBA2=90° . 16.如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB= BC= 3,则球 O 的体积等于________.

9 答案: π 2 解析:△ABC 的外接圆的直径为 AC,AC= 6,由 DA⊥面 ABC 得 DA⊥AC, ∴CD 为球的直径,CD= DA2+AC2=3, 3 ∴球的半径 R= , 2 4 3 9 ∴V 球= πR = π. 3 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17.(本小题满分 10 分)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上一点.

(1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)假设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; 解析:(1)∵正方形 ABCD,∴BD⊥AC,又∵SA⊥平面 ABCD,∴SA⊥BD,则 BD⊥平 面 SAC,又 BD?平面 BED,∴平面 BED⊥平面 SAC.

1 1 1 (2)设 AC∩BD=O,由三垂线定理得 BD⊥SO.AO= AC= 2AB= · 2· 2= 2,SA=4, 2 2 2 1 1 则 SO= SA2+AO2= 16+2=3 2,S△BSD= BD· SO= · 2 2· 3 2=6.设 A 到面 BSD 的距离 2 2 1 1 4 为 h,则 VS-ABD=VA-BSD,即 S△ABD· SA= S△BSD· h,解得 h= ,即点 A 到平面 SBD 的距离为 3 3 3 4 . 3 18. (本小题满分 12 分)如图, 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB =4,点 E 在 C1C 上且 C1E=3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的大小. 解析:依题设知 AB=2,CE=1, (1)证明:连结 AC 交 BD 于点 F,则 BD⊥AC. 由三垂线定理知,BD⊥A1C. 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G, AA1 AC 由于 = =2 2, FC CE 故 Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE 与∠FCA1 互余. 于是 A1C⊥EF. A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD、EF 都垂直. 所以 A1C⊥平面 BED. (2)作 GH⊥DE,垂足为 H,连结 A1H. 由三垂线定理知 A1H⊥DE, 故∠A1HG 是二面角 A1-DE-B 的平面角. EF= CF2+CE2= 3, CE×CF 2 CG= = . EF 3 3 EG= CE2-CG2= . 3 EG 1 1 EF×FD 2 = ,GH= × = . EF 3 3 DE 15 5 6 2 又 A1C= AA2 , 1+AC =2 6,A1G=A1C-CG= 3 A1G tan∠A1HG= =5 5. HG 所以二面角 A1-DE-B 的大小为 arctan5 5. 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD= 90° ,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面 SBC⊥底面 ABCD. (1)由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH,试确定垂足 H 的位置; (2)求二面角 E-BC-A 的大小. 解析:(1)作 SO⊥BC 于 O,则 SO?平面 SBC, 又面 SBC⊥底面 ABCD, 面 SBC∩面 ABCD=BC, ∴SO⊥底面 ABCD① 又 SO?平面 SAO,∴面 SAO⊥底面 ABCD, 作 EH⊥AO,∴EH⊥底面 ABCD② 即 H 为垂足,由①②知,EH∥SO, 又 E 为 SA 的中点,∴H 是 AO 的中点. (2)过 H 作 HF⊥BC 于 F,连结 EF, 由(1)知 EH⊥平面 ABCD,∴EH⊥BC,

又 EH∩HF=H,∴BC⊥平面 EFH,∴BC⊥EF, ∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角. 在等边三角形 SBC 中,∵SO⊥BC, ∴O 为 BC 中点,又 BC=2. 1 3 ∴SO= 22-12= 3,EH= SO= , 2 2 1 又 HF= AB=1, 2 3 EH 2 3 ∴在 Rt△EHF 中,tan∠HFE= = = , HF 1 2 3 ∴∠HFE=arctan . 2 3 即二面角 E-BC-A 的大小为 arctan . 2 20.(本小题满分 12 分)(2010· 唐山市高三摸底考试)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1=2,N 是 A1D 的中点,M∈BB1,异面直线 MN 与 A1A 所成的角为 90° .

(1)求证:点 M 是 BB1 的中点; (2)求直线 MN 与平面 ADD1A1 所成角的大小; (3)求二面角 A-MN-A1 的大小. 解析:(1)取 AA1 的中点 P,连结 PM,PN. ∵N 是 A1D 的中点,∴AA1⊥PN,又∵AA1⊥MN,MN∩PN=N, ∴AA1⊥面 PMN. ∵PM?面 PMN,∴AA1⊥PM,∴PM∥AB, ∴点 M 是 BB1 的中点.

(2)由(1)知∠PNM 即为 MN 与平面 ADD1A1 所成的角. 1 在 Rt△PMN 中,易知 PM=1,PN= , 2

PM ∴tan∠PNM= =2,∠PNM=arctan2. PN 故 MN 与平面 ADD1A1 所成的角为 arctan2. (3)∵N 是 A1D 的中点,M 是 BB1 的中点,∴A1N=AN,A1M=AM, 又 MN 为公共边,∴△A1MN≌△AMN. 在△AMN 中,作 AG⊥MN 交 MN 于 G,连结 A1G,则∠A1GA 即为二面角 A-MN-A1 的平面角. 30 在△A1GA 中,AA1=2,A1G=GA= , 5 A1G2+GA2-AA2 2 2 1 ∴cos∠A1GA= =- ,∴∠A1GA=arccos(- ), 2A1G· GA 3 3 2 故二面角 A-MN-A1 的大小为 arccos(- ). 3 21.(2009· 安徽,18)(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱 形,其对角线 AC=2,BD= 2.AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角 B-AF-D 的大小; (2)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. 命题意图: 本题考查空间位置关系, 二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等 知识.考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力. 解答:(1)解:连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG⊥AF,G 为垂足,连接 BG、 DG. 由 BD⊥AC,BD⊥CF 得 BD⊥平面 ACF,故 BD⊥AF. 于是 AF⊥平面 BGD,所以 BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角. π 2 由 FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC= ,OG= . 4 2 2 π 由 OB⊥OG,OB=OD= ,得∠BGD=2∠BGO= . 2 2 (2)解:连接 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E-ABCD 与 四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD. 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足. 因为 EA⊥平面 ABCD,FC⊥平面 ABCD, 所以平面 ACEF⊥平面 ABCD,从而 P∈AC,HP⊥AC. HP HP AP PC 2 由 + = + =1,得 HP= . CF AE AC AC 3 1 又因为 S 菱形 ABCD= AC· BD= 2, 2 1 2 2 故四棱锥 H-ABCD 的体积 V= S 菱形 ABCD· HP= . 3 9 22.(2009· 深圳调考一)(本小题满分 12 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB=2,EF=1.

(1)求证:平面 DAF⊥平面 CBF; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (3)当 AD 的长为何值时,二面角 D-FE-B 的大小为 60° ? 解析:(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF?平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又∵AB 为圆 O 的直径,∴AF⊥BF, ∴AF⊥平面 CBF. ∵AF?平面 DAF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)解:根据(1)的证明,有 AF⊥平面 CBF, ∴FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影, 因此,∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ∵AB∥EF,∴四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH⊥AB,交 AB 于 H. AB-EF 1 AB=2,EF=1,则 AH= = . 2 2 2 在 Rt△AFB 中,根据射影定理 AF =AH· AB,得 AF=1, AF 1 sin∠ABF= = ,∴∠ABF=30° , AB 2 ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30° . (3)解:过点 A 作 AM⊥EF,交 EF 的延长线于点 M,连结 DM. 根据(1)的证明,DA⊥平面 ABEF,则 DM⊥EF, ∴∠DMA 为二面角 D-FE-B 的平面角, ∠DMA=60° . 1 在 Rt△AFH 中,∵AH= ,AF=1, 2 3 ∴FH= . 2 3 又∵四边形 AMFH 为矩形,∴MA=FH= . 2 3 3 ∵AD=MA· tan∠DMA= · 3= . 2 2 3 因此,当 AD 的长为 时,二面角 D-FE-B 的大小为 60° . 2


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