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不等式a


1

9

8

4

年 第 六 期

留 自卸 分 夺 时 . 傀



悬学 生 课 髻 阅读 惫 髻外 伽 卜 吞
孙?
三‘ 洲 日公 另



不 等式

‘色 土 互


\
,

岁户 刁



,

a +

b

2
n

)

n

的证 明

(a> 0

b> 0

e N)

石 文 栋
这 是 统 编 十 年 制课 本 第 三 册 1 5 9页 的 一 对 任意 自然 数 n 使
Z
p


个 习题

,

是 一 个 重 要 的不 等 式
,

,

各书 刊 都有




<

n


n

2



.

总 能 找 到 自 然 数P ’ 注 意 到柯 西 不 等 式两 边 字
, ,

许 多有 关 它的 具 体运用的 举 例 本文 拟就 高 中课 本范 围的知 识 介 绍它 的 若 干 证 明 方 法


通 过 课 堂 教学 或 课 外 活 动 和 墙 报 介 绍 给
, ,

学生

能 开 扩学 生 的 视 野 解 决 问题 的能 力 一 用 数 学 归纳 法


提 高分 析 间 题 和

n r 2 , ) 0 母 的 指 数不 变 的 特 点 取 r a + + 1) a + l ( ) 对 积 b ) ( ( b 不 断 应用柯西不 等 式 当 n 为 奇 数 时 对 n , ( a + b ) (a + b ) 用 之 直 到 为 偶 数
=




,



?

“ 一 ‘

?

r



,

’ ‘

n

,






,

对 (a


,


+

b

n

,

)

(1+
十 r
=

1) 2
:
” ,

用之 … …

;

n



1时 ,
=

原 不 等 式 显 然 成立
:

因积 中a
(a

b 的 指数 为n
,

这样 经 p
r

次 用 柯西 不 等 式后


最 终 得到
+



n

k 时 有

+

b ) (l
n

1)
2







(a

+

b)

旦匕

护 井( 气 )

a
+

)
a
n

…)
+
n

(a
+
_

+

b)
r

两边 约 去 ( a

b)
l

,


a +

两边 都 乘 上
/
a +


b

2


+


a k +

b 一一 多

气 厄一 )



b \



b \

k

,

_


=

一 乞 尹
(
a
+

乓 又 一万一 一 ) (


b

k



a +


b




以n
(a



8 9 为例



,

2“< 8 9
“ “

簇2
b
+ + +

7

=

12 8 ,
+

r =

12 8

一 +

89

=
“。

39 ,

+

s “

1

) (1

1)

“8

(a


b)
+


(

胶 十 ’

+ a

bk

+ a k

b

+

b

k

+



)

夕〔(

a
?

喀“

b b

落 “

)
)(

(
3 6

a +

b )〕 ( 1
略 b )〕 ( 1

1)

“8



:

a k



+

bk


十 ’

)



(a bk

+ a k

b

(a
““

b)
““ 3 2

=

(a
+ a



b ) (a
a k

k 一


, bk) 妻 。

乒 以a
?

a +

+

i )

“ “

即a b k
:


bk (
a + 石



+


b

“十 ’ .

(a
’“

+ + + + +

b) b






b ‘



k

1

)
+


b
从+
,

2( a

k

+



+

b

k

十 ‘

)

异 以a
?

’“

“ ) ( 1 + 1) 〕 ( 1 + 1) 2 ‘“

“ “

4

(a


b)“
3 b) 3

a k

(a 笋 〔
?

b ) ( 1+ z) 〕
2

( 1 + 1)
+

“‘

(a




k 也 就 是 说 原不 等 式 对 由数 n 归 法 原 不 对 一 切 然 均 成 立 学 纳 知 等式 自 数
,

n





1也 成立





“ “ (x ( a + b ) ( a + b )〕 》 〔 “ ”4 a “+ + l 1 )〕 乒 以 b ) (

1)

” 咭

异( a 即 可得

+



:

‘“8 b) ““

,

这 个 证 法 也 就 是 课本 所 要 求 的 基本 方 法




a

+

b

8

9

a +


(
a


用 柯西 不 等式
:

2

异 (

b

2

5 页 第 2题 指 出 课 本 第 三 册第 6 Z “ “ + e + d ) 异 (a e + bd) b ) (
C 一 a
一 一
一 D d
I

“ ,

等号 仅 当
(n
=

时 成立

,

这便 足柯 西不等 式

注 柯 西不 等 式 是 一 个很 有 用 的 不 等 式 课 本 6 第 三册 P 6 5 3 ? ?; P 6 6 5 ? ? ? 7 8 6 7 都 可 用柯 西 不 等 式方 便 的 P7 2
,
,


:

,



,

,

,

,

,

,

名)

地获证







用 二 项 式 定理
a

不 妨 设
b


妻b
r

,

旦士 互 二
2

A
~

a 二

A

+ r

,

=

A i 2 一

一 r a

,

A>
+
n

)

O

,

芳 。冬 ) 黔
,

n

b )
(A
、 r

当c
)
?

=

c

:

=

o,

即a
B
,



b 时 等 号 成立


,


B

粤f


+

(A

一 r

)

?

是 得证



\


/



:

比 较 法 (欲 证 A >
A
_

补今 A
_

B升 。
,

.

或A >


‘乡 > 。芝
=

A

n

+

C 盖A
+

n





r



+



+

C竺

r



(

n

诊>


i ) 是证 明 不 等 式 的 基本 方 法


_



_

_

_





,



_



贝努 利



不 等 式 是 一 个很 重 要的 不 等 式

为偶 ) ) A
n

,

(或





C 晋‘ A


r

“ 一



(n 为 奇 )




用三 角代 换
+
~

不妨 设 a
在原 不等 式

b

=

1

.

因 为如 a

+

b
n

=

e

共1

,





:

r =

J,



a

=

b 讨 等 号成 立


里 毕生、 ( 黑 互、


取 中间 值





,



,

A

,



a =

A

+

r

,

b

=

A
,



r ,

两边 同 除 以 c
这在

” ,

则得
c a 一 C一

这 样可 减少 变 量的 个 数 即 起 到 了 降 维 作 用 不 等 式证 明 中 是 一 个 很 有效 的 方法








b

用 比较 法
1

。 。 证

皿 笋


a



+

b
+

n

、 尸 1
.

n

2
a


b
,

1

’ 如令 a
a e +

=


C



b





,

实 质未 变

,

却育

2

b




=

l

,

设 鱼





A




+

一 b A

?‘

a

+

b



1

,

故 可设a

二 s

in



O

,

b
=

=

。 。。 2

。 (。< 。 <
1 一

故 可令
c
:


=

=

‘+ c

! ,

一 b A


2
1

) 一
l
+ e o s

1

+ e

: ,

(e

一,

>



l)

由降 幂 公 式 a
2 + 一 ‘

=

e o s

Zo

b
/

=

Zo



?

资头
I

?




2

,

a

n

+

b

n

2
+



汀万 而 一
, ‘
+ c o s

‘ 1 狡

一 C O S2 .

)



’C :

+ C

:

=

0



而 (份 )
A
(
)

n

=

(1
, ‘
+

+ e

l

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n

+

n e

,

Z。 ,

n






n
n


n

C Z

,

夕 ‘+

n C

:

,

}c
a
n

o o

26

< 】

1,

由 贝 努 利不 等 式 知

(1 士 e

o s

Zo )“ 妻 1 士 n e o s 2 0 ,

( 课 本 第 三 册1 4 5 页例 4
:
?

,

即 贝 努 利 不 等式 )

炭 ) ( ) ( 畏
+



: 笋 六 (鸽互)





当c 立


o s

Z ”二 。

)

2

+

(e
+

,

+

e

:

)
1

=

2

o 。手 。

a 二

b 时 等号 成

a

b

n

即有
a +

2




:

三 角代 换 法是 一 种 常见手 法


,

在 证 明 不等 如
a

b
2

式 化 简 求值 以及 解 方 程 中 都 很 有 用
可令
b
a





b

=
,

1

,

=

se e Z
.

o

,

b

二 t

g

Z

e,



a

b



1

,

可令

a =

t

go

二 e tg

o

1 9 8 4

年 第 六 期
, 故 f (a ) >
,


a



比 较 法 (2 )


0

,

不 妨 设a
n

b

=

1

且a 乡b

.

+

b

n

1

:

.

f ( a ) 在
.

(音

,

1 ) 上是

即证 即 证 (a
n

2

穿百
1

~





,

_ “

矛厂 ) (D
十 x
”一 Z


,

不 )) 厄

1

O

增 函数


由 等 比数 列 的 知 识
y
n

我们 有
+ x
n


:



尸 I

2 i 一

一 一

1 ,2 0 一

二一 不

1
.

2

+

~

1
二 石

1








3

y

+ z


. ‘.



y





1

x

n



y


~ n 一 l



X 一 y

, f (a ) > 0

a



2 i 一

1)

(a

n





b


(a
J 卜 一 l
.

1
~



?

+

(1

一 。






a ) ‘









1 2 一

下 乙



t

a

? ) 〕>



n l

a

a



+

+

一 2

n 一

)

+

(b



万 ) 又b

1

_

,





+





b



, :

b



>

1 (石 )
_ ~

__







通 过 一 阶导 数 的正 负

斗 ”







1



飞 不

+



从 而 证明 不 等 式 ;
,

判断 函 数 的 增 减 或 用 拉 格 朗 日 中值 定 理 证 明
, 。

)

不等 式
一 ,

是导 数 的 一 个 重 要应 用


、 (a


b



1 ) (b n






b

n





*





用 凹 函数 定义法
:

定义

过 曲线 上 任 意 两 点 作弦


,

如果弦

的 中 点 一 定 在 曲线 上 方 或 在 曲 线 上

,

则确定

1


Z
n 一 l
:

少=

U

这 曲线 的 函数 叫 凹 函 数 易知 凹 函 数 满 足
=

等号 显 然 仅 当a

n
,

b 时 成立





f (x
” ,
,

l

)

+

f (x
2

Z

)




X
(


I

+ X

,

当 任 N 叼 护 一 万 能被 一 了 整除 在 注 保本第 三 册 第 1 4 6 页 第 2 题 2 提 及 用 比 较法作 差


念t 一


利 用 拉格朗 压 中 值定 理可 以 证 明
,

正 好利 用了 这个 定 理

.



七 用导 数 法 设a + b = 1 如a

=

b

,

显然 原不 等 式

f (x ) 在 某 开 区 间 内二 阶 导 数 存 在 且 , x ) x ) 0 ( ( > 则 f 在 此 开 区 间 内为 凹 , l f



,

:



成立



函数



设 f (x )

=

x

n

,

x



1) x

(0
n


+


o ) c
,

.

不 妨设 a > b
>
O


,

则a 任 ( 言

) 且a > 工 1



a



/ ’f l . (x )
.

=

n

(n
+

> o
,

:
,

, f ( x ) 在 (o
,

o ) 内为 凹 函 数 任 取 a c
a +

,

,

作 幽数

_





,



_

:

土(a )

1
=

/ a


b 石 (0
+

+

二) 有
,

} 万 自 、

交 1

一 a

)



f

(a

)

+


f (b )

_


_

里 一
l 一 工 f


Z

即 得旦
】n a 于 “ 从~






:

一妻 t

(
a +

b
2

飞少 、


(

b

2
,

, ) f (a 一


=

1

/

_

_

_

n 一 ’



一 n



(l




一 a


)


n 一

一 , ‘

、’

.



利用 凸
,

凹函 数的 定 义

可 以 证 明 许多 重
.


:

a
a

>

1
。 一

一 a


>

O,
一 a



要的 不 等 式 西不 等 式等

如算 术 平 均 该方法简
:



—接 便
,

几 何 平 均不 等 式






> (1

)

1





?

(作 者单 位

贵 州 省 普 安 县 一 中)


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