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江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习(11,文数)


(十 常州市常州中学 2011-2012 高三数学 文) ( 最后冲刺综合练习试卷 一)
一、填空题: 1.已知复数 z =

a ? ai (a ∈ R, i为虚数单位) ,且 z 的实部为 2,则 a 的值为 2+i



2.函数 f ( x ) = 2 sin ω x ? cos ω x (ω ∈ R) 的最小正周期为 π ,且在区间 [ ? 则ω = .

π π

, ] 上为减函数, 4 4

3.先后抛掷一枚形状为正方体的骰子(正方体的六个面上分别标以数字 1、、 4 5、 ),骰 2 3、、 6 子 向 上 的 点 数 依 次 为 x, y . 设 “ 为 . .
i←1

x+ y > xy ” 为 事 件 A , 则 事 件 A 发 生 的 概 率 2

开始

S←0

4.右图是一个算法的流程图,最后输出的 S =

5.已知全集 U = R, 集合 A = {x | x > m且x ∈ R}, B = {x | x > n且x ∈ R},
i-1

S←S+2

若A

B ,则实数 m 、 n 的大小关系是
10 11


i←i+1

6.在等差数列 {a n } 中, a1 = 2 , a2 = 2 , 在等比数列 {bn } 中,

b1 = 210 , b2 = 211 , 则 a1024 ? b11 =



S>100 Y 输出 S

N

7.有六根细木棒,其中三根长为 2 ,三根长为 1,用它们搭成正三棱锥, 所得正三棱锥体积为 .

8.在 ?ABC 中, AB = 8, AC = 10 ,若点 O 为 ?ABC 的外心,则 AO ? BC = 9.设关于 x 的不等式 ( x ? 1)( x ? a ) < 0 的解集为 M ,则 M 中有且只有 1 个正整数解的充要条件为 .

uuur uuu r

. 结束 (第 4 题图)

10.已知函数 f ( x ) = x 3 在点( m, n )处的切线方程为 y = 3 x ? 2 ,则函数 f ( x ) 在点 ( ? m, ? n )处的切线方程为 11.三个正数 a、b、c, 满足 a + b + c = 1 ,则 12. 有如下四个命题: ①: 函数 g ( x ) = 9
log3 x



1 4 + 的最小值为 a+b c



的图象上的每一个点都在抛物线 y = x 2 上; ②:
2

2 2 2 函数 u ( x ) = 1 ? x 的图象上的每一个点都在圆 x + y = 1 上;③:函数 h( x ) = log 2 x 的

1

图象上每一个点都在曲线 y = 2 log 2 x 上; ④:函数 f ( x ) = log 2 4 其中真命题是
x ?5

的图象上有且只有一个点在圆 x 2 + y 2 = 20 上, (填写真命题的序号即可) .

13.已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,以线段 F1 F2 为斜边作等 a2 b2
2

腰直角三角形,椭圆恰好平分两腰,设椭圆的离心率为 e ,则 e =
2



14 . 已 知 函 数 f ( x ) = 2 x + bx + c (b、c ∈ R ) 在 x = ?1 处 取 得 极 小 值 m ? 2( m ∈ R 且

m ≠ 0 ),设 ? ( x ) =
的值为 二、解答题: 解答题:

m2 f ( x) ,当 x ∈ [ ?4, ?2] 时,函数 ? ( x ) 的最大值为 + 1 ,则实数 m 32 x2


15.如图,四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,BC⊥平面 SCD, E 为 SB 上的一点,且 CE⊥平面 SBD. (1)求证:SC⊥SD; (2)设 M 是线段 CD 的中点,N 是线段 SB 的中点,求证:MN∥平面 SAD.

(第 15 题图)

16.已知动点 P (3t , t + 1)(t ≠ 0, t ≠ 记S =

1 ? sin 2α + cos 2α ,试用 t 将 S 表示出来并求 S 的范围 1 ? sin 2α ? cos 2α

1 π ) 在角 α 的终边上.(1)若 α = ,求实数 t 的值; (2) 2 6

2

17.如图,已知湖岸 A 处到对岸 BC 的垂直距离 AB 为 50km,B,C 间距离为 50 3 km,某导游率 领团队从 A 处出发,乘船以 25km/h 的速度先到对岸 D 处 在 B,C 之间)再乘汽车,以 50km/h (D , 的速度到对岸 C 处游览, 设 ∠DAB = θ ( rad ) ,从 A 到 D 再到 C 共用时间为 y (h) . (1) 直接写出(不需给出演算步骤) y 关于 θ 的函数关系式和定义域; .... (2)当 θ 取何值时,旅途路上所花时间最少?最少时间为多少小时? B D C

A 第 16 题图

18.设 m > 0 ,函数 f ( x ) =

1 ( x ? 2m) 2 ( x ∈ R且x ≠ 2m) ,圆 C1 的圆心在函数 f ( x) 的图 4m 象上运动,且圆 C1 与 x 轴相切,圆 C2 的方程为 x 2 + y 2 ? 4mx ? 2my + 4m 2 = 0 . (1)若直线 1 l: y = x ? 1 与函数 f ( x) 的图象有且只有一个公共点,判断直线 l 与圆 C2 的位置关系; 4m (2)求证:圆 C1 始终与圆 C2 外切.

3

19.函数 f ( x) = x + mx + n( m, n ∈ R) ,不等式 f ( x) ≤ 2 对一切 x ∈ [1,5] 恒成立,
2

( 1 ) 求 f (1) ? 2 f (3) + f (5) 的 值 ; 2 ) 求 实 数 m, n 的 值 ; 3 ) 设 a > 0, 函 数 ( (

g ( x) = ( f ( x) + 6 x ? 7) ? ln x, x ∈ (0, a ], 求函数 g ( x) 的最小值 h(a ) 的表达式.

20.已知在数列 {an } 中, a1 =

5 5 , 6an +1 ? an = 4 ? ( ) n (n ∈ N ? ) ;在数列 {bn } 中, b1 = ?2, 6 6 n ? b2 = 3 , bn + 2 ? bn = (?1) (n ∈ N ) .(1)求数列 {an } 的通项公式;
?

(2)求数列 {bn } 的通项公式;(3)设 cn = an bn ( n ∈ N ), 求数列 {cn } 的最大项和最小项.

4

2012 届高三数学综合练习试卷(十一)参考答案
一.填空题: 1. 10 2. ?1 3.

5 1 5 4.127 5. m > n 6.0 7. 或 6 6 12

8.18

9.2 < a ≤3 10. y = 3 x + 2 14. m = 2 或 m = 4 ? 15 二、解答题:

11.9 12.①、②、④ 13. 3 ? 5

15.解: (1)证明:Q BC⊥平面 SCD,SD ? 面 SCD,∴BC⊥SD,(2 分)

Q CE⊥平面 SBD, SD ? 面 SBD,∴CE⊥SD,(4 分)
(6 Q BC ∩CE=C, BC ? 面 SBC,CE ? 面 SBC,∴SD⊥面 SBC,∴SC⊥SD; 分) (2) 连结 AC 交 BD 于 F,连结 MF,NF,

Q M 是 CD 的中点, F 是 BD 的中点,∴MF∥BC,Q AD∥BC,∴MF∥AD,(8 分) Q MF ? 面SAD , AD ? 面SAD ,∴MF∥ 面SAD ,(10 分)
同理可证得 NF∥ 面SAD ,Q MF I NF=F, ∴ 面MNF ∥ 面SAD ,(12 分) (14 分) Q MN ? 面MNF ,∴MN∥平面 SAD. 16. 解 : ( 1 ) Q P (3t , t + 1)(t ≠ 0, t ≠ (第 15 题答案图)

tan α =
又α =

t +1 --------------------------3 分 3t
,则

1 ) 是 角 α 的 终 边 上 一 点 , 则 2

π
6

t +1 3 3 +1 = ,所以 t = . 3t 3 2

--------------------6 分

(2Q S =

1 ? sin 2α + cos 2α 1 ? 2sin α ? cos α + 2 cos 2 α ? 1 cos α (cos α ? sin α ) = = 9分 1 ? sin 2α ? cos 2α 1 ? 2sin α ? cos α ? 1 + 2sin 2 α sin α (sin α ? cos α )
----------------------12 分

∴S = ?

1 1 =? t +1 tan α 3t
5

∴S = ?

3t t +1

----------------------------14 分

17. Ⅰ) Rt ? ABC中,AC=asinθ ,AB=acosθ ,S1 = ( 在 设 正 方 形 的 边 长 为

x





x a a sin 2θ +x+xtanθ =a ∴ x= = 1 tanθ 2 + sin 2θ +tanθ +1 tanθ
2

1 2 1 a sin θ cos θ = a 2 sin 2θ 2 4 x 则 BQ= ,RC=xtanθ tanθ

? a sin 2θ ? S2 = x 2 = ? ? ? 2 + sin 2θ ?
(2) t = sin 2θ 、

而 S2 =

a 2 sin 2θ S 1? 1 ? ∴ 1 = ?t + + 4? 2 4 + 4 sin 2θ + sin 2θ S2 4 ? t ?
1? 1 ? f ( t ) = ? t + + 4 ? 为减函数 4? t ?

∵0 < θ <

π
2

,又 0 <2 θ < π ,∴ 0< t ≤1∴

当 t = 1时

S1 3 π 取得最小值为 此时 sin 2θ = 1 ∴θ = S2 2 4

1 ? 2 ? y = 4 m ( x ? 2m ) , ? 得 x 2 ? (4m + 1) x + 4m 2 + 4m = 0 , 18.解: (1)由 ? ? y = 1 x ? 1, ? 4m ?
Q 若直线 l : y =

1 x ? 1 与函数 f ( x) 的图象有且只有一个公共点 4m 1 ∴ ? = (4m + 1) 2 ? 16m 2 ? 16m = ?8m + 1 = 0, ∴ m = . (4 分) 8 1 2 1 2 1 ∴直线 l : y = 2 x ? 1 ,圆 C2 : ( x ? ) + ( x ? ) = , 4 8 64 1 1 1 ,半径 r2 = , ∴圆心 C2 ( , ) 4 8 8
1 1 ?1 ? 5 1 2 8 ∴ C2到直线l 的距离 d = > = r2 , = 8 8 5

∴直线 l 与圆 C2 相离. 分) (8

(2) 证明:设圆心 C1 ( x0 , y0 ),则 y0 =

1 ( x0 ? 2m)2 > 0 , 4m

Q 圆 C1 与 x 轴相切, ∴圆 C1 的半径 r1 = y0 , (10 分)

6

∵ C2 ( 2m, m ),圆 C2 的半径 r2 = m , (12 分) ∴ C1C2 =

( x0 ? 2m) 2 + ( y0 ? m) 2 = 4my0 + ( y0 ? m) 2 = ( y0 + m) 2 = y0 + m

= y0 + m = r1 + r2 ,(14 分) ∴圆 C1 始终与圆 C2 外切. (16 分) 19.解: (1) f (1) ? 2 f (3) + f (5) = 1 + m + n ? 18 ? 6m ? 2n + 25 + 5m + n =8, 分) (4 (2)∵不等式 f ( x) ≤ 2 对一切 x ∈ [1,5] 恒成立,∴ f (1) ≤ 2, f (3) ≤ 2, f (5) ≤ 2, ∴ f (1) ? 2 f (3) + f (5) ≤ f (1) + 2 f (3) + f (5) ≤ 2 + 2 × 2 + 2 = 8, (8 当且仅当 f (1) = 2, f (3) = 2, f (5) = 2 时取等号, 分)∴ m = ?6, n = 7 ,(10 分) (3) g ( x ) = ( f ( x ) + 6 x ? 7) ? ln x = x 2 ln x, x ∈ (0, a ] , (12 分) g ′( x ) = x (2 ln x + 1) , ① 当a >

1 1 1 时,若 0 < x < 时, g ′( x ) < 0, ∴ g ( x ) 为减函数;若 < x ≤ a 时, e e e 1 1 1 时, g min ( x ) = g ( ) = ? , 分) (12 2e e e

g ′( x) > 0, ∴ g ( x) 为增函数,∴当 x =

② 当0 < a ≤

1 时, g ′( x ) ≤ 0, ∴ g ( x ) 在 (0, a ] 上为减函数, (14 分) e

1 1 ? ? ? 2e , ( a > e ) ? 2 ∴当 x = a 时, g min ( x ) = g ( a ) = a ln a, ∴ h( a ) = ? (16 分) 1 2 ?a ln a, (0 < a ≤ ) ? e ?
20.解: (1)∵ 6an +1 ? an = 4 ? ( ) ( n ∈ N ) , ∴ 6
n
n

5 6
1

?

n +1

an +1 ? 6n an = 4 ? 5n.
n n ?1

∴ 6 an = 6 a1 + [6 a2 ? 6 a1 ] + [6 a3 ? 6 a2 ] +……+ [6 an ? 6
1 2 3 2

an ?1 ]

= 5 +4 ? [51 + 52 + ……+ 5n?1 ] = 5 +4 ?

5[1 ? 5n?1 ] 5 n n = 5 , ∴ an = ( ) . 分) (4 1? 5 6

(2)当 n = 2k ? 1( k ∈ N ? ) 时, b2 k +1 ? b2 k ?1 =-1,∴ {b2 k ?1} 是首项 b1 = ?2 ,公差为 ?1 的等 差数列,∴ b2 k ?1 = ?2 + ( k ? 1)( ?1) = ? k ? 1 ,当 n = 2k ( k ∈ N ? ) 时, b2 k + 2 ? b2 k =1, ∴ {b2 k } 是首项 b2 = 3 ,公差为 1 的等差数列,∴ b2 k = 3 + ( k ? 1) = k + 2 ,

7

? n+3 ?? 2 (n为正奇数), ? ∴ bn = ? ? n + 4(n为正偶数). ? 2 ?
?

(8 分)

(3) 当 n = 2k ? 1( k ∈ N ) 时, c2 k ?1 = ?( k + 1)( )

5 2 k ?1 < 0, 6 5 2 k +1 5 5 25 + (k + 1)( ) 2 k ?1 = ( )2 k ?1[?(k + 2) + k + 1] ∴ c2 k +1 ? c2 k ?1 = ?( k + 2)( ) 6 6 6 36 5 2 k ?1 11k ? 14 =( ) ,当 k = 1 时, c2 k +1 ? c2 k ?1 < 0 ,即 c2 k +1 < c2 k ?1 , 6 36
当 k ≥ 2 时, c2 k +1 ? c2 k ?1 > 0 ,即 c2 k +1 > c2 k ?1 , ∴ c1 > c3 < c5 < c7 < …… < c2 k ?1 < ……, 当 n = 2k ( k ∈ N ? ) 时, c2 k = ( k + 2)( ) ∴ c2 k + 2 ? c2 k = ( k + 3)( ) =( )

5 6

2k

> 0,

5 6

2k

3 ? 11k < 0, 36

5 6

2k +2

5 5 25 ? (k + 2)( )2 k = ( )2 k [(k + 3) ? (k + 2)] 6 6 36

∴ c2 > c4 > c6 > c8 > …… > c2 k > ……, 综上所述,最大项 c2 =

25 125 ,最小项 c3 = = ? . (16 分) 12 72

8


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