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高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用(第2课时)课堂探究新人教A版选修2-2资料


高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用(第 2 课时)课堂探究 新人教 A 版选修 2-2
探究一 求函数的极值 用导数研究函数的极值的步骤及应对策略: (1)求定义域,并求导数 f′(x); (2)解方程 f′(x)=0; (3)列出表格. 在判断 f′(x)的符号时,可借助决定导函数符号的图象直观解决;也可判断导函数中 各因式的符号;还可用特值法判断,要灵活、快速、准确; (4)由表格获得结论. 实质上表格反映的就是函数的草图,下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别. 【典型例题 1】求下列函数的极值: (1)f(x)=x -12x; (2)f(x)=sin x(1+cos x)(0<x<2π ). 思路分析: 求f(x)的定义域 → 求f′(x) → 解方程f′(x)=0 → 列表分析 → 结论 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R;
3

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) +

-2 0 16

(-2,2) -

2 0 -16

(2,+∞) +

?

?
3

?
3

从表中可以看出,当 x=-2 时,函数有极大值,且 f(-2)=(-2) -12×(-2)=16. 当 x=2 时,函数有极小值,且 f(2)=2 -12×2=-16. (2)f′(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x) =cos x+cos x-sin x =cos x+cos x-(1-cos x) =2cos x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1). 1 令 f′(x)=0,得 cos x= 或 cos x=-1. 2 π 5π 当 0<x<2π 时,x1= ,x2=π ,x3= . 3 3 当 x 在区间(0,2π )内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
1
2 2 2 2 2

x f′(x)

?0,π ? ? 3? ? ?


π 3 0 极大值

? π ,π ? ?3 ? ? ?


π 0

错误! -

5π 3 0 极小值-

?5π ,2π ? ? 3 ? ? ?


f(x)

?

3 3 4

?

0

?

3 3 4

?

π 3 3 故当 x= 时,f(x)有极大值为 ; 3 4 5π 3 3 当 x= 时,f(x)有极小值为- . 3 4 探究二 已知函数的极值求参数的值或范围 1.已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点: (1)常根据极值点处导数为 0 和已知极值(或极值之间的关系)列方程组,利用待定系数 法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性. 2.对于可导函数 f(x),若它有极值点 x0,则必有 f′(x0)=0,因此函数 f(x)有极值的 问题,往往可以转化为方程 f′(x)=0 有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解. 【典型例题 2】已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值. 思路分析:本题考查已知极值求参数值的问题.求导,分别建立关于 a,b 的方程组, 注意验证以及对根的取舍. 解:∵f(x)在 x=-1 时有极值 0,且 f′(x)=3x +6ax+b, ∴?
? ?f′(-1)=0, ? ?f(-1)=0, ?a=1, ? ?b=3, ? ? ?3-6a+b=0, 即? 2 ? ?-1+3a-b+a =0,
2 3 2 2

解得?

或?

?a=2, ? ?b=9. ?
2 2

当 a=1,b=3 时,f′(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0, ∴f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时,

f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),
当 x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数; 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数; ∴f(x)在 x=-1 时取得极小值. ∴a=2,b=9.
2

【典型例题 3】 若函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值, 则实数 b 的取值范围是 __________. 解析:f′(x)=3x -6b,因为 f(x)在(0,1)内有极小值, 所以,函数 f′(x)应满足条件?
? ?-6b<0, 即? ?3-6b>0, ? ?f′(0)<0, ? ? ?f′(1)>0,
2

3

1 解得 0<b< . 2

? 1? 答案:?0, ? ? 2?
探究三 函数极值的综合应用 涉及方程 f(x)=k 的解的个数问题,时常转化成函数 y=f(x)与 y=k 两函数图象的交 点个数问题,求解时可利用导数,求出 y=f(x)的单调区间及极值,画出草图,借助图象求 出解的个数. 4 3 【典型例题 4】若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不等实根,求实数 k 的取值范围. 解:(1)由题意可知 f′(x)=3ax -b,
2

f′(2)=12a-b=0, ? ? 于是? 4 f(2)=8a-2b+4=- , ? 3 ?
1 经检验 a= ,b=4 符合题意. 3

1 ? ?a= , ∴? 3 ? ?b=4.

1 3 故所求函数 f(x)的解析式为 f(x)= x -4x+4. 3 (2)由(1)知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
2

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) +

-2 0 28 3

(-2,2) -

2 0 - 4 3

(2,+∞) +

?

?

?

28 4 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ;当 x=2 时,f(x)有极小值- ,则 f(x)的图象 3 3 大致如图所示,
3

4 28 要使关于 f(x)=k 的方程有三个不等实根,则使 k 应满足- <k< . 3 3 探究四 易错辨析 易错点:不理解 f′(x)=0 的根与函数极值点的关系 1 3 2 【典型例题 5】已知关于 x 的函数 f(x)=- x +bx +cx+bc,如果函数 f(x)在 x=1 3 4 处取得极值- ,则 b=__________,c=__________. 3 4 2 错解:f′(x)=-x +2bx+c,由 f(x)在 x=1 处取得极值- , 3

f′(1)=-1+2b+c=0, ? ? 可得? 1 4 f(1)=- +b+c+bc=- , ? 3 3 ?
解得?
? ?b=1, ?c=-1 ?

或?

? ?b=-1, ?c=3. ?

错因分析: 函数在一点处的导数值为 0 是函数在这点取得极值的必要条件, 而非充分条 件.错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出错,一般地,根据极值条件求参数的值的问 题时,在得到参数的两组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验,考 察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取舍. 4 2 正确:f′(x)=-x +2bx+c,由 f(x)在 x=1 处取得极值- , 3

f′(1)=-1+2b+c=0, ? ? 可得? 1 4 ?f(1)=-3+b+c+bc=-3, ?
解得?
?b=1, ? ? ?c=-1

或?

?b=-1, ? ? ?c=3.

若 b=1,c=-1, 则 f′(x)=-x +2x-1=-(x-1) ≤0, 此时 f(x)没有极值;
2 2

4

若 b=-1,c=3, 则 f′(x)=-x -2x+3=-(x+3)(x-1), 当-3<x<1 时,f′(x)>0,当 x>1 时,f′(x)<0, 4 所以当 x=1 时,f(x)有极大值- . 3 故 b=-1,c=3 即为所求. 答案:-1 3
2

5


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