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2014《创新设计》二轮专题复习训练1


第一部分

22 个常考问题专项突破
图象与性质
(建议用时:50 分钟)

常考问题 1 函数、基本初等函数的

1.(2012· 江苏卷)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为______. 解析 答案 ?x>0, 由题意? 所以 x∈(0, 6]. ?1-2log6x≥0, (0, 6]

? x,x≥0, 2.设函数 f(x)=? 若 f(a)+f(-1)=2,则 a 等于________. ? -x,x<0, 解析 依题意, 得 f(a)=2-f(-1)=2- -?-1?=1.当 a≥0 时, 有 a=1,

则 a=1;当 a<0 时,有 答案 ± 1

-a=1,a=-1.综上所述,a=± 1.

-2x+1 3 . (2013· 苏州调研 ) 已知定义域为 R 的函数 f(x) = x+1 是奇函数,则 a = 2 +a ________. 解析 因为函数 f(x)= -2x+1 是定义域为 R 的奇函数,所以 f(-1)=-f(1), 2x+1+a



1 -2+1 1+a 2

=-

-2+1 ,解得 a=2. 4+a

答案

4. 已知 f(x)=ln(1+x)的定义域为集合 M, g(x)=2x+1 的值域为集合 N, 则 M∩N =________. 解析 由对数与指数函数的知识, 得 M=(-1, +∞), N=(1, +∞), 故 M∩N

=(1,+∞). 答案 (1,+∞)

5.(2013· 镇江调研)已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则 a 的取值范围

为________. 解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解. 因为 y=log2(ax-1)

?a>0, 在(1,2)上单调递增, 所以 u=ax-1 在(1,2)单调递增, 且恒大于 0, 即? ?a-1≥0 ?a≥1. 答案 [1,+∞)

6.(2013· 苏州模拟)已知 a=20.5,b=2.10.5,c=log21.5,则 a,b,c 的大小关系 是________. 解析 因为 y=x0.5,x∈(0,+∞)是增函数,所以 b=2.10.5>a=20.5>1,又

由对数函数性质可知 c=log21.5<log22=1,所以 a,b,c 的大小关系是 b>a >c. 答案 b>a>c

7. (2013· 济南模拟)已知函数 f(x)=x3+x, 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在 R 上为增函数.

又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知,f(mx-2)<f(-x).∴mx-2<-x,即 mx+x-2<0, 令 g(m) = mx + x - 2 , 由 m ∈ [ - 2,2] 知 g(m)<0 恒 成 立 , 可 得 ?g?-2?=-x-2<0, 2 ? ∴-2<x<3. ?g?2?=3x-2<0, 答案 2? ? ?-2,3? ? ?

8.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对?x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当 f?x1?-f?x2? x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 <0,给出下列命题: x1-x2 ①f(2)=0; ②直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点; ④f(2 014)=0. 其中所有正确命题的序号为________.

解析

令 x=-2,得 f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得 f(-2)=0,因为函数 f(x)

为偶函数,所以 f(2)=0,①正确;因为 f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4 -x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以 f(-4+x)=f(-4-x),即 x=-4 是函 f?x1?-f?x2? 数 f(x)的一条对称轴,②正确;当 x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有 x1-x2 <0,说明函数 f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又 f(2)=0,因此函数 f(x)在[0,2] 上只有一个零点,由偶函数知函数 f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由 f(x+ 4)=f(x),知函数的周期为 4,所以函数 f(x)在(2,6]与[-6,-2)上也单调且有 f(6)=f(-6)=0,因此,函数在[-4,4]上只有 2 个零点,③错;对于④,因为 函数的周期为 4,即有 f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0,④正确. 答案 ①②④

9. 已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)的图象上任意一点 P 关于原点 对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的

对称点,因为 Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1), 即 y=-loga(1-x)(x<1). (2)f(x)+g(x)≥m, 即 loga 1+x ≥m. 1-x 1+x ,x∈[0,1). 1-x

设 F(x)=loga

由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数,所以 F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0]. ?f?x?,x>0, 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=? 若 f(-1)=0, ?-f?x?,x<0. 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围.



(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,

∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ?a>0, ∴? 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0, ?a>0, 即? 2 ??a-1? ≤0. ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
2 ?x +2x+1 ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1

?x>0?, ?x<0?.

(2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴ 2 ≤-2 或 2 ≥2, 解得 k≤-2 或 k≥6. 所以 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 11.(2013· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立?若存在, 求出 t;若不存在,请说明理由. 解 ?1? ?1? (1)∵f(x)=ex-? e?x,且 y=ex 是增函数,y=-? e?x 是增函数,所以 f(x)是 ? ? ? ?

增函数.由于 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以 f(x)是奇函 数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, ∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t2+t≤x2+x 对一切 x∈R 恒成立 ? 1? ? 1? ??t+2?2≤?x+2?2 对一切 x∈R 恒成立 ? ? ? ?min

1 ? 1? ??t+2?2≤0?t=-2. ? ? 1 即存在实数 t=-2,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x 都成立.


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