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山东省聊城市华阳中学2013届高三上学期第一次调研 数学文试题


聊城市华阳中学 2012-2013 学年上学期高三第一次调研考试 文科数学试题
考试时间:100 分钟

第 I 卷(选择题)
一、选择题 1. 在 ?ABC 中, sin A ? sin B 是 ?ABC 为等腰三角形的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.已知曲线 c : y ? 2 x 2 ,点 A(0, ?2) 及点 B(3, a) ,从点 A 观察 B,要实现不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( A. (4, ??) 3. ) C. (10, ??) D. (??,10)

B. (??, 4) )

? (e
0

1

x

? 2 x)dx 等于(

A. 1

B. e ? 1

C. e

D. e ? 1

4. 设集合 A = {4, 7, ,B = 5, 9} {3, 7, 9} 全集U ? A ? B , 4, 8, , 则集合 CU ( A ? B) 中的元素共有( A.3 个 ) B.4 个

C.5 个

D.6 个 )

5.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在 (??,0) 上为减函数的是(

A. f ( x) ? ? ? C. f ( x) ? ? x 3

?3? ?2?

x

B. f ( x) ? x 2 ? 1 D. f ( x) ? lg(? x) )

6.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a17 ? 10 ,则 S19 ? ( A.55 B.95 C.100 D.不能确定

2 7.设 a 是函数 f(x)= | x ? 2 | ? ln x 在定义域内的最小零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 )

的值满足 ( A.

) B. f ( x0 ) ? 0 D. f ( x0 ) 的符号不确定

f ( x0 ) ? 0

C. f ( x0 ) ? 0

?ln x, x ? 0 ? f ( x) ? ? a 8.设 ,若 f ? f [ f (e)]? ? 9 ,则 a=( x ? ? t 2 dt, x ? 0 ? 0 ?
A.-1 B.0 C.2 D.3

)

2 9.设全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 A ? ?U B= (



试卷第 1 页,总 4 页

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1} )

10.已知点 P(tan ? , cos ? ) 在第三象限, 则角 ? 的终边在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

11.给出如下四个命题: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 则三点 (10,

③ “?x∈R,x2 +1≥1”的否定是 “ ? x∈R,x2 +1≤1”;

S10 S S ), (100, 100 ), (110, 110 ) 共线; 10 100 110

④ 在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中正确的命题的个数是 ( ) .. A.4 B.3 C. 2
·

D. 1 a2· a3· a4· a5 ,则 m=( )

12.在等比数列{an }中, a1 ? 1 ,公比|q|≠1,若 am = a1 A. 9 B. 10 C. 11 D.12

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13. 函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是_____________

14 . 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 ?? 2,2? 上 的 函 数 , 且对 任 意 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 恒 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且 f ? x ? 的最大值为 1,则满足 f ?log 2 x ? ? 1 的解集为 x1 ? x2
15.函数 f ( x) ? 3x ? sin x ? 1 ( x ? R ) ,若 f (t ) ? 2 ,则 f (?t ) 的值为 16.已知 f ( x) ? ? 三、解答题 17.设 b 为实数,函数 f ( x) ? 2 x ? ( x ? b) x ? b 。
2





, x?0 ?cos?x 4 ,则 f ( ) 的值为__________. 3 ? f ( x ? 1) ? 1 , x ? 0

(1)若 f (0) ? 1 ,求 b 的取值范围

(2)求 f ( x) 的最小值

(3)设函数 h( x) ? f ( x), x? (b ,?? ) ,直接写出(不需要给出演算步骤)不等式

h( x ) ? 1的解集。
18.定义函数 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) . (1)令函数 g ( x) ? F (1, log 2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C ,若存在实数 b ,使 得曲线 C 在 x0 ( x0 ? (1,4)) 处有斜率是 ? 8 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)当 x, y ? N ,且 x ? y 时,证明: F ( x, y) ? F ( y, x) .
*

19.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? R) . 2

(1)若 a ? ?1,求 f (x) 的单调递增区间; (2)当 x ? 1时, f ( x) ? ln x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分 16 分)已知右图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图 象 (1)求函数解析式; 分) (3 (2)当 x ? R 时,求该函数图象的对称轴方程和对称中心坐标; 分) (4 (3)当 x ? R 时,写出 f ( x) 的单调增区间; 分) (3 (4)当 x ? R 时,求使 f (x) ≥ 1 成立的 x 的取值集合. 分) (3

试卷第 3 页,总 4 页

(5)当 x ? [

, ] ,求 f ( x) 的值域. (3 分) 12 2

? ?

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.A 【解析】因为 ?ABC 中, sin A ? sin B ,则 A=B,那么 ?ABC 为等腰三角形,反之,不一定成立, 故 sin A ? sin B 是 ?ABC 为等腰三角形的充分不必要条件,选 A 2.D 【解析】因为曲线 c : y ? 2 x 2 ,点 A(0, ?2) 及点 B(3, a) ,从点 A 观察 B,要实现不被曲线 C 挡住, 则根据数形结合思想得到,实数 a 的取值范围是 (??,10) ,选 D. 3.C 【解析】因为 4.A 【解析】因为集合 A ={4,5,7,9} B ={3,4,7,8,9} , ,则 A ? B={4,7,9},因此集合 CU ( A ? B) 的元素共有 3 个,选 A 5.D 【解析】因为选项 A 中,因为底数大于 1,定义域内递增函数,不满足题意,选项 B 中,是偶函数, 不合题意,选项 C 中,是奇函数,不满足,选项 D,函数满足题意,故选 D. 6.B 【解析】因为等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a17 ? 10? a0 ? 5 ,那么 S19 ? 19a10 ? 95 ,选 1 B. 【答案】A
2 【解析】因为 a 是函数 f(x)= | x ? 2 | ? ln x 在定义域内的最小零点,当 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值

? (e
0

1

x

? 2 x)dx ? e x ? x2 |1 ? e ? 1 ?1 ? e ,选 C. 0

满足 f ( x0 ) ? 0 ,选 A 8.D













?ln x, x ? 0 ? f ( x) ? ? a x ? ? t 2 dt, x ? 0 ? 0 ?
a 2











f? [ f
9.B

?(? f

) ?] e

9 ? f

( ) 9 ?( ft dt ??9 ?1 a f ? 9 ?)a ? 3 ,故选 ,D 3
3 0

1

(

0

)

9

【解析】因为全集 U=R,集合 A={X|0<x<2},B={x|x>1},那么可知 A ? CU B ? {x | 0 ? x ? 1} ,故选 B. 10.B 【解析】因为点 P 在第三象限,则 tan ? ? 0,cos ? ? 0 ,故角 ? 的终边在第二象限,选 B.
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11.C 【解析】因为命题 1 中,且命题为假,则一假即假,因此错误,命题 2 中,因为{

Sn } 是等差数列, n

因此成立。命题 3,否定应该是存在 x,使得 x2 +1<1”,命题 4 中,应该是充要条件,故正确的命题 是 4 个。选 C. 12.C 【解析】因为等比数列{an }中, a1 ? 1 ,公比|q|≠1,若 am = a1 通项公式得到 m=11,选 C. 13. ? 【解析】因为
·

a2· a3· a4· a5 ,则利用的本硕连读

? 2 2 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) 4 2 2 2 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4
可知函数的周期为 ? 14. ? ,4? 4 【解析】因为根据题意可知函数在给定区间上递减函数,那么要使 f(-2)=1,则 f( log 2 x )<1,则可 知, 2 ? log 2 x ? ?2 ,解得解集为 ? ,4? 。 4 15.0 【解析】因为 f(x)=3x+sinx+1,则 f(-x)= -3x-sinx+1,f(t)+f(-t)=2,则可知 f(-t)=0. 16.3/2. 【解析】因为根据函数解析式可知 f(

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

4 1 2 )=f( )+1= f( ? )+2=3/2. 3 3 3

17. (1)若 (2)

f (0) ? 1 ,则 ?b | b |? 1 ? ?b ? 0 ? b ? ?1 ? 2
?b ? 1

f ( x) min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
6 6 或a ? 2 2 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ;
·6·

a??
(3) 当

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?


6 6 ?a? 2 2 时, ? ? 0, 得

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ?( x ? )( x ? )?0 ? 3 3 ?x ? a ?

a?(
1)

2 6 , ) 2 2 时, x ? (a, ??)

a ? 3 ? 2a 2 2 2 x ?[ , ??) a ? [? , ] 3 2 2 时, 2) a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 x ? ( a, ]?[ , ??) a ? (? ,? ] 3 3 2 2 时, 3)
【解析】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解,以及分段函数的最值问题的运用。

?a ? 0 ? a | a |? 1 ? ? 2 ? a ? ?1 a ?1 f (0) ? 1 ,则 ? (1)因为 得到结论。
(2)对于对称轴和定义域的关系需要分类讨论得到函数 f(x)的最小值。 (3)在上一问的基础上,直接借助于函数的最值和单调性得到解集。 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?b | b |? 1 ? ?b ? 0 ? b ? ?1 ? 2
?b ? 1
2 ? f (a ), a ? 0 ? 2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

f ( x) min
(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ,
2 2

2 ? ? f ( ? a ), a ? 0 ? ?2a , a ? 0 f ( x ) min ? ? ?? 2 2 2 ? 2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ? 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a ,

f ( x) min
综上 (3)

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 , ? ? 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) ? 12 ? 8a 2
6 6 或a ? 2 2 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ;

a??


?


6 6 ?a? 2 2 时, ? ? 0, 得

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ?( x ? )( x ? )?0 ? 3 3 ?x ? a ?
·7·

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a?(
1)

2 6 , ) 2 2 时, x ? (a, ??)

a ? [?
2)

a ? 3 ? 2a 2 2 2 x ?[ , ??) , ] 3 2 2 时, a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 x ? ( a, ]?[ , ??) ,? ] 3 3 2 2 时,
(2)证明略

a ? (?
3)

18. (1)?a ? ?8 .

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1) g ( x) ? F 1, log 2 ( x ? ax ? bx ? 1) ? x ? ax ? bx ? 1 .
3 2 3 2
3 2 由 log 2 ( x ? ax ? bx ? 1) ? 0 ,得 x ? ax ? bx ? 0 .

?

?

3

2

2 ? 由 g ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? ?8 ,得 b ? ?3x ? 2ax ? 8 . ,进而根据方程在区间上有解得到结论。

2

(2) F ( x, y) ? F ( y, x) ? (1 ? x) ? (1 ? y ) ? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y)
y x

?

ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ln(1 ? x) ? ? x, y ? N*, x ? y ? h( x ) ? x y x ,利用第一问的结论得到 ,求导数,得

到单调性,和最值。 19.解: (1)函数 f (x) 的单调递增区间为(1,+ ? ) 。 (2) a ? 1 ? e 【解析】本试题主要是是考查了运用导数研究函数的单调性和函数的最值的运用。 (1)若 a ? ?1时, f ( x) ? x ?
/

1 ( x ? 0) , x

x2 ?1 ? 0 ,又 x ? 0 ,解得 x ? 1, 由 f ( x) ? 0 得 x
/

得到单调增区间。 (2)依题意得 f ( x) ? ln x ? 0 ,即 ∴ (a ? 1) ln x ? ?

1 2 x ? a ln x ? ln x ? 0( x ? 1) , 2

1 2 x 2

1 2 x ∵ x ? 1,∴ ln x ? 0 所以 a ? 1 ? ( 2 ) max ,构造函数求解最值得到结论。 ln x ?
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20. (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ; , k? ? ], (k ? Z ) ; 3 6

(3) f ( x) 的增区间是 [k? ? (4) {x | 2k? ? x ? 2k? ? (5) f ( x) 的值域为[-1,2]

?

?

2? , k ? Z} ; 3


【解析】本试题主要是考查三角函数的图像与性质的综合运用。 (! )由图象可得: A ? 2 , T ? 2(

2? ? 2? ,?? ? 2 求解解析式。 ? ) ?? ? 3 6 ?

(2)根据函数的性质求解对称中心。 (3)由

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

(5)由

f ( x) ? 1得 sin( x ?

?
6

)?

1 2 ,结合图像求解析式。

(5)根据定义域求解值域。 解: (1)由图象可得: A ? 2 ,———————————1 分

T ? 2(

?
又 2

2? ? 2? ,?? ? 2 —————————————3 分 ? ) ?? ? 3 6 ?

??

?

?

?
6

,?? ?

?
6

————————————————————5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (3)由

?
6

) ———————————————————6 分

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 得 —————————8 分

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z —————————————————9 分

所以 f ( x) 的增区间是 [k? ?

?

, k? ? ], (k ? Z ) ———————————10 分 3 6

?

(4)由

f ( x) ? 1得 sin( x ?

?
6
6

)?

1 2 ,????????10 分
5? , k ? Z, 6

所以, 2k? ?

?
6

? x?

?

? 2l? ?

解得: 2k? ? x ? 2k? ?

2? ,k ? Z 3

所以, f ( x) ? 0成立的x 的取值集合 {x | 2k? ? x ? 2k? ?
·9·

2? , k ? Z } ??12 分 3

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? ? 7? , ],      2 x ? ? [ , ] ? 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6
(5)? x ? [ 即x?

? ?

?

2

时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

·10·


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