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8上14.7《一次函数的解析式》课案(教师用)


课案(教师用)

一次函数的解析式
(新授课)邵志华 城南中学 【理论支持】 根据维果茨基的主张,教育应当定于儿童现有心智发展状态的“最近发展区” .凭借已 有的心智发展,新的发展才有可能产生,但它是尚未实现的心智功能.可以说,处于未完成 阶段并呈蓄势待发状态的心智功能, 最容易受到教育的影响. 因此它是能最有效的施加教育 影响的发展区.因此教学应根据学生的“最近发展区”去组织教材. 再根据赫尔巴特的“诱发学习兴趣原理”他说,与旧有知识相关的新事物会引起我们的 注意.而我们全然未知的事物是不会引起我们的注意的.但是,尽管熟知的事物会引起我们 的注意,但其注意不会持久的.可以引起我们最大的兴趣的事物是知与未知的混合物. 唤起学习兴趣的主要方法:1.在新教材的教学中,使学生回忆并注意可以诱发的解决 一连串的疑问的旧有经验.2.赋予学生特定的实际生活.3.借助教师巧妙的讲述或是视听 教具(相片、幻灯片、绘画、图表)使学生产生间接的经验.4.把新认知的课题的解决与 学生生活形成一定的态度结合起来.5.与过去的学习经验的认知兴趣相结合. “一次函数的解析式”这一章对八年级学生来说是再认识函数的另一种形式.也可以 把代数问题转化为几何问题, 它是解决数学问题的一个重要工具, 利用它可以使很多数学问 题变得直观而简明. 本节主要是由两个点的坐标确定函数解析式.通过例题以解析式、图象、等不同形式讨 论函数解析式的求法及一次函数的应用, 其中又涉及了求函数图象与坐标轴围成的三角形面 积,初步反应了以一次函数为数学模型解决实际问题的过程.这种表示方法的产生,将数量 关系直观化、形象化,提供了用数形结合研究问题的重要方法,这在数学发展中具有重要地 位. 在教学过程中, 不能仅仅着眼于具体题目的解题过程, 而应不断加深对相关数学思想方 法的领会, 从整体上认识问题的本质. 以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的 载体来体现的,而对于它们的认识需要一个较长的过程,既需要教材的渗透,也需要教师的 点拨,最后还需要学生自身的感受和理解. 结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解, 并逐步加以灵活运用, 发挥从数 和形两个方面共同分析解决问题的优势. 教学过程中, 在函数解析式与图象的结合方面应有 细致的安排设计,注意两者的互补作用,体现两者的联系,突出两者间的转化对分析解决问 题的特殊作用.学习了本章之后,不仅要知道有关函数的图象,更要体验图象的作用和数形 结合的方法. 通过本节课的研究, 旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系, 经历知识的形成过 程,培养学生的应用意识.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的 机会, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能. 数 学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,体验到数和形结合重要思想.是有效地描述现实 世界的重要手段与解决实际问题的重要工具. 【教学目标】

知识技能 数学思考

1.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数. 2.能由两个条件求出一次函数的表达式,并解决有关现实问题. 能根据函数的图象确定一次函数的表达式,培养学生的数形结合能力.
1

解决问题

1.由两个点的坐标确定函数解析式. 2.通过例题以解析式、图象、等不同形式讨论函数解析式的求法及一次 函数的应用. 1.能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际. 2.让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

情感态度

【教学重难点】 重点:根据所给信息确定一次函数的解析式 难点:灵活运用有关知识解决相关问题 【课时安排】 一课时 【教学设计】 课前延伸 一、复习 1.一次函数的图象所在象限由哪些值的符号决定?有几种情况? 2.点与函数图象有何关系? 3.画一次函数图象可以用两点法作图,通常选哪两点? 〖答案〗 1.由 k 和 b 的正负性决定,当 k>0,b>0 时,图象经过一,二,三象限;当 k>0,b<0 时,图象经过一,三,四象限;当 k<0,b>0 时,图象经过一,二,四象限;当 k<0,b<0 时,图象经过二,三,四象限. 2.在一次函数上的任意一点 P(x,y) ,都满足等式:y=kx+b(k≠0) 3.通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点. 〖设计说明〗 通过这一题组让学生为利用点的坐标求函数解析式作铺垫. 这也根据诱发 兴趣原理中. 在新教材的教学中, 使学生回忆并注意可以诱发的解决一连串的疑问的旧有经 验.为掌握新知打下基础. 二、预习思考题及答案 已知正比例函数的图象过点(3,4) ,求这个正比例函数的解析式. 〖答案〗y=

4 x 3

〖设计说明〗根据这一题组训练,引导学生说出确定函数解析式,关健在于求出 k、b 的值.当题目中只有一个未知数时,只需一点的坐标.有两个未知数时,需两个点的坐标组 成二元一次方程组.这为学生解决探索新知打下伏笔. 课内探究 一、导入新课: 一次函数关系式 y=kx+b(k≠0),如果知道了 k 与 b 的值,函数解析式就确定了,那么 有怎样的条件才能求出 k 和 b 呢? 问题 1 已知一个一次函数当自变量 x=-2 时,函数值 y=-1,当 x=3 时,y=-3.能否 写出这个一次函数的解析式呢? 思考:同学们可以互相议论一下. 〖答案〗根据一次函数的定义,可以设这个一次函数为:y=kx+b(k≠0),问题就归结 为如何求出 k 与 b 的值. 由已知条件 x=-2 时,y=-1,得 -1=-2k+b. 由已知条件 x=3 时,y=-3, 得 -3=3k+b.
2

两个条件都要满足,即解关于 x 的二元一次方程

? ? 1 ? ?2 k ? b , ? ?? 3 ? 3k ? b.

2 ? ?k ? ? 5 ? ? ?b ? ? 9 ? 5 解得 ?

2 9 y ?? x? 所以,一次函数解析式为 5 5
〖设计说明〗创设情境,让学生从生活中发现数学问题,同时也让学生感悟一次函数在 生活中无处不在. 激发学生的求知欲, 通过对数学问题的讨论使学生用函数的观点从新认识 生活两个变量的关系.这也是诱发兴趣原理所在. 二、探索新知 问题 2 已知弹簧的长度 y 厘米) ( 在一定的限度内是所挂物质量 x 千克) ( 的一次函数. 现 已测得不挂重物时弹簧的长度是 6 厘米,挂 4 千克质量的重物时,弹簧的长度是 7.2 厘米, 求这个一次函数的关系式. 考虑: 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度 6 厘米和挂 4 千克质量的重物时, 弹簧的长 度 7.2 厘米,与一次函数关系式中的两个 x、y 有什么关系? 〖答案〗上题可作如下分析: 已知 y 是 x 的函数关系式是一次函数,则关系式必是 y=kx+b 的形式,所以要求的就 是系数 k 和 b 的值.而两个已知条件就是 x 和 y 的两组对应值,也就是当 x=0 时,y=6; 当 x=4 时,y=7.2.可以分别将它们代入函数式,转化为求 k 与 b 的二元一次方程组,进 而求得 k 与 b 的值. 解 设所求函数的关系式是 y=kx+b(k≠0),由题意,得

?6 ? b, ? ?7.2 ? 4k ? b.
解这个方程组,得

?k ? 0.3, ? ?b ? 6.
所以所求函数的关系式是 y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围) 〖设计说明〗1.本题中把两对函数值代入解析式后,求解 k 和 b 的过程,转化为关于 k 和 b 的二元一次方程组的问题.2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一 定的范围. 问题 3 若一次函数 y=mx-(m-2)过点(0,3),求 m 的值. 分析考虑到直线 y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中 没有直接给出 x 和 y 的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值, 它的横坐标 x 表示自变量的某一个值,纵坐标 y 表示与它对应的函数值.所以此题转化为已 知 x=0 时,y=3,求 m.即求关于 m 的一元一次方程. 解 当 x=0 时,y=3.即:3=-(m-2).解得 m=-1. 这种先设待求函数关系式 (其中含有未知的常数系数) 再根据条件列出方程或方程组, , 求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法 2.揭示课题,整理概念,板书 P11.2、3 一次函数的解析式

3

(1)求一次函数解析式的步骤: ①根据题意设函数解析式 ②找出符合条件的两个点,代入函数解析式,组成二元一次方程组. ③解方程组,求出 k、b 的值 ④写出函数表达式 (2)确定函数表达式,关健在求出 k、b 的值 ①两直线平行或两直线无交点时,k 值相等. ②两直线交于 y 轴上一点,说明的 b 值相等. ③直线与坐标轴围成的三角形面积需求出直线与坐标轴的交点及两直线交点的坐标. 三、查预习情况:明确检查方法 学生口答后论证. 四、布置学生自学: 1.学生自主探究题: 题 1.已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(3,5)和点(-4,-9),求当 x=5 时,函数 y 的值. 分析 1.图象经过点(3,5)和点(-4,-9),即已知当 x=3 时,y=5;x=-4 时,y=-9.代 入函数解析式中,求出 k 与 b. 2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求 x=5 时,函数 y 的值,仍需从 求函数解析式着手. 〖参考答案〗解 由题意,得 ?

?3k ? b ? 5 ?? 4k ? b ? ?9

解这个方程组,得 ?

?k ? 2 ?b ? ?1

这个函数解析式为 y=2x-1 当 x=5 时,y=2×5-1=9. 题 2.已知一次函数的图象如右图,写出它的关系式. y

2 -3

x

分析 从“形” 看,图象经过 x 轴上横坐标为 2 的点,y 轴上纵坐标是-3 的点.从“数” 看,坐标(2,0),(0,-3)满足解析式. 〖参考答案〗解 设:所求的一次函数的解析式为 y=kx+b(k≠0). 直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得

?0 ? 2k ? b, ? ?? 3 ? b.

解得

3 ? ?k ? , 2 ? ?b ? ?3. ?

所以所求的一次函数的关系式是 y ?

3 x ? 2. 2
4

〖设计说明〗 根据把新认知的课题的解决与学生生活形成一定的态度结合起来, 结合这 一诱发兴趣方法, 会利用反比例函数的隐含条件求待定字母的值, 初步利用待定系数法求函 数关系式. 2.小组合作探究题: 题 3.若直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,且与 y 轴交点的纵坐标为-2;求直线的表达 式. 分析 直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,可求出 k 的值,与 y 轴交点的纵坐标为-2,可 求出 b 的值. 〖参考答案〗解 因为直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,所以 k=-1,又因为直线与 y 轴交点的纵坐标为-2,所以 b=-2,因此所求的直线的表达式为 y=-x-2. 〖设计说明〗 赋予学生特定的实际生活, 让学生在新知的同时, 利用新知实际生活问题, 利用反比例函数模型解决生活问题. 用待定系数法解题, 用待定系数法解题时本课的重点和 难点,需重点强化训练. 五、教师精讲点拨: 本节课,我们讨论了一次函数解析式的求法.求一次函数的解析式往往用待定系数法, 即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)中两个待定系数 k 和 b 的 值; 六、课堂反馈训练: 1.根据下列条件写出相应的函数关系式. (1)直线 y=kx+5 经过点(-2,-1); (2)一次函数中,当 x=1 时,y=3;当 x=-1 时,y=7. 2.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点(-2,3). 3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图.试说明收费方法,并写出行李费 y (元)与行李重量 x(千克)之间的函数关系.

4.陈华暑假去某地旅游,导游要大家上山时多带一件衣服,并介绍当地山区海拔每增 加 100 米,气温下降 0.6℃.陈华在山脚下看了一下随带的温度计,气温为 34℃,乘缆车 到山顶发现温度为 32.2℃.求山高. 〖设计说明〗 当堂训练, 当堂反馈的这一环节的实施不但使学生对所学的新知识得到及 时巩固和提升, 同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清, 这就让学生在学习新知 识的第一时间得到最清晰的认识,这正是高效的价值所在. 课后提升 一、课后练习题及答案: 1.已知函数 y=(m2-m)x m -m+3 是一次函数,其解析式为 2.将函数 y=2x+3 向上平移三个单位,其解析式为 将函数 y=2x+3 向下平移五个单位,其解析式为 3.写两个一次函数使其图像经过点(-2,3).为 . . .
2



5

4.已知函数 y=kx+b 的图像经过点 A(4,3)和点 B(2,m) ,且与一次函数 y=x+1 的 图像平行,求一次函数的表达式及 m 的值.

5.已知一次函数 y=kx+b,图像经过点 A(2,4),B(0,2)两点,且与 x 轴交于点 C. (1)求这个函数的解析式. (2)求三角形 AOC 的面积

思考:将函数 y=2x+3 向左平移一个单位, 其解析式为 将函数 y=2x+3 向右平移两个单位, 其解析式为

. .

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