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安徽省合肥市庐江县2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科) (解析版)


安徽省合肥市庐江县 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,满分 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. (2015 春?庐江县期末)已知某组数据采用了四种不同的回归方程进行回归分析,则回归效果最 2 好的相关指数 R 的值是( ) A. 0.97 B.0.83 C. 0.32 D. 0.17 考点:相关系数. 专题:概率与统计. 2 分析:两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R ,越接近于 1,这个模型的拟合效果越好, 在所给的四个选项中 0.97 是相关指数最大的值,得到结果. 解答: 解:两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R ,越接近于 1, 这个模型的拟合效果越好, 在所给的四个选项中 0.97 是相关指数最大的值, ∴拟合效果最好的模型是模型 A. 故选:A 点评:本题考查相关指数,这里不用求相关指数,而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果, 这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好 2. (2015 春?庐江县期末)设集合 A={1,2,3},B={2,3,4},C?A∩B,则集合 C 可能是( ) A. {1,2} B.{1,3} C. {2,3} D. {2,4} 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析:根据已知,求出 A∩B={2,3},若 C?A∩B,则 1?C,且 4?C,比照四个答案,可得结论. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3},B={2,3,4}, ∴A∩B={2,3}, 若 C?A∩B, 则 1?C,且 4?C, 比照四个答案,可得只有 C 答案满足要求, 故选:C 点评:本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合的交集运算,难度不大,属于基础题.
2

3. (2015 春?庐江县期末)复数 A. + i

的共轭复数等于( B. ﹣ i

) C. + i D. ﹣ i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据查复数代数形式的乘除运算化简 ,再由共轭复数求出答案即可.

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解答: 解:由题意知, ∴复数 的共轭复数是:

= ,

=

=



故选:D. 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,以及共轭复数的定义,考查化简、计算能力.

4. (2015 春?庐江县期末)已知向量 , 满足 ⊥ ,| |=2,| |=1,则| ﹣ |=( A. 3 B. C. 5 D.



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由 ⊥ ,可得 ? =0,再利用数量积运算性质即可得出. 解答: 解:∵ ⊥ ,∴ ? =0, 又| |=2,| |=1, 则| ﹣ |= = = .

故选:D. 点评:本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质,属于基础题. 5. (2015 春?庐江县期末)已知 f(x+1)=lgx,则函数 f(2x﹣1)的定义域为( ) A. (﹣1,+∞) B.(0,+∞) C. (1,+∞) D. (2,+∞) 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:通过换元求出 f(x)的表达式,结合对数函数的性质得到不等式 2x﹣1﹣1>0,解出即可. 解答: 解:令 x+1=t,则 x=t﹣1, ∴f(t)=lg(t﹣1) , (t>1) , ∴f(x)=lg(x﹣1) , ∴2x﹣1﹣1>0,解得:x>1, 故选:C. 点评:本题考查了函数的定义域问题,考查求函数的解析式问题,考查对数函数的性质,是一道基 础题. 6. (2015 春?庐江县期末)已知数列{an}满足 an+2﹣an=2,a1=1,a2=2,则{an}的前 20 项和为( A. 120 B. 210 C. 400 D. 440 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列.
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分析:利用所求值即为以 3 为首项、4 为公差的等差数列{a2n﹣1+a2n}的前 10 项和,计算即得即可. 解答: 解:∵an+2﹣an=2,a1=1,a2=2, ∴奇数项构成以 1 为首项、2 为公差的等差数列, 偶数项构成以 2 为首项、2 为公差的等差数列, ∴所求值即为以 3 为首项、4 为公差的等差数列{a2n﹣1+a2n}的前 10 项和, ∴所求值为 3×10+ ×4=210,

故选:B. 点评:本题考查求数列的和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 7. (2015 春?庐江县期末) 已知直线 y=2x+1 与圆 x +y +mx=0 没有公共点, 则 m 的取值范围是 ( ) A. (4﹣2 ,4+2 ) B. (4﹣2 , 0) ∪ (0, 4+2 ) C. (﹣4﹣2 ,﹣4+2 ) D. (﹣4﹣2 , 0) ∪(0,﹣4+2 ) 考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离,则根据圆心到直线的距离大于半 径列出关于 m 的不等式,解不等式即可得到 m 的范围. 解答: 解:把圆 x +y +mx=0 化为标准方程为(x+ ) +y = 由直线与圆没有公共点得到:圆心到直线 y=2x+1 的距离 d=
2 2 2 2 2 2

,所以圆心(﹣ ,0) ,半径 r=| |, >r=| |,

∴m 的范围是(﹣4﹣2 ,0)∪(0,﹣4+2 ) . 故选:D. 点评:此题考查学生掌握直线与圆相离时所满足的条件,灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 会把绝对值不等式转化为一般的二次不等式进行求解 8. (2015 春?庐江县期末)若函数 y=cos(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图,则 ω=( )

A.

2

B.

4

C.

3

D. 6

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用函数 y=Acos(ωx+φ)的周期为 解答: 解:由函数的图象可得函数的周期为 故选:C. 点评:本题主要考查余弦函数的周期性,利用了函数 y=Acos(ωx+φ)的周期为
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=

,可得 ω 的值. )﹣x0]= ,求得 ω=3,

=2[(x0+

,属于基础题.

9. (2015 春?庐江县期末)若四面体 ABCD 的棱长都相等,则 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值等于 ( ) A. B. C. D.

考点:直线与平面所成的角. 专题:空间角. 分析:在四面体 ABCD 中,过 A 作 AH⊥平面 BCD 于点 H,则 H 为底面正三角形 BCD 的重心,连 接 BH,则∠ABH=α,就是 AB 在平面 BCD 所成角,解直角三角形 ABH 即可. 解答: 解:如图:在等边三角形 BCD 中,BM 为 CD 边上的高,再在四面体 ABCD 中,过 A 作 AH⊥平面 BCD 于点 H,则 H 为底面正三角形 BCD 的重心,则∠ABH=α,就是 AB 在平面 BCD 所 成角, 设棱长为 a,由 BM 为 CD 边上的高, 则 BM= =a ,在 Rt△ ABH 中,则 BH= BM ,

∴cosα= 故选:D.



点评:本题考查了直线与平面所成的角,关键是找到斜线在平面内的射影,把空间角转化为平面角 求解. 请从下面两题中选做一题 10. (2015 春?庐江县期末)数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第 50 项是( A. 8 B. 9 C. 10 D. 11



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考点:数列的概念及简单表示法. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由题意,1+2+…+n= 解答: 解:由题意,1+2+…+n= 当 n=9 时, =45,当 n=10 时, ,n 取 9,10 验证,即可得出结论. , =55,

∴数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第 50 项是 10. 故选:C. 点评:本题考查数列的概念及简单表示法,比较基础.

11. (2015 春?庐江县期末) 数列 1, , A. B. C.

中第 50 个数是 ( D.



考点:归纳推理;数列的概念及简单表示法. 专题:计算题;探究型. 分析:根据题意,将所给的数列分组,总结所给数列的特点,进一步分析可得第 50 个数应该在第 10 组,且应该是这一组的第 5 个数,由所总结的规律表示第 50 个数,即可得答案. 解答: 解:根据题意,将数列分组, 第一组为第一项,有 1 个数,其特点是分子为 1,分母为 1,分子分母的和是 2; 第二组为第二、三项,有 2 个数,其特点是分子依次为 1、2,分母依次为 2、1,分子分母的和是 3; 第三组为第四、五、六项,有 3 个数,其特点是分子依次为 1、2、3,分母依次为 3、2、1,分子分 母的和是 4; … 前 9 组有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 个数 第 50 个数应该在第 10 组,且应该是这一组的第 5 个数, 第 10 组的变化规律是:各项的分子依次是 1、2、3、…,分母依次是 10、9、8、…,分子分母之和 为 11, 则其第 5 个数为 ; 故选:D. 点评:本题考查数列的表示,解题的关键在于将所给的数列分组,从而发现数列变化的规律. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) 12. (2015 春?庐江县期末)安徽省 2015 年高考文科考试科目有语文、数学、英语和文综,文综是 指政治、历史、地理等三科合在一张卷子上,请你将图补充完整.

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考点:结构图. 专题:作图题;算法和程序框图. 分析:根据知识结构图是用图形直观地表示出知识之间的关联,由此画出题中的结构图即可. 解答: 解:根据题意,文科考试科目包括语文、数学、英语和文综; 文综包括政治、历史、地理三科; 由此将结构图补充完整,如图所示.

点评:本题考查了知识结构图的应用问题,是基础题目.

13. (2015 春?庐江县期末) 若 x, y 满足约束条件

, 目标函数 z=2x﹣y 的最大值等于 4 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 A(2,0)时,直线 y=2x﹣z 的截距最小,此时 z 最大. 代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×2=4.即 z=2x﹣y 的最大值为 4. 故答案为:4

点评:本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决 此类问题的基本方法.

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14. (2015 春?庐江县期末) 若三角形内切圆半径为 r, 三边长为 a, b, c, 则三角形的面积 S= (a+b+c) r,利用类比思想:若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4,则四面体的体积 V= R(S1+S2+S3+S4) .

考点:类比推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由内切圆 类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体 积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 故答案为: R(S1+S2+S3+S4) . 点评:类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类 数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测 另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) . 15. (2015 春?庐江县期末)程序框图如图所示,若输入 m,n 的值分别为 30,18,则程序框图中最 后输出的 m 值等于 6 .

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的结果,当 r=0,m=6,n=0 时满足条件 r=0,退 出循环,输出 m 的值为 6. 解答: 解:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的结果如下: m=30,n=18,r=12 m=18,n=12,不满足条件 r=0,r=6 m=12,n=6,不满足条件 r=0,r=0 m=6,n=0,满足条件 r=0,退出循环,输出 m 的值为 6,结束. 故答案为:6. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的结果是解题的关键,属 于基础题. 请从下面两题中选做一题
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16. (2015 春?庐江县期末)已知 f(x)=x +2,g(x)=sinx,则下列函数中既不是奇函数又不是偶 函数的函数是 ①② (填写所有正确结论对应的序号) ①f(x)+g(x) ; ②f(x)﹣g(x) ; ③f(x)?g(x) ; ④f(g(x) ) ; ⑤g(f(x) ) . 考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义分别进判断即可. 2 解答: 解:f(﹣x)=x +2=f(x) ,则 f(x)为偶函数, g(﹣x)=﹣sinx=﹣g(x) ,则 g(x)为奇函数, 则①f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x) ,则函数为非奇非偶函数; ②f(﹣x)﹣g(﹣x)=f(x)+g(x) ,则函数为非奇非偶函数; ③f(﹣x)?g(﹣x)=﹣f(x)g(x) ,则函数为奇函数; ④f(g(﹣x) )=f(﹣g(x) )=f(g(x) ) ,则函数为偶函数; ⑤g(f(﹣x) )=g(f(x) )=g(f(x) ) ,则函数为偶函数. 故答案为:①②; 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据奇偶性的定义是解决本题的关键.

2

17. (2015 春?庐江县期末) 已知 ( f x) = (填写所有正确结论对应的序号) ①f(x)+g(x) ; ②f(x)﹣g(x) ; ③f(x)?g(x) ; ④f(g(x) ) ; ⑤g(f(x) ) . 考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义分别进判断即可. 解答: 解:f(﹣x)= =﹣

, g (x) =sinx, 则下列函数中奇函数是 ①②④⑤

=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,

g(﹣x)=﹣sinx=﹣g(x) ,则 g(x)为奇函数, 则①f(﹣x)+g(﹣x)=﹣[f(x)+g(x)],则函数为奇函数; ②f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣[f(x)﹣g(x)],则函数为奇函数; ③f(﹣x)?g(﹣x)=f(x)g(x) ,则函数为偶函数; ④f(g(﹣x) )=f(﹣g(x) )=﹣f(g(x) ) ,则函数为奇函数; ⑤g(f(﹣x) )=g(﹣f(x) )=﹣g(f(x) ) ,则函数为奇函数. 故答案为:①②④⑤.
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点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据奇偶性的定义是解决本题的关键. 五、解答题(本大题共 5 小题,满分 63 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (2015 春?庐江县期末)在复平面内,O 是坐标原点,向量 ﹣12)i. (Ⅰ)当实数 m 取什么值时,点 A 在虚轴上; (Ⅱ)当实数 m 取什么值时,点 A 位于第四象限. 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (Ⅰ)利用点 A 在虚轴上得到向量 对应的复数是纯虚数,得知实部为 0,虚部不为 0; 对应的复数是 m ﹣8m+15+(m +m
2 2

(Ⅱ)点 A 位于第四象限,复数对应的点横坐标大于 0,纵坐标小于 0,解不等式. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)点 A 在在虚轴上,m ﹣8m+15+(m +m﹣12)i 为纯虚数,所以 m ﹣8m+15=0 2 且 m +m﹣12≠0,解得 m=5; .…. (6 分) 2 2 (Ⅱ)点 A 位于第四象限,所以 m ﹣8m+15>0 且 m +m﹣12<0,解得﹣4<m<3.…. 点评:本题考查了复数的表示以及几何意义;属于基础题. 19. (2015 春?庐江县期末)为调查某地区高三学生是否需要心理疏导,用简单随机抽样方法从该校 调查了 500 位高三学生,结果如下:

男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (Ⅰ)估计该地区高三学生中,需要心理疏导的高三学生的百分比; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区高三学生是否需要心理疏导与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的抽样方法来调查估计该地区高三学生中,需要提供心理 疏导的高三学生的比例?请说明理由. 附:k = P(K ≥k0) k0
2 2

, 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ) 由列联表可知调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助, 两个数据 求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值. (Ⅱ)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果,把观测值的结果 与临界值进行比较,看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
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(Ⅲ)从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异,调查时,可以先确定该地区老年人中男、 女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 解答: 解: (Ⅰ)∵调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助, ∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为 =14%.

(Ⅱ)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式, k=
2

≈9.967.

∵9.967>6.635, ∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区 男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、 女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 点评:本题主要考查统计学知识,考查独立性检验的思想,考查利用数学知识研究实际问题的能力 以及相应的运算能力. 20. (2015 春?庐江县期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn+1=2Sn+2n+1(n∈N ) ,且 a1=1. (Ⅰ)求证{an+2}是等比数列; (Ⅱ)求 Sn. 考点:等比关系的确定;等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 an+1=Sn+1﹣Sn 可知
n﹣1 *

=2(n≥2) ,进而可得结论;

(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知 an=3?2 ﹣2,进而计算即得结论. * 解答: (Ⅰ)证明:当 n≥2 时,∵Sn+1=2Sn+2n+1(n∈N ) , ∴an+1=Sn+1﹣Sn=(2Sn+2n+1)﹣(2Sn﹣1+2n﹣1)=2an+2, ∴an+1+2=2(an+1) , 即 =2(n≥2) ,

∵a1=1, ∴a1+a2=2a1+3, ∴a2=a1+3=4, ∴a1+2=3,a2+2=6, ∴ = =2,

∴数列{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列; n﹣1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 an+2=3?2 , n﹣1 ∴an=3?2 ﹣2, 2 n﹣1 ∴Sn=3(1+2+2 +…+2 )﹣2n
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=
n

﹣2n

=3?2 ﹣2n﹣3. 点评:本题考查等比数列的判定、数列的前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属 于中档题. 21. (2015 春?庐江县期末)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,已知 A= a=2. (Ⅰ)求△ ABC 面积 S 的最大值; (Ⅱ)求 sinB+cosB 的取值范围. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理列出关系式,把 cosA 与 a 的值代入并利用基本不等式求出 bc 的最大 值,即可确定出△ ABC 面积 S 的最大值; (Ⅱ)原式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可确定 出范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵在△ ABC 中,A=
2 2 2



,a=2,
2 2

∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,得 4=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc=bc,即 bc≤4, ∴S= bcsinA= 则 S 的最大值为 (Ⅱ)sinB+cosB= ∵A= bc≤ ; sin(B+ ) , ,

,A+B+C=π, ,即 <sin(B+ <sin(B+ <sinB+cosB≤ <B+ < , ,

∴0<B< ∴sin ∴ 则

)≤sin )≤1, .

点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公 式是解本题的关键. 22. (13 分) (2015 春?庐江县期末) 如图, 四棱锥 S﹣ABCD 中, △ ABD 是正三角形, CB=CD, SC⊥BD. (Ⅰ)求证:SB=SD; (Ⅱ)若∠BCD=120°,M 为棱 SA 的中点,求证:DM∥平面 SBC.

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考点:直线与平面平行的判定;棱锥的结构特征. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可; (Ⅱ)由线线平行面面平行从而推出线面平行即可. 解答: 证明:如图示: (Ⅰ)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC=CD 知,CO⊥BD, 又已知 SC⊥BD,SC⊥CO=C,所以 BD⊥平面 SOC, 所以 BD⊥SO,即 SO 是 BD 的垂直平分线,所以 SB=SD, (Ⅱ)取 AB 中点 N,连接 DM,MN,DN, ∵M 是 SA 的中点,∴MN∥BE, ∵△ABD 是正三解形,∴DN⊥AB, ∵∠BCD=120°得∠CBD=30°,∴∠ABC=90°,即 BC⊥AB, 所以 ND∥BC,所以平面 MND∥平面 BSC, 故 DM∥平面 SBC.

点评:本题考查了线面、面面、线线平行的判定定理,考查看图能力,是一道中档题. 请从下面两题中选做一题 2 2 2 2 23. (2015 春?庐江县期末)已知由 y=x +4ax﹣4a+3,y=x +(a﹣1)x+a ,y=x +2ax﹣2a 确定的三 条抛物线中至少有一条与 x 轴有交点,求实数 a 的取值范围. 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 2 2 2 2 分析:假设三条抛物线都不与 x 轴有交点,则 y=x +4ax﹣4a+3,y=x +(a﹣1)x+a ,y=x +2ax﹣2a 的判别式均小于 0,进而求出相应的实数 a 的取值范围,进而根据这与已知相对立,得到答案. 解答: 解:假设三条抛物线都不与 x 轴有交点,…..(3 分) 2 2 2 2 设 y=x +4ax﹣4a+3,y=x +(a﹣1)x+a ,y=x +2ax﹣2a 的判别式分别为:△ 1,△ 2,△ 3,



.…. (8 分)

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解得:
2

,…(10 分)
2 2 2

又由 y=x +4ax﹣4a+3,y=x +(a﹣1)x+a ,y=x +2ax﹣2a 确定的三条抛物线中至少有一条与 x 轴有 交点, 则 …..

点评:本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键, 难度不大,属于基础题. 24. (2015 春?庐江县期末)已知 a,b,c 是互不相等的实数,求证:由 y=ax +2bx+c,y=bx +2cx+a, 2 y=cx +2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点. 考点:反证法的应用. 专题:证明题. 分析:本题是一个至少性问题,可以利用反证法证明,其步骤为:①否定命题的结论,即假设“任 何一条抛物线与 x 轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的 △ ≤0 均成立→③利用不等式的性质,同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故 假设不成立,原结论成立. 解答: 解:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 有两个不同的交点 (即任何一条抛物线与 x 轴没有两个不同的交点) , 2 2 2 2 由 y=ax +2bx+c,y=bx +2cx+a,y=cx +2ax+b 得△ 1=(2b) ﹣4ac≤0, 2 △ 2=(2c) ﹣4ab≤0, 2 △ 3=(2a) ﹣4bc≤0. 同向不等式求和得, 2 2 2 4b +4c +4a ﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0, 2 2 2 ∴2a +2b +2c ﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0, 2 2 2 ∴(a﹣b) +(b﹣c) +(c﹣a) ≤0, ∴a=b=c,这与题设 a,b,c 互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 点评:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.反证法关 键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公理、 定理矛盾,④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的 一件有力武器.
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