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2015-2016学年江苏省泰州市高一第二学期期末考试数学试题


2015~2016 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人: 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效.

1 ? sh ,其中 s 为棱锥的底面积, h 为高. 3 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知 A(1,1) , B(2, 2) ,则直线 AB 的斜率为 .
参考公式:棱锥的体积公式: V
棱锥

2.在公差为 2 的等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? 1 ,则 a5 的值是 3.若 ?ABC 满足: A ? 60? , C ? 75? , BC ? 3 ,则边 AC 的长度为 4.已知 ? ? ? ?

. .

π ,且 tan ? ? 2 ,则 tan ? 的值是 4



5.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 3 cm , BC ? 4 cm , CA ? 5 cm , AA1 ? 6 cm , 则四棱锥 A1 ? B1 BCC1 的体积为
cm 3 .

6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 和直线 (2a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 互 相垂直,则实数 a 的值是 . .

7.已知正实数 a , b 满足 a ? 2b ? 4 ,则 ab 的最大值是

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,3) ,B(4, 2) , 若直线 ax ? y ? 2a ? 0 与线段 AB 有公共点,则实数 a 的取值范围是 . .

9.已知实数 x, y 满足: ?1 ? x ? y ? 1 , ?1 ? x ? y ? 1 ,则 2 x ? y 的最小值是 10.如图,对于正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,给出下列四个结论: ①直线 AC // 平面 A1 B1C1 D1 ③直线 AC ? 平面 DD1 B1 B 其中正确结论的序号为 ②直线 AC1 // 直线 A1 B ④直线 AC1 ? 直线 BD .

11.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已

π b 知 sin(C ? ) ? ,则角 A 的值是 6 2a



12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,若过点 M (0,3) 的直线 与圆 C 交于 P, Q 两点(其中点 P 在第二象限) ,且 ?PMO ? 2?PQO ,则点 Q 的横坐标 为 .

13.已知各项均为正数的数列 {an } 满足 (2an?1 ? an )(an ?1an ? 1) ? 0 (n ? N ? ) ,且 a1 ? a20 ,则 a1 的最大值是 .

14.如图,边长为 a ? b ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的正方形被剖分为 9 个矩形, 这些矩形的面积如图所示,则 是 .
S3 2 S5 ? ? S2 ? S4 S6? S8 S7 的最小值 S ? S5 1

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? by ? 3b ? 0 . (1)若直线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行,求实数 b 的值; (2)若 b ? 1 , A(0,1) ,点 B 在直线 l 上,已知 AB 的中点在 x 轴上,求点 B 的坐标. 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ( a ? b ? c ) ,已知
2a cos C ? 2c cos A ? a ? c .

(1)若 3c ? 5a ,求

sin A 的值; sin B

(2)若 2c sin A ? 3a ? 0 ,且 c ? a ? 8 ,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC , PA ? PC , AB ? BC ,点 M , N 分别为 PC , AC 的中点. 求证: (1)直线 PA // 平面 BMN ; (2)平面 PBC ? 平面 BMN .

18. (本题满分 16 分) 如图, 某隧道的截面图由矩形 ABCD 和抛物线型拱顶 DEC 组成 ( E 为拱顶 DEC 的最高 点) ,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系 xOy ,已知拱

1 顶 DEC 的方程为 y ? ? x2 ? 6 (?4 ? x ? 4) . 4 (1)求 tan ?AEB 的值; (2)现欲在拱顶上某点 P 处安装一个交通信息采集装置,为了获得最佳采集效果,需要点 P 对隧道底 AB 的张角 ?APB 最大,求此时点 P 到 AB 的距离.

19. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 , 且圆 C 与 x 轴交于 M ,N 两 点,设直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) . (1)当直线 l 与圆 C 相切时,求直线 l 的方程; (2)已知直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点. (ⅰ)若 AB ?
2 17 ,求实数 k 的取值范围; 17

(ⅱ)直线 AM 与直线 BN 相交于点 P ,直线 AM ,直线 BN ,直线 OP 的斜率分别为 k1 ,

k 2 , k 3 , 是否存在常数 a ,使得 k1 ? k2 ? ak3 恒成立?若存在,求出 a 的值;若不存在,
说明理由.

20. (本题满分 16 分)
?S ? a 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,前 n 项和为 Sn .数列 ? n ? 是公差为 1 的等差数列. 2 ?n?

(1)求

a6 的值; a2

(2)数列 ?bn ? 满足: bn?1 ? (?1) pn bn ? 2an ,其中 n, p ? N* . (ⅰ)若 p ? a1 ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 4 k 项的和, k ? N* ; (ⅱ)当 p ? 2 时,对所有的正整数 n ,都有 bn ?1 ? bn ,证明: 2a1 ? 22a1 ?1 ? b1 ? 2a1 ?1 .

2015~2016 学年度第二学期期末考试 高一数学参考答案
一、填空题 1. 1 ; 6. 2. 7 ; 7. 2 ; 12. 1 ; 3. 2 ; 4. ?

1 ; 3

5. 24 ; 10. ①③④ ;

2 ; 3
π ; 6

8. (??, ?3] ? [1, ??) ; 9. ?2 ; 13. 512 ; 14. 2 .

11.

二、解答题
15. 解: (1)∵直线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行, ∴ 1 ? (?1) ? b ? 1 ? 0 , ∴ b ? ?1 ,经检验知,满足题意. (2)由题意可知: l : x ? y ? 3 ? 0 , 设 B( x0 , ? x0 ? 3) , 则 AB 的中点为 ( ………………7分

x0 ? x0 ? 2 , ), 2 2

………………10分

∵ AB 的中点在 x 轴上,∴ x0 ? ?2 , ∴ B(?2, ?1) . 16. 解: (1)∵ 2a cos C ? 2c cos A ? a ? c 由正弦定理: 2sin A cos C ? 2sin C cos A ? sin A ? sin C ∴ sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) ? 2sin( π ? B) ? 2sin B ∵ 3c ? 5a 由正弦定理: 3sin C ? 5sin A , ………………4分 ………………2分 ………………14分

8 ∴ 2sin B ? sin A ? sin C ? sin A , 3


sin A 3 ? . sin B 4
3 , 2

………………7 分

(2)由 2c sin A ? 3a ? 0 得: sin C ? ∵ C ? (0, π) ,∴ C ? 当C ?

π 2π 或C ? 3 3

π 时, 3

∵a ?b?c, ∴ A ? B ? C ,此时 A ? B ? C ? π ,舍去, ∴C ?

2? , 3

………………9 分

由(1)可知: a ? c ? 2b , 又∵ c ? a ? 8 , ∴ b ? a ? 4, c ? a ? 8 , ∴ (a ? 8)2 ? a2 ? (a ? 4)2 ? 2a ? (a ? 4)cos ∴ a ? 6 或 a ? ?4 (舍)
1 1 3 ? 15 3 所以 S ? ab sin C ? ? 6 ? 10 ? 2 2 2

2? , 3
………………12 分 ………………14 分

17.(1)证明:∵点 M , N 分别为 PC , AC 的中点, ∴ MN //PA , 又∵ PA ? 平面 BMN , MN ? 平面 BMN , ∴直线 PA // 平面 BMN . (2)证明:∵ AB ? BC ,点 N 为 AC 中点, ∴ BN ? AC , ∵平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , BN ? 平面 ABC , BN ? AC , ∴ BN ? 平面 PAC , ∵ PC ? 平面 PAC ,∴ PC ? BN , 由(1)可知: MN //PA , ∵ PA ? PC ,∴ PC ? MN , ∵ PC ? BN , PC ? MN , BN ? MN ? N , BN , MN 在平面 BMN 内, ∴ PC ? 平面 BMN , ∵ PC ? 平面 PAC ,∴平面 PBC ? 平面 BMN . 18. (1)解:由题意: E (0,6) , B(4,0) , ∴ tan ?BEO ? ………………12 分 ………………14 分 ………………9 分 ………………6 分 ………………2 分

BO 2 ? , EO 3
2?
………………5 分

2 3 ? 12 , ∴ tan ?AEB ? tan 2?BEO ? 2 2 5 1? ( ) 3
(2) (法 1)设 P( x0 , y0 ) , 2 ? y0 ? 6 ,

过 P 作 PH ? AB 于 H , 设 ?APH ? ? , ?BPH ? ? ,则 tan ? ? ∴ tan ?APB ? tan(? ? ? ) ?
x0 ? 4 4 ? x0 , tan ? ? , y0 y0

………………8 分

8 y0 8 y0 ? 2 ? 2 y0 ? 16 ? x0 y0 ? 4 y0 ? 8
2

8 8 ? ?2 2?2 8 ( y0 ? ) ? 4 4 2 ? 4 y0

………………12 分 ∵ 2 ? y0 ? 6 ,∴当且仅当 y0 ? 2 2 时 tan ?APB 最大,即 ?APB 最大. 答:位置 P 对隧道底 AB 的张角最大时 P 到 AB 的距离为 2 2 米. (法 2)设 P( x0 , y0 ) , 2 ? y0 ? 6 , ………………14 分

??? ? ??? ? 2 2 ∴ PA ? PB ? (?4 ? x0 , ? y0 ) ? (4 ? x0 , ? y0 ) ? x02 ? 16 ? y0 ? y0 ? 4 y0 ? 8 , ??? ? ???? ? y 2 ? 4 y0 ? 8 2 ∴ | PA | ?| PB | cos ?AFB ? y0 ? 4 y0 ? 8 ,∴ cos ?AFB ? 0??? ? ??? ? PA ? PB
∵ S?AFB ? ………………8 分

? ???? ? 8y 1 ??? 1 | PA | ?| PB | sin ?APB ? ? 8 ? y0 ,∴ sin ?APB ? ??? ? 0??? ? 2 2 PA ? PB
8 y0 sin ?APB 8 8 ? 2 ?? ? ?2 2?2 8 cos ?APB y0 ? 4 y0 ? 8 ( y0 ? ) ? 4 4 2 ? 4 y0

∴ tan ?APB ?

………12 分

∵ 2 ? y0 ? 6 ,∴当且仅当 y0 ? 2 2 时 tan ?APB 最大,即 ?APB 最大. 答:位置 P 对隧道底 AB 的张角最大时 P 到 AB 的距离为 2 2 米. 19. (1)解:由题意, k ? 0 , ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ………………14 分

4k 1? k2 4k 1? k2



………………2 分

∵直线 l 与圆 C 相切,∴ d ?

? 1,

∴k ?

15 , 15

∴直线 l : y ?

15 x. 15
2 17 , 17

………………4 分

(2)解:由题意得: 0 ? AB ? 2 1 ? d 2 ? ∴
4 17 ? d ?1, 17

………………6分

由(1)可知: d ?

4k 1? k2





4 17 4k ? ? 1, 17 1? k2
1 15 ?k? . 4 15



………………9分

(3)证明: l AM : y ? k1 ( x ? 3) ,与圆 C : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 联立, 得: ( x ? 3)[(1 ? k12 ) x ? (3k12 ? 5)] ? 0 , ∴ xM ? 3 , xA ?
3k12 ? 5 , 1 ? k12

∴ A(

3k12 ? 5 2k1 , ), 1 ? k12 1 ? k12 5k2 2 ? 3 ?2k2 , ), 1 ? k2 2 1 ? k2 2
………………12 分

同理可得: B ( ∵ kOA ? kOB ,

2k1 ?2k2 2 1 ? k1 1 ? k2 2 ∴ ,即 (1 ? k1k2 )(3k1 ? 5k2 ) ? 0 , ? 2 3k1 ? 5 5k2 2 ? 3 1 ? k12 1 ? k2 2
∵ k1k2 ? ?1 ,∴ k2 ? ? k1 , 设 P( x0 , y0 ) ,

3 5

………………14 分

? y0 ? k1 ( x0 ? 3) ∴? , ? y0 ? k2 ( x0 ? 5)

3k1 ? 5k2 ? ? x0 ? k ? k ? 1 2 ∴? , ? 2 k k 1 2 ? y ? 0 ? k1 ? k 2 ?

∴ P(

3k1 ? 5k2 ?2k1k2 15 3k , ) ,即 P( , 1 ) , k1 ? k2 k1 ? k2 4 4

3k1 1 ∴ k3 ? 4 ? k1 , 15 5 4

∴ k1 ? k2 ? k1 ? 2k3 ,

2 5

∴存在常数 a ? 2 ,使得 k1 ? k2 ? 2k3 恒成立.

………………16 分

20. (1)解:由题意, ∴ Sn ?

Sn S1 a n ?1 ? ? (n ? 1) ? 1 ? a1 , n 1 2 2

n(n ? 1) a1 , 2 n(n ? 1) n(n ? 1) a1 ? a1 ? na1 , 2 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? na1 , n ? N * , ∵ a1 ? 0 ∴
a6 6a1 ? ?3. a2 2a1

………………3 分

(2) (ⅰ)由题意: bn?1 ? (?1)n bn ? 2n , 当 k ? N* 时, b4k ?2 ? b4k ?3 ? 24k ?3 , b4k ?1 ? b4k ?2 ? 24k ?2 , b4k ? b4k ?1 ? 24k ?1 , ∴ b4k ?3 ? b4k ?1 ? 24k ?2 ? 24k ?3 ? 24k ?3 , b4k ?2 ? b4k ? 24k ?1 ? 24k ?2 ? 3 ? 24k ? 2 , ∴ b4k ?3 ? b4k ?2 ? b4k ?1 ? b4k ? 7 ? 24k ?3 , ………………6 分

∴前 4 k 项的和 T4k ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? (b5 ? b6 ? b7 ? b8 ) ? ? ? (b4k ?3 ? b4k ?2 ? b4k ?1 ? b4k )

? 7 ? 21 ? 7 ? 25 ? ? ? 7 ? 24k ?3 ?

14(16k ? 1) . 15

………………8 分

(ⅱ)证明:由题意得: bn?1 ? bn ? 2na1 ? (2a1 )n ,令 t ? 2 a1 , t ? (1, ??) , ∴

bn ?1 b ? n n ? ?(?t ) n , n ?1 (?1) (?1)



bn b b b b 2 b b b ? ( n n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?n ) ??? ( 2 2 ? 1 1 ) ? 1 1 n n ?1 n ?1 ?2 (?1) (?1) (?1) (?1) (?1) (?1) (?1) (?1)
t (?t ) n ? b1 ) ? , 1? t 1? t
………………11 分

? ?[(?t )1 ? (?t ) 2 ? ? ? (?t ) n ?1 ] ? b1 ? ( t tn ? b1 )(?1) n ? ∴ bn ? ( , 1? t 1? t
∵ bn ?1 ? bn , n ? N* ,

t t n ?1 t tn ? b1 )(?1) n ?1 ? ?( ? b1 )(?1) n ? ∴ bn ?1 ? bn ? ( 1? t 1? t 1? t 1? t t tn ? ?2( ? b1 )(?1) n ? (t ? 1) ? 0 , 1? t 1? t
∴ (b1 ?

t (1 ? t )t n )(?1)n ? , n ? N* , 1? t 2(1 ? t ) (1 ? t )t n t ? , 2(1 ? t ) 1 ? t

①当 n 为偶数时, b1 ?

∵ t ? (1, ??) ,

(1 ? t )t n t (1 ? t )t 2 t t (2 ? t ) , ? ? ? ? 2(1 ? t ) 1 ? t 2(1 ? t ) 1 ? t 2
………………13 分

∴ b1 ?

t (2 ? t ) , 2
(t ? 1)t n t , ? 2(1 ? t ) 1 ? t

②当 n 为奇数时, b1 ?

∵ t ? (1, ??) ,

(t ? 1)t n t (t ? 1)t1 t t ? ? ? ? , 2(1 ? t ) 1 ? t 2(1 ? t ) 1 ? t 2
………………15 分 ………………16 分

t , 2 t (2 ? t ) t 综上: ? b1 ? ,即 2a1 ? 22a1 ?1 ? b1 ? 2a1 ?1 . 2 2
∴ b1 ?


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