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抛物线的标准方程


知识点一
第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程 理解教 材新知 2.3 2.3. 1 抛物 线的 标准 方程

知识点二
考点一 把握热 点考向 考点二 考点三 应用创新演练

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2.3.1

抛物线的标准方程

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如图,把一根直尺固定在图板内直 线l的位置,一块三角板的一条直角边紧 靠直尺的边缘.再把一条绳子的一端固 定于三角板的另一条直角边上的点A, 截取绳子的长等于A到直线l的距离AC, 并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔

扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后
使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔描出一条曲线. 返回

问题1:笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是
什么? 提示:|MC|=|MF|. 问题2:|MC|是点M到直线l的距离吗? 提示:因为AC⊥l,所以|MC|是M到l的距离.

问题3:此曲线是否为椭圆或一支双曲线?如果不是,
猜想它是什么? 提示:不是椭圆,也不是一支双曲线,而是抛物线.

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平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等
的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的 焦点 ,定

直线l叫做抛物线的 准线 .

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在平面直角坐标系中,有以下点和直线A(1,0),B(-1, 0),C(0,1),D(0,-1);l1:x=-1,l2:x=1,l3:y=-

1,l4:y=1.
问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程 是什么? 提示:y2=4x. 返回

问题2:到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程 是什么? 提示:y2=-4x.

问题3:到定点C和定直线l3、到定点D和定直线l4距
离相等的点的轨迹方程分别是什么? 提示:x2=4y,x2=-4y.

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抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标
p ( ,0) 2

准线方程
p x=- 2

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

p (- ,0) 2

p x= 2

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图形

标准方程

焦点坐标
p (0, ) 2

准线方程
p y=- 2

x2=2py

(p>0)

x2=-2py (p>0)

p (0, ) - 2

p y= 2

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1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一 个动点,设为 M;一个定点 F,即抛物线的焦点;一条 定直线 l,即为抛物线的准线;一个定值,即点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于 1.定点 F 不能在直线 上,否则,动点 M 的轨迹就不是抛物线.

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2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决 于抛物线的标准方程形式,规律是:焦点决定于一次项, 开口决定于正负号,即标准方程中,如果含的是 x 的一 2p 次项,则焦点就在 x 轴上,并且焦点的横坐标为 (或- 4 2p 2p 2p ),相应的准线是 x=- (或 x= ),如果含的是 y 的 4 4 4 一次项,有类似的结论. 3.抛物线标准方程中的参数 p 的几何意义是焦点到 准线的距离.

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[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)准线方程为2y+4=0;
(2)过点(3,-4); (3)焦点在直线x+3y+15=0上.
[思路点拨] → 确定参数 → 写出方程 确定抛物线的类型 → 设出标准方程

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[精解详析]

(1)准线方程为 2y+4=0,即 y=-2,故抛
2

p 物线焦点在 y 轴的正半轴上,设其方程为 x =2py(p>0),又 2 =2,所以 2p=8,故抛物线方程为 x2=8y. (2)∵点(3,-4)在第四象限, ∴ 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 y2 = 2px(p>0) 或 x2 = - 2p1y(p1>0). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y,得 16 9 (-4)2=2p· 2=-2p1· 3,3 (-4),即 2p= ,2p1= . 3 4

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16 9 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y = x 或 x =- y. 3 4
2

(3)令 x=0 得 y=-5;令 y=0 得 x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为 x2=-20y 或 y2=- 60x.

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[一点通]

求抛物线方程的主要方法是待定系数法,

若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,
求出p值即可,若抛物线的焦点位置不确定,则要分情 况讨论,另外,焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成 y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2 =ay(a≠0).

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x2 y2 1.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程 16 9 为 A.y2=16x C.y2=8x B.y2=-16x D.y2=-8x ( )

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x2 y2 解析: 由双曲线方程 - =1, 可知其焦点在 x 轴上, 16 9 由 a2=16, a=4,∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0), 得 ∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的标准方程为 y2 p =2px(p>0),则由 =4,得 p=8,故所求抛物线的标 2 准方程为 y2=16x.

答案:A

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2.根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是F(0,-2); (2)焦点在直线3x-4y-12=0上; (3)抛物线过点A(-3,2).
p 解:(1)因为焦点在 y 轴的负半轴上,并且 =2,p=4, 2 所以抛物线的方程是 x2=-8y. (2)由题意,焦点应是直线 3x-4y-12=0 与 x 轴或 y 轴的交点,即 A(4,0)或 B(0,-3).当焦点为 A 点时, 抛物线的方程是 y2=16x,当焦点为 B 点时,抛物线的 方程是 x2=-12y.

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(3)当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时,把 A(-3,2)代入 9 x =2py 得 p= ,当焦点在 x 轴的负半轴上时把 A(-3,2) 4
2

2 代入 y = -2px,得 p= . 3
2

9 4 2 ∴抛物线的标准方程为 x = y 或 y =- x. 2 3
2

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[例2]

已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A

(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.
[ 思 路 点 拨 ] 把|PF|转化为点P到准线的距离

→ 画出草图 → 数形结合 → 求出点P的坐标

[精解详析]

∵(-2)2<8×4,
∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.

如图,设抛物线的准线为l,过点P作
PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B, 返回

由 抛 物 线 的 定 义 可 知 : |PF| + |PA| = |PQ| + |PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当 P,Q,A 三点共线时,|PF| +|PA|取得最小值,即为|AB|.此时 P 的横坐标为-2,代 1 入 x =8y 得 yP= . 2
2

故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点 P 的坐标为 1 (-2, ). 2

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[一点通]

利用抛物线的定义可实现抛物线上的点

到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问
题时,首先要注意抛物线定义的转化应用,其次是注意 平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短,三角形 中三边间的不等关系,点与直线上点的连线中垂线段最 短等.

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3.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以PF为

直径的圆与y轴
A.相交 C.相离 B.相切 D.位置由F确定

(

)

p 解析如图, 抛物线的焦点为 F( , 0), 2 p M 为 PF 的中点,准线是 l:x=- . 2 作 PH⊥l 于 H,交 y 轴于 Q,

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p 那么|PF|=|PH|,且|QH|=|OF|= ,作 MN⊥y 轴于 N, 2 1 则 MN 是梯形 PQOF 的中位线,即|MN|= (|OF|+|PQ|) 2 1 1 = |PH|= |PF|,故以 PF 为直径的圆与 y 轴相切. 2 2

答案:B

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4. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( 17 A. 2 C. 5 B.3 9 D. 2 )

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解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离.由图可知,P 点,A(0,2)点,和抛物线 1 的焦点 F( ,0)三点共线时距离之和最小.所以最小距离 d 2 =|AF|= 1 17 ?0- ?2+?2-0?2= . 2 2

答案:A 返回

[例3]

某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已

知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩 高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不 超过18米,目前吃水线上部分中央船体高5米,宽16米, 且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物,但每多装 150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米,若不考虑水下 深度, 问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该

桥孔?为什么?
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[思路点拨] →

分析题意 → 建立平面直角坐标系 → 确定点的坐标求p

设出抛物线标准方程

→ 利用方程求值 → 回答实际问题

[精解详析]

如图所示,

以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直
线为y轴,建立直角坐标系. 返回

∵拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米, ∴A(10,-2). 设桥孔上部抛物线方程是 x2=-2py(p>0), 则 102=-2p(-2),∴p=25, 1 2 ∴抛物线方程为 x =-50y,即 y=- x . 50
2

若货船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时, 1 y=- ×82=-1.28 米, 50

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即船体在 x=± 之间通过,B(8,-1.28),此时 B 点距 8 水面 6+(-1.28)=4.72(米), 而船体高为 5 米,∴无法通行. 又∵5-4.72=0.28 米,0.28÷ 0.04=7, 150×7=1 050(吨), 即若船通过增加货物通过桥孔, 则要增加 1 050 吨,而 船最多还能装 1 000 吨货物, 所以货船在现有状况下不能通 过桥孔.

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[一点通]

涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型

问题,通常用抛物线的标准方程解决,建立直角坐标系

后,要结合点的位置分析坐标的符号,根据实际问题中
的数据准确写出点的坐标,再结合实际问题求解.

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5.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛 物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm, 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )

A.11.25 cm
C.20 cm

B.5.625 cm
D.10 cm

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解析:如图建立直角坐标系,设抛物线方程 是 y2=2px(p>0), 因为 A(40,30)在抛物线上, 45 ∴30 =2p×40,∴p= , 4
2

45 p 2 45 ∴光源到反光镜顶点的距离为 = = =5.625 (cm). 2 4 8

答案:B

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6.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型
的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为 a m,求使卡车通过的a的最小整数值.
解:以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直 a a 角坐标系,则点 B 的坐标为( ,- ),如图所示. 2 4

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设隧道所在抛物线方程为 x2=my, a2 a 则( ) =m· ),∴m=-a. (- 2 4 即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- . a a 欲使卡车通过隧道,应有 y-(- )>3, 4 a 0.82 即 - >3. 4 a 解得 a>12.21 或 a<-0.21(舍去). ∴使卡车通过的 a 的最小整数值为 13.

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1.求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有四种 形式,易于混淆,解题时一定要做到数形结合,按照“定 形”(确定焦点位置)→定量(参数p的值)的程序求解. 2.应用定义可以解决两类问题:①求抛物线的方程;

②涉及抛物线的最值问题,通常将到焦点的距离转化为
到准线的距离,充分利用直角梯形的性质解题.

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