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高中数学《1.3-2三角函数的诱导公式》课件2新人教A版必修


第2课时

诱导公式五、六

【课标要求】 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六. 2.掌握五组诱导公式并灵活运用. 【核心扫描】 1.诱导公式五、六的推导.(重点) 2.灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明.(难点) 3.公式记忆.(易混点)

自学导引 1.诱导公式五、六 公式五:sin 公式六:sin
?π ? ? -α?= cos ?2 ? ?π ? ? +α?= cos ?2 ?

α ,cos α ,cos

?π ? ? -α?= sin ?2 ?

α ;

?π ? ? +α?= -sin 2 ? ?

α

.

公式五和公式六可以概括如下: π α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值,前 2± 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.

2.利用诱导公式可得到如下结论: sin sin
?3π ? ? -α?=-cos ?2 ? ?3π ? ? +α?=-cos ?2 ?

α,cos α,cos

?3π ? ? -α?=-sin ?2 ? ?3π ? ? +α?=sin ?2 ?

α;

α.

想一想:你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗? 提示 诱导公式六的推导: π π ∵ +α= -(-α),由诱导公式五得: 2 2 sin cos
?π ? ?π ? ? +α?=sin ? -?-α??=cos ?2 ? ?2 ? ?π ? ?π ? ? +α?=cos ? -?-α??=sin ?2 ? ?2 ? ?π ? ? +α?=cos ?2 ?

(-α)=cos α, (-α)=-sin α. α.

即 sin

α,cos

?π ? ? +α?=-sin ?2 ?

名师点睛 1.对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角. π (2)公式五、六可以概括如下: ± α 的正弦(余弦)函数值,分别 2 等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原 函数值的符号, 可以简单地说成“函数名改变, 符号看象限”.

2.六组诱导公式的记忆 (1)公式一~六形式虽然有所不同,但其作用是一样的,都能起 到化简、求值的作用. π (2)六组诱导公式可以统一概括为“k·± α(k∈Z)”的形式.当 k 2 为偶数时,得 α 的同名函数值;当 k 为奇数时,得 α 的异名函 数值,然后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. π (3)诱导公式统一成“k· α(k∈Z)”后,记忆口诀可记为“奇变 2± 偶不变,符号看象限”.

题型一 利用诱导公式求值
?π ? 1 【例 1】 (1)已知 cos (π+α)=-2, α 为第一象限角, 求 cos?2+α? ? ?

的值. (2)已知 cos
?π ? 1 ? -α?= ,求 ?6 ? 3

cos

?5π ? ?2π ? ? +α ? · ? -α?的值. sin ?6 ? ?3 ?

[思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题.



1 (1)∵cos (π+α)=-cos α=- , 2

1 ∴cos α= ,又 α 为第一象限角. 2 则 cos =- (2)cos
?π ? ? +α?=-sin ?2 ? ?1? 1-?2?2=- ? ?

α=- 1-cos2α 3 2.

?5π ? ?2π ? ? ?π ?? ? ?π ?? ? +α ? · sin ? 3 -α?=cos?π-?6-α??· sin ?π-?3+α?? 6 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π ? ? -α?· ? +α? sin ?6 ? ?3 ?

=-cos

?π ?π ?? ?π ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? =-3sin ?2- 6-α ?=-3cos 6-α =-9. ? ?? ? ? ?

规律方法

这是一个利用互余、互补关系解题的问题,对于这

π π 类问题, 关键是要能发现它们的互余、 互补关系: 如3-α 与6+ π π π π π 2π π α, +α 与 -α, -α 与 +α 等互余, +θ 与 -θ, +θ 与 3 6 4 4 3 3 4 3π 4 -θ 等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于 利用角的变换的思想方法解决问题.

【变式 1】 已知 sin

?π ? ? +α?= ?6 ?

?π ? 3 ,求 cos ?3-α?的值. 3 ? ?

? π π π π π ?π 解 ∵ +α+ -α= ,∴ -α= -?6+α?. 6 3 2 3 2 ? ?

∴cos =sin

?π ? ? -α?=cos ?3 ? ?π ? ? +α?= ?6 ?

?π ?π ?? ? ? ? ? + α - ?2 ?6 ?? ? ?

3 . 3

题型二 利用诱导公式证明恒等式 tan 【例 2】 求证:
?3π ? ?2π-α?cos ? 2 -α?cos ?6π-α? ? ? =-tan ? ? 3π? 3π? sin ?α+ 2 ?cos ?α+ 2 ? ? ? ? ?

α.

[ 思路探索 ] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行 化简推出右边.

证明

tan ?-α?· -sin α· cos ?-α? 左边= ? ?π ?? ? ?π ?? sin ?2π-?2-α??· cos?2π-?2-α?? ? ? ?? ? ? ??

?-tan α?· ?-sin α?· cos α = ? ?π ?? ? ?π ?? sin ?-?2-α??cos ?-?2-α?? ? ? ?? ? ? ?? = -sin sin2α
?π ? ?π ? ? -α?cos ? -α? ?2 ? ?2 ?

sin2α = -cos α· sin α sin α =-cos α=-tan α=右边. ∴原等式成立.

规律方法

利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活

应用,其证明的常用方法有:(1)从一边开始,使得它等于另一 边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同 一个式子.(3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性 地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同.

【变式 2】 求证:对任意的整数 k, sin sin
?2k+1 ? ? ? cos π - α ? 2 ?· ? ? ?2k+3 ? ? ? cos π + α ? 2 ?· ? ? ?2k+1 ? ? ? π + α ? 2 ? ? ? ?2k-1 ?=-1. ? ? π - α ? 2 ? ? ?

sin 证明 左边= sin

? ? π ?kπ+ -α?cos 2 ? ? ? ? 3π ?kπ+ +α?cos 2 ? ?

? ? π ?kπ+ +α? 2 ? ? ? ? π ?kπ- -α? 2 ? ?

(1)当 k 为偶数时,设 k=2n(n∈Z)
?π ? sin ?2-α?cos ? ? = ?3π ? sin ? 2 +α?cos ? ? ?π ? ? +α? ?2 ? ? π ? ?- -α? ? 2 ?

∴左边

cos α?-sin α? cos α?-sin α? = ?π ? ?π ?=-cos α?-sin α?=-1. -sin ?2+α?cos ?2+α? ? ? ? ? (2)当 k 为奇数时,设 k=2n+1(n∈Z). 同理可得左边=-1,综上原等式成立.

题型三

诱导公式的综合应用
? 3π? ?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

sin ?α-3π?cos 【例 3】 已知 f(α)= (1)化简 f(α); (2)若 α 是第三象限的角,且 cos 31π (3)若 α=- 3 ,求 f(α)的值.

cos ?-π-α?sin ?-π-α?

.

? 3π? 1 ?α- ?= ,求 2? 5 ?

f(α)的值;

审题指导 本题充分利用诱导公式进行化简求值.

[规范解答] (2)∵cos

?-sin α?· cos α· ?-cos α? (1)f(α)= =-cos α. ?-cos α?sin α 1 α,∴sin α=-5,

(4 分)

? 3π? ?α- ?=-sin 2? ?

又 α 是第三象限的角, ∴cos α=- 2 6 ∴f(α)= 5 .
? 1? 2 6 2 ? ? 1- -5 =- 5 , ? ?

(8 分) 5π 3=

? 31π? ? 31π? ? 5π? (3)f ?- 3 ?=- cos ?- 3 ? =- cos ?-6×2π+ 3 ? =- cos ? ? ? ? ? ?

π 1 -cos 3=-2.

(12 分)

【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题, 解决此类问题时, 可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式,这样可避免公式交错使用而导致的混乱.

【变式 3】 已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,
? ? ?3π ? 3π? 求?sin ?α+ 2 ?sin ? 2 -α?· tan2?2π-α?tan ? ? ? ? ? ? ?π ? ?π ?? ?cos ? -α?· cos ?2+α??的值. 2 ? ? ? ? ?? ? ?π-α??÷ ?

3 解 由 5x -7x-6=0 得,x1=-5,x2=2,
2

3 所以 sin α=-5. -cos α· ?-cos α?· tan2α· ?-tan α? 原式= sin α· ?-sin α? 3 =tan α=± 4.

误区警示

对角的终边位置考虑不全面而出错
?3π ? ? -α?,请指出角 ?2 ?

【示例】 若|cos α|=sin [错解] 由|cos α|=sin

α 的终边的位置.

?3π ? ? -α?得, |cos 2 ? ?

α|=-cos α, 所以 cos α≤0.

故角 α 的终边在第二或第三象限. 由 cos α≤0 可知,角 α 的终边也可以在坐标轴上.

[正解] 由|cos α|=sin

?3π ? ? -α?得, |cos ?2 ?

α|=-cos α, 所以 cos α≤0.

故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上. 角的概念推广后, 按角的终边的位置, 可以将角分为 象限角与坐标轴上的角.同学们在学习过程中,不能只记住了 象限角,而把终边在坐标轴上的角遗忘了.


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