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重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学)58条件概率与二项分布(教师版)


重庆市育才中学高 2014 级一轮复习案

58 条件概率与二项分布

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58 条件概率与二项分布
一、学习内容:选修 2—3P52~59,P64 二、课标要求:
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题.

三、基础知识
1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=_________为在___________发生的条件下,B 发 生的条件概率. (2)条件概率的性质 ①_____≤P(B|A)≤_____. ②若 B、C 是互斥事件,则 P(B∪C|A)=___________ 2.事件的相互独立性 设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=_________,则称事件 A 与事件 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验,即若用 Ai(i=1,2,?,n)表示第 i 次试 验结果,则 P(A1A2A3?An)=____________________. (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那 么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=____________(k=0,1,2,?,n), 此时称随机变量 X 服从二项分布,记作____________,并称 p 为成功概率.

四、典型例题分析
1、从一副扑克牌(去掉大、小王,共 52 张)中随机取出 1 张,用 A 表示“取出的牌是 Q”,用 B 表 示“取出的牌是红桃”,求 P(A|B). 13 【解析】 法一: 由于 52 张牌中有 13 张红桃, 则 B 发生(即取出的牌是红桃)的概率为 P(B)= 52 1 1 P?AB? 1 1 1 = .而在 52 张牌中,即是红桃又是“Q”的牌只有一张,故 P(AB)= .∴P(A|B)= = ÷= . 4 52 P?B? 52 4 13 法二:根据题意,即求“已知取出的牌是红桃”的条件下,事件 A:“取出的牌是 Q”的概率.

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∵n(A∩B)=1,n(B)=13,从而 P(A|B)=

n?A∩B? 1 = . 13 n?B?

1 1 2、甲、乙 2 个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 和 ,求: 3 4 (1)2 个人都译出密码的概率; (3)恰有 1 个人译出密码的概率; (5)至少 1 个人译出密码的概率. 【思路】 我们把“甲独立地译出密码”记为事件 A,把“乙独立地译出密码”记为事件 B, 显然, A、 B 为相互独立事件, 问题(1)相当于事件 A, B 同时发生, 即事件 A· B.问题(2)相当于事件 A ·B . 问题(3)相当于事件 A·B + A · B.问题(4)“至少 1 个人译出密码”的对立事件是 2 个人都译出密码(即 事件 AB). 问题(5)“至少 1 个人译出密码”的对立事件是 2 个人都未译出密码(即事件 A ·B ). 由于 A,B 是独立事件,上述问题中, A 与 B,A 与 B , A 与 B 都是相互独立事件,可以用公式计算相 关概率. 【解析】 记“甲独立地译出密码”为事件 A,“乙独立地译出密码”为事件 B,A,B 为相互 1 1 独立事件,且 P(A)= ,P(B)= . 3 4 1 1 1 (1)“2 个人都译出密码”的概率为:P(A· B)=P(A)×P(B)= × = . 3 4 12 (2)“2 个人都译不出密码”的概率为: 1 1 1 P( A ·B )=P( A )×P( B )=[1-P(A)]×[1-P(B)]=(1- )(1- )= . 3 4 2 (3)“恰有 1 个人译出密码”可以分为两类:甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件 为互斥事件,所以恰有 1 个人译出密码的概率为: 1 1 1 1 5 P(A·B + A · B)=P(A·B )+P( A · B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)= (1- )+(1- )× = . 3 4 3 4 12 (4)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“有 2 个人译出密码”,所以至多 1 个人译出密码的 1 1 11 概率为:1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1- × = . 3 4 12 (5)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个都未译出密码”,所以至少有 1 个人译出密码 2 3 1 的概率为:1-P( A ·B )=1-P( A )P( B )=1- × = . 3 4 2
3、 (2013 山东(理) )甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,

(2)2 个人都译不出密码的概率; (4)至多 1 个人译出密码的概率;

除第五局甲队获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互 2 3

独立. (Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率;

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(Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、 对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
【答案】 解:(Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A1 ,“甲队以 3:1 胜利”为事件 A2 ,“甲队以 3:2

胜利”为事件 A3 ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故 P ( A1 ) ? ( ) ?
3

8 , 27 2 2 2 8 P( A2 ) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 2 1 4 P( A3 ) ? C41 ( ) 2 (1 ? ) 2 ? ? 3 3 2 27 8 8 4 , , ; 27 27 27

2 3

所以,甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率分别是

(Ⅱ)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

2 2 1 4 P( A4 ) ? C41 (1 ? ) 2 ( ) 2 ? (1 ? ) ? 3 3 2 27 由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 16 P( X ? 0) ? P( A1 ? A2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? , 27 4 P( X ? 1) ? P ( A3 ) ? , 27 4 P( X ? 2) ? P ( A4 ) ? , 27 3 P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 27 故 X 的分布列为 0 1 2 3 X 16 4 4 3 P 27 27 27 27

EX ? 0 ?
所以

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 27 27 27 27 9

4、 【2012 湖北理改编】 (本小题满分 12 分) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 历年气象资料 表明,该工程 降水量 X 工期延误天数

X ? 300
0

300 ? X ? 700 700 ? X ? 900
2 6

X ? 900
10

Y
施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求:

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(Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 【答案】 (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

所以 Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是,

E(Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;
D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3) 2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . P(300 ? X ? 900) 0.6 6 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? ? ? . P( X ? 300) 0.7 7 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7

五、基础练习
1 1.设随机变量 X~B(6, ),则 P(X=3)=________. 2 答案 5 解析 16 1 1 5 3 1 3 ∵X~B(6, ),∴P(X=3)=C6 ( ) (1- )3= . 2 2 2 16

2.袋中有 5 个球(3 个白球,2 个黑球),现每次取一个,无放回地抽取两次,则在第一次抽到白 球的条件下,第二次抽到白球的概率为( 答案 C 3 ) A. 5 3 B. 4 1 C. 2 3 D. 10

3 解析 解法 1:设条件 A=“第一次取一个取到白球”,则 P(A)= ,A∩B=“无放 5

P?A∩B? 3/10 1 A2 3 3 回地取两次,都取到白球”,则 P(A∩B)= 2= ,∴所求 P(B|A)= = = . A5 10 3/5 2 P?A? 2 1 解法 2:在第一次抽到白球条件下,还剩 2 白 2 黑 4 个球,抽到白球的概率 = . 4 2 65 3.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生一次的概率为 ,则事 81 件 A 在 1 次试验中出现的概率为________. 答案 1 3 解析 65 A 至少发生一次的概率为 ,则 A 的对立事件 A :事件 A 都不发生的概率为 81

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65 16 2 2 1 1- = =( )4,所以,A 在一次试验中出现的概率为 1- = . 81 81 3 3 3 4.(2011· 济南统考)某单位订阅《重庆日报》的概率为 0.6,订阅《重庆晚报》的概率为 0.3,则 至少订阅其中一种报纸的概率为________. 答案 0.72 解析 P=1-(1-0.6)(1-0.3)=0.72.

1 5.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立 2 的,则灯亮的概率是( 答案 B ) 1 A. 64 55 B. 64 C. 1 8 1 D. 16

解析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,

1 1 3 E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R, 则 R(T)=P(R)=1- × = , 2 2 4 所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P( C )P( D )= 55 . 64

6.甲、 乙两地都位于长江下游, 根据天气预报的记录知, 一年中下雨天甲市占 20%, 乙市占 18%, 两市同时下雨占 12%.求(1)在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率是多少?(2)在乙市为 雨天的条件下,甲市为雨天的概率是多少? 【解析】设 A=“甲市为雨天”,B=“乙市为雨天”.则 P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12. ∴甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为 P(B|A)= P?AB? 0.12 = =0.6. 0.2 P?A?

P?AB? 0.12 2 乙市为雨天,甲市也为雨天的概率为 P(A|B)= = = ≈0.67. P?B? 0.18 3 7.(2011· 辽宁理)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 【答案】 B ) 1 A. 8 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2

2 C2 4 2 C2 1 3+C2 2 【解析】 P(A)= = = ,P(A∩B)= 2= . 2 C5 10 5 C5 10

1 P?A∩B? 10 1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = = . 4 4 P?A? 10 8.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,求 这粒种子能成长为幼苗的概率. 【解析】 设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后的 P?AB? 幼苗成活率为 P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,由 P(B|A)= ,得 P?A? P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.9×0.8=0.72.故这粒种子成长为幼苗的概率为 0.72. 9.一袋中装有 5 个白球,3 个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放 回,直到红球出现 10 次停止,用 X 表示取球的次数,则 P(X=12)=________.

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【思路】 根据条件,必然是前 11 次取到 9 个红球并且第 12 次取到红球. 3 5 【解析】 一次取球取到红球的概率为 ,取到白球的概率为 ,前 11 次取球是 11 次独立重复 8 8 52 39 3 试验事件,“取到红球”的事件发生 9 次,其概率是 C9 ( ) .第 12 次取到红球的概率是 ,由相 11( ) · 8 8 8 5239 3 9 5 2 3 10 9 5 2 3 10 互独立事件同时发生的概率乘法公式,得 P(X=12)=C9 11( ) ( ) × =C11( ) ( ) .故填 C11( ) ( ) . 8 8 8 8 8 8 8 3 10.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ,某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问 4 该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数 X 的分布列. 【思路】 3 个人各做一次试验,看成三次独立重复试验,拨通这一电话的人数即为事件的发 生次数 X,故符合二项分布. 3 3 k 1 3-k 【解析】 由题意可知:X~B(3, ),所以 P(X=k)=Ck ( ) ,k=0,1,2,3.分布列为: 3( ) · 4 4 4 X P 0 1 64 1 9 64 2 27 64 3 27 64


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