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上海市闸北区2013届高三5月模拟考试数学理试题


闸北区 2013 年高考数学(理科)模拟试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 2013.5

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A ? B ?

/>x

?

?

?

?

.(0,2) .8

2.已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =9, a2 ? a4 ? a6 =15,则 a3 ? a4 ? 3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 .4

4.已知 f ( x) ? a tan x ? b cos x ? 4 (其中以 a、b 为常数且 ab ? 0 ), 如果 f (3) ? 5 ,则 f (2013? ? 3) 的值为 }的前 n 项和为 S ,若 . 3

5.设等比数列{ a

n

n

S S4 ? 4 ,则 8 = S2 S4

.10

6.湖面上漂着一个表面积为 400? 的小球,湖水结冰后将球取出, 冰面上留下了一个深 2 厘米的空穴,则该空穴表面圆形的直径 为 厘米. 12

7.设向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算:

?

?

? ? ?? 1 a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) ,已知 m ? ( , 2) , 2 ? n ? ( x1 ,sin x1 ) .点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,
且满足 OQ ? m ? n (其中 O 为坐标原点),则 y ? f ( x) 的最小正周期是

????

??

?

.?

8.某小组共有 n(n ? 2, n ? N ) 名学生,其中恰有一对双胞胎,若从中随机抽查 4 位学生的

2 ,则 n ? _______.10 15 ? 9. 在极坐标系中, 两曲线 ? ? 4 cos ? 与 ? cos(? ? ) ? 2 交于 A, B 两点, AB ? __4__. 则 4
作业,若双胞胎的作业同时被抽中概率为 10.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1相交,则双曲 a2 b2
3

线两渐近线的夹角取值范围是_____________. (0, ? )

11.复数 z 是方程 z ? 2 z ? 2 ? 0 的解,若 Im z ? 0 ,且
2

a ? z ? b ? bi (a, b ? R ? ) ,则 z

1 1 ? 的最小值为_________. 3 ? 2 a b 2
12.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,集合 M ?
2

?? x, y ?

f ( x) ? f ( y ) ? 0

?

,集合

N?

?? x, y ? f ( x) ? f ( y) ? 0? ,则集合 M ? N 所表示的图形面积是___________. ?
x2 x2 ? y 2 ? 1 (a1 ? 0) 与双曲线 C 2 : 2 ? 3 y 2 ? 1 (a 2 ? 0) 有相同的焦 a12 a2
0

13.已知椭圆 C1 :

点 F1 , F2 .点 P 是曲线 C1 与 C 2 的公共点,则 ?F1 PF2 ? ___________ . 60 14. 函数 f ( x) ? x ?

2 ?x ,x ? ?1,2? ,g ( x) ? a cos 对任意的 x1 ? ?1,2? , ? 5 ? 2a ,(a ? 0) , x 2
. ?3,4?

总存在 x2 ? ?0,1? ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围为

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共 4 题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分.

1 0 1 1 15.已知 0 log 2 x 3 ? ,则 x= 2 3 0 4
(A)4 (B)

( C )

1 4

(C) 2

(D)

2 2

16.若 (1 ? 2x )2013 ? a0 ? a1 x ?? ? a2013 x2013( x ? R) ,则 (A) ?1 (B)0 (C) 2

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2013 的值为( A ) 2 2 22013
(D) ?2

17.已知定义在 R 函数 y ? f ( x) ,存在常数 a ? 0 ,对任意 x ? R, 均有 f ( x) ? f ( x ? a) 成 立,则下列结论中正确的个数是( B (1) f ( x) 在 R 一定单调递增; (2) f ( x) 在 R 上不一定单调递增,但满足上述条件的所有 f ( x) 一定存在递增区间; (3)存在满足上述条件的 f ( x) ,但找不到递增区间; (4)存在满足上述条件的 f ( x) ,既有递增区间又有递减区间. (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个 )

18.定义域为 [a, b] 的函数 y ? f ( x) 图象上两点 A(a, f (a)), B(b, f (b)) , M ( x , y) 是

f ( x)
图象上任意一点, 其中 x ? ? a ? (1 ? ? )b, ? ?[0,1] . 已知向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB , 若不等式 MN ? k 对任意 ? ?[0,1] 恒成立,则称函数 f ( x) 在 [a, b] 上“ k 阶线性近 似”.若函数 y ? x ? (A)

????

??? ?

??? ?

?

1 在 ?1,2? 上“ k 阶线性近似”,则实数的 k 取值范围为 (D x
(C) (D)



(B)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某几何体中, 正三棱柱 ABC ? A B C 的所有棱长都为 2, 四边形 ABCD 是菱形,
' ' '

其中 P 为 AC 的中点.
C'

(1)求 B P 与 DC 所成角的大小;
A'

'

'

B'

(2)求该几何体的体积.

C B P

解:(1)
D

A

连接AB' , ? AD与B'C'平行且相等, ? AB'与DC'平行 ??AB' P为所求角或其补角..................2分 又 ? AB' =2 2,AP=1, 2 ..................................5分 4 2 14 ? B' P与DC'所成角为 arcsin ? arccos ..........7分 4 4 ? Rt ?AB' P中sin ?AB'P ?
最后一步改为 6 分 (2)共 6 分

V总 ? VD-AA'C 'C +VABC ? A' B'C ' ..........9分 1 ? ?22 ? 3 ? 3 ?2....................12分 3 ? 10 3 ....................................14分 3
?? ? ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (2sin B, 2 ? cos 2B) ,

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

? ? B n ? (2sin 2 ( ? ), ?1) , m ? n . 4 2
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ?

3 , b ? 1 ,求 c 的值.

解:? m ? n ? m ? n ? 0,? 4 sin B ? sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ----------2 分 2

? ?? ?? ? 2sin B ?1 ? cos ? ? B ? ? ? cos 2 B ? 2 ? 0 ?2 ?? ?
? 2sin B ? 2sin 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ? 2 ? 0

? sin B ?

1 ----------5 分 2

? 0 ? B ? ? ,? B ?
(2)? a

?
6



5? ------------------------------------------7 分 6

? 3 ? b,? 此时B ?

?
6



???8 分

综上 c

? 2或c ? 1

?????12 分

21.(本题满分 14 分) 已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水到 B 地,水速为 8km/h,船在静水中的速 度为 vkm / h(8 ? v ? v0 ) ,其中 v0 为给定的大于 12 km/ h 的常数。若船每小时的燃料费与其

在静水中速度的平方成正比,当 v =12 km/h 时,每小时的燃料费为 720 元,为了使全程燃 料费最省,船的实际速度应为多少?(全程燃料费=每小时的燃料费 ? 实际行驶的时间) 解答:设每小时的燃料费为 y1 ,比例系数为 k (k ? 0) ,则 y1 ? kv 当 v ? 12 时, y1 ? 720
2

1分

? 720 ? k ? 12 2 得 k=5
设全程燃料费为 y,依题意有

3分

y ? y1 ?

200 1000v 2 64 ? 64 ? ? ? ? ? 1000? v ? 8 ? ? 16 ? ? 32000 ? ? 1000? v ? 8 ? v ?8 v ?8 v ?8? v ?8 ? ? ? 6分
64 ,即 v=16 时取等号 v ?8

当v ?8 ?

? 8 ? v ? v0
所以当 v? ? 16 时,v=16 时全程燃料费最省。 当 v? ? 16 时,令 t ? v ? 8 ? 任取 8 ? v1 ? v2 ? v0 则 0 ? v1 ? 8 ? 8,0 ? v2 ? 8 9分

64 v ?8

?1 ?

64 ?0 ?v1 ? 8??v2 ? 8?

? ? 64 ? t1 ? t 2 ? ?v1 ? v 2 ??1 ? ? ?v ? 8??v ? 8? ? ? 0 ? 1 2 ? ?
即t ? v ?8?

1000v?2 64 在 ? 8,v? ? 上为减函数,当 v ? v0 时,y 取最小值 v? ? 8 v ?8

13 分

综合得: v? ? 16 时, 当 v=16km/h, 实际船速为 8km/h, 全程燃料费最省, 32000 元, v? ? 16 为 当 时,当 v ? v0 ,实际船速为( v0 -8)km/h 时,全程燃料费最省,为

1000v?2 元. v? ? 8

14 分

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。 已知抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F , A(a,4) 为抛物线 C 上的定点, P 为抛 点 点
2

物线 C 上的动点.且 ?FOA 的外接圆圆心到准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)过 P 作圆 x ? ( y ? 1) ?
2 2

3 . 2

1 的两条切线分别交该圆于点 M , N ,求四边形 PMFN 面 4

积的最小值及此时 P 点坐标.

? (3) 设点 T (0, t ) , 且对抛物线 C 上的任意动点 P , TPF 总为锐角, 求实数 t 的取值范围.
解答:(1) ?FOA 的外接圆的圆心在线段 OF 的中垂线 y ? 则圆心的纵坐标为

p 上, 4

p 4
M ????? (2 分)
2

y P

p p 3 故到准线的距离为 ? ? 2 4 2
从而

p?2

F O

N x

即抛物线 C 的方程为: x ? 4 y.

?????

(4 分)

(2)设 P( x0 , y 0 ) ∵圆心坐标 (0,1) 是抛物线 C 的焦点 F ∴ PF ? y 0 ? 1 ??????????????? (6 分)

1 1 1 S PMFN ? 2S ?PMF ? 2 ? ? PM ? MF ? PM ? 2 2 2 ? 1 1 ( y 0 ? 1) 2 ? ( y 0 ? 0) 2 4

PF ?
2

1 4

?????????? (8 分)



当 y 0 ? 0 时,四边形 PMFN 面积的最小值为

3 ,此时点 P(0,0) .??(10 分) 4
p 2

(3)(理)根据题意: ?TPF 为锐角 ? PT ? PF ? 0 且 t ? ∵ PT ? (? x0 , t ? y0 ) , PF ? (? x0 , 1 ? y0 )

∴ PT ? PF ? (? x0 , t ? y0 ) ? (? x0 , 1 ? y0 ) ? x0 ? (t ? y0 )(1 ? y0 )
2

? 4 y0 ? (t ? y0 )(1 ? y0 )
? y0 ? (t ? 3) y0 ? t
2

????????????????? (11 分) 在 y0 ? [0,??) 上恒成立

记: f ( x) ? y0 ? (t ? 3) y0 ? t ? 0
2

又 f ( x) ? ( y 0 ?

t ? 3 2 t 2 ? 10t ? 9 ) ? 2 4

10 .当

t ?3 ? 0 时,即: t ? [3 , ? ?) 2
t ?3 t 2 ? 10t ? 9 时, f ( x) min ? ? ?0 2 4
解得: 1 ? t ? 9

当 y0 ? ∴

t ? [3 , 9)

??????????????????? (13 分)

2 0 .当

t ?3 ? 0 时,即: t ? (?? , 3) 2


当 y 0 ? 0 时, f ( x) min ? t ? 0 综合得: t ? (0 , 1) ? (1 , 9)

t ? (0 , 3) ?????????? (15 分)
?????????? (16 分)

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分。 对于数列 A : a1 , a2 ,?, an ,记 M i 表示实数 a1 , a2 ,?, ai 中最大的数, mi 表示实数

ai , ai ?1 ,?, an 中最小的数, di ? M i ? mi ,其中 i ? 1, 2,? n .定义变换 T , T 将数列 A 变
换成数列 T ? A? : d1 , d 2 ,?, d n . (1) 已知数列 A : 写出数列 T ? A? 和 T ( B) ; 2,0, 4, ?1,1 和数列 B : bk ? 3k ? 2, k ? 1,2,?, n , (2)已知数列 A : a1 , a2 , a3 , a4 中任意两项互不相等,证明:数列 T ? A? : d1 , d 2 , d3 , d 4 中必 有两个相邻的项相等;

T (3) 证明: 对于有穷数列 A , ? A? 与 A 是相同的数列的充要条件是 ak ? 0, k ? 1,2,?, n .
解答:(1)由 T ? A? 的定义可知: T ? A? : 3,3,5,5,3 同理: T ? B ? : 0,0,?,0 即 d k ? 0, k ? 1,2,?, n 2分 4分

(2) A : a1 , a2 , a3 , a4 中 4 项的大小关系有 8 种情况。(分类讨论) 当 a1 ? a2 ? a3 ? a4 时,由定义易得 T ? A? : 0,0,0,0 ,命题得证; 5分

当 a1 ? a2 ? a3 ? a4 时,由定义易得 T ? A? : a1 ? a4 , a1 ? a4 , a1 ? a4 , a1 ? a4 ,命题得证; 6分

其余 6 中情况中必有相邻的三项满足: ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ? i ? 1, 2 ? 或 ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ? i ? 1, 2 ? . 若

ai ? ai ?1 ? ai ?2 M i ?1 ?









M i ?1 ? M i ? 2



mi ?1 ? mi ? 2

, 8分



di ?1 ?

mi ?1 ?

M i ?2 ? ,命题得证;i ?2 mi ?2 ? d

若 ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ,由定义 M i ? M i ?1 且 mi ? mi ?1 ,则 di ? M i ? mi ? M i?1 ? mi?1 ? di?1 , 命题得证。 (或分 8 类讨论也可以) (3)先证充分性:? ak ? 0, k ? 1, 2,?, n,? M i ? 0, mi ? 0 , i ? 1, 2,?, n 所以 di ? ai , i ? 1, 2,?, n ,即 T ? A? ? A . 再证明必要性: 首先,证明 A 中的各项都是非负的。 12 分 10分

? mi ? ai ? M i ? di ? M i ? mi ? , i ? , ? 0 1 2,
又 T ? A? ? A ,则 ai ? di ? 0 然后,用反证法证明 A 中的各项都是 0. 假设 a1 , a2 ,?, an 中有一个正数,设 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右的第1个正数, 则由定义知: M k ? ak ,从而 ak ? dk ? M k ? mk ? mk ? 0 , 这说明在 ak ?1 , ak ? 2 ,?, an 中最小值为0,不妨设 al ? 0 ? k ? l ? n ? 由定义知: ml ? 0 ,则 dl ? M l ? ml ? al ,得 M l ? 0 由 M l 的定义有: ak ? M l ? 0 ,这与 ak ? 0 矛盾. 故 an ? 0, n ? N ? . 18 分 16分

n ,
14 分


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