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等差数列的前n项和


等差数列的前n项和

制作人:(07-4)班 李红琼

高斯的故事
高斯是德国著名数学家,被誉为“数学王 子”。 当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债帐目的 事情,已经成为一个轶事流传至今。 高斯有一个很出名的故事:用很短的时间 计算出了小学老师布置的任务:对自然数从1到 100的求和。

高斯是怎么做的呢?

1+2+3+…+100=?
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+100)+(2+99)+……+(50+51)= 101×50=5050.

具体做法如下:
首项与末项的和:1+100=101,
第2项与倒数第2项的和:2+99=101,

第3项与倒数第3项的和:3+98=101, …… 第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 于是所求的和是:101×(100/2)=5050。

等差数列:1,2,3,…,n,…的前n 项和
我们发现所求和可用首项、末项及 项数n来表示, 且任意的第k项与倒数第k项的和都 等于首 项与末项的和,这就启发我们 如何去求一般等差数列的前n项和。

设等差数列{an} 的前n项和 为Sn ,即
? ? ? ? ? Sn=a1+a2+…+an, 根据等差数列 {an} 的通项公式,有 Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n-1)d] 再把项的次序反过来,Sn又可以写成 Sn=an + (an-d) +(an-2d)+…+[an-(n- 1)d ]

?

将上面两个式子相加,得到

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ??? ? (a1 ? an ) ?????? ??????? ? ?
n个

=n(a1+an)
由此得等差数列{an}的前n项和公式

n(a1 ? an ) ? Sn ? 2

公式1

我们知道:
an=a1+(n-1)d
所以上面的公式又可以写成:

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式2

为了参加冬季运动会的5000m长跑比 赛,某同学给自己制定了7天的训练计划(单位: m)如下表: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500

例1

问这个同学7天一共将跑多长的距离?

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

解:这位长跑运动员每天的训练量成等差数列,记为{an} , 其中 a1=7500,a7=10500。根据等差数列前n项和公式,得

7 * (7500 ? 10500 ) S7 ? 2
=63000
答:这位运动员7天共跑了63000m.

练习
? 1 已知等差数列{an}的前10项 和是310,前20项的和是1220,求 前n项和Sn. ? 2 等差数列{an}中,a1= - 4, a8= -18, n=8,求公差d及前n 项和Sn

五 、小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导; 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用;
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

说明:两个求和公式的使用-------知三求一.

3. 等差前n项和Sn公式的理解.

家庭作业
?P122 习题3.3 第2题: (1),(3) ?P122 练习 第3题


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