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对数函数优秀教案


《对数函数》优秀教案 对数函数》
一、教材分析 对数函数是在学习指数函数、 对数的基础上引入的, 由此我制定了这样的教学目标。 1、通过指数与对数的联系,掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。 2、在教学过程中,通过数形结合、分类讨论等数学思想方法,发展学生的逻辑思维 能力,提高他们的信息检查和整合能力。 教学重点 教学重点:对数函数的概念、图象和性质. 重点 教学难点:由对数函数与指数函数互为反函数的关系,利用指数函数图像和性质得到 教学难点 对数函数的图像和性质。 二、指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学, 通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质, 同时在教 学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。 三、教学过程 1、提出问题 我们来看下上节课的 2.1.2 的例 8:截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后 能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少? 1999 年底,我国人口约 13 亿; 经过 1 年(即 2000 年) ,人口数为 13+13*1%=13*(1+1%)(亿) 经过 2 年(即 2001 年) ,人口数为 13*(1+1%)+13*(1+1%)*1%=13*(1+1%)2(亿) 经过 3 年(即 2002 年) ,人口数为 13*(1+1%)2+13*(1+1%)2*1%=13*(1+1%)3(亿)
。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。

所以经过 x 年,人口数为 y= 13 * (1 + 1%) x = 13 *1.01x (亿) 当 x=20 时, y = 13 *1.0120 ≈ 16 (亿) 所以经过 20 年后我国人口数最多为 16 亿。 咱们上节课的例题,我们能从关系式 y = 13 *1.01x 中,算出任意一个年头 x 的人口总 数,那反之,如果问,哪一年的人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿,该如何解决? 上述问题实际上就是从
18 20 30 = 1.01x , = 1.01x , = 1.01x ,...中分别求出 x,即已知底 13 13 13

数和幂的值,求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题, 通过我们学习的对数表示方法,咱们可以把上面的式子表示成: log1.01 y = x ,其中 y=人口数/13,y 是自变量, 是 y 的函数, x 但习惯上, x 表示自变量, 表示它的函数, 用 y

因此对上式进行改写: y = log1.01 x 。 说明:这里,以学生熟悉的问题为背景,以旧有知识为基点,顺利切入学生的最近 发展区,使学生亲历了对数函数模型的形成过程,初步理解对数函数的概念,感受研究对 数函数的意义。 2、探究新知 根据上面的讨论,引出对数函数的定义。 (一般地,函数 y = log a x(a > 0, a ≠ 1) 叫做对 数函数,它的定义域是 (0, +∞) ) 在类比联想的基础上,进行以下探究:
x 探究 1:函数 y = log a x 与函数 y = a (a > 0, a ≠ 1) 的定义域、值域之间有什么关系? 的定义域、值域之间有什么关系?

说明:定义域、值域是函数的两大要素,再加上对数函数和指数函数的关系,因此, 有必要对此问题进行讨论。这里,让学生探究并汇报问题的结果( y = log a x 的定义域和 值域分别是 y = a x 的值域和定义域。(显示)通过比较,进一步感受指数函数与对数函数 ) 的内在联系。 描点作图,画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象, 探究 2:描点作图,画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象,给出它们之 间的关系. 间的关系.
(1) y = 2 , y = log 2 x;
x

?1? (2) y = ? ? , y = log 1 x. ?2? 2

x

说明:图像是研究、验证性质的工具之一,也是函数的表示方法之一。这里,要求学 生自主绘出 y = log 2 x , y = log 1 x 的图像(指数函数的图像给出) 。目的有三:一是培养
2

学生的动手能力, 二是让学生进一步感受指数函数与对数函数的关系, 三是为下面学生探 索对数函数的性质奠定基础。 在学生观察、 讨论或动手翻折的基础上得出图像之间的关系: 对称, :当 a > 0, a ≠ 1 时,函数 y = a x 与 关于直线 y = x 对称 , 并由特殊到一般,得出(显示)
y = log a x 的图像关于直线 y = x 对称。

根据探究 1、2 的讨论,适时给出反函数的概念(不展开讲述) ,指出指数函数和对数 函数互为反函数。 (我们把 y = a x 称为 y = log a x 的反函数,y = log a x 称为 y = a x 的反函数, 即它们互为反函数。 ) 一般地,函数 y = f ( x) 的反函数记作: y = f ?1 ( x) . 观察图形,类比联想指数函数的性质,你发现了对数函数的那些性质? 探究 3:观察图形,类比联想指数函数的性质,你发现了对数函数的那些性质?

说明:这是本节课的重点。教学中,我准备这样处理: (1)留给学生足够的时间进行探索、交流、讨论。探索性质可以借助学生自己绘制 的图像,也可利用老师给出的图像。 (显示) (2)引导学生在类比联想指数函数的图像特征和函数性质基础上,由特殊到一般, 充分发表意见,并与周围的人交流思维的过程和结果。通过观察、分析、类比、交流讨论, 使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识得以明朗、一致。 (3)让学生把自己总结出的结果和图像“整合”成知识图表,使学生头脑中的知识 整合” 整合 进一步条理化、系统化。 表:对数函数的图像与性质
a >1 0 < a <1

y

y

图象
0

(1,0)

x

0

(1,0)

x

图 象 特

1、图象的位置: 在y轴的右侧; 2、图象过定点: (1,0) 3、 图象向上无限延伸, 向下无限接近y 3、图象向下无限延伸,向上无限接近y



轴. 4、随着x增大,图象是上升的 5、 x > 1 时,函数图象在x轴的上方;
0 < x < 1 时,函数的图象在x轴的下

轴. 4、随着x增大,图象是下降的 5、 x > 1 时,函数图象在x轴的下方; 当 0 < x < 1 时,函数的图象在x轴的上 方;
(0, +∞)

方; 函 数 性 质 定义域 值 域 单调递增

R 单调递减 非奇非偶

单调性 奇偶性

再仔细观察对数函数图象,你还有其他新的发现吗? 探究 4:再仔细观察对数函数图象,你还有其他新的发现吗? 在学生深入观察、讨论、交流的基础上,总结自己的发现,这里主要指出两点发现: (1)从特殊到一般,得出:函数 y = log a x 与函数 y = log 1 x 的图象关于 x 轴对称;
a

(2)(2)底数 a 的变化对对数函数图象的影响:当 a>1 时,a 越大,图像在第一象 限内曲线越靠近 x 轴;在第四象限内的曲线越靠近 y 轴。 当 0<a<1 时,a 越小,图像在第四象限内曲线越靠近 x 轴;在第一象限内的曲线越靠 近 y 轴。 对第二个发现,在学生充分发言后,教师通过课件演示,进一步印证学生的发现,并 给学生更加直观的感受。 3、例题讲述 例 1 求下列函数的定义域 (1) y = log 0.2 (4 ? x); (2) y = log a x ? 1(a > 0, a ≠ 1).

说明:通过例 1 要让学生明确,求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大 真数大 于零” 当真数为某一代数式时,可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该 于零” , 函数的定义域 例 2 利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个数的大小 ⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 例3 比较下列各组中两个值的大小:

⑴ ⑵

log 67 , log 7 6 ; log 3π , log 2 0.8 .

说明:例 2 例 3 考察学生利用对数函数性质解决问题的能力,讲解时,先让学生回顾 利用指数函数比较大小时的处理方法,然后引导学生采用类似的方法解决本题。即:如 即 果两个对数值同底,应构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断; 果两个对数值同底,应构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断;如果底不 同,应构造两个对数函数,借助两个对数函数的单调性和中间值“1”或“0”进行判断。 应构造两个对数函数,借助两个对数函数的单调性和中间值“ 进行判断。 本题解决后,让学生反思明白,要想利用性质解决问题,关键要做到“脑中有图” , 以“形”促“数” ;同时,形成这类问题的一般解题流程: 识别――判断――比较” ――判断――比较 。其 “识别――判断――比较” 中,识别,指“模式识别” 这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想。在教学中渗 “模式识别” , 透这样的数学思想,是发展学生数学素质的一项重要的基本训练。 4、巩固练习 根据课堂具体情况,处理课后相关练习题。 5、课堂小结 主要请学生总结并说出本节课学到了什么?还有哪些需要加强的地方? 6、布置作业 (1)P69 2,3.

(2)课后思考题: (p70,ex9)如图,已知函数 y = log a x, y = log b x, y = log c x, y = log d x 的 图 像 分 别 是 C1 , C2 , C3 , C4 ,试判断 1,1,a,b,c,d 的大小。 说明:设置这样的两道课后思考题,使得课堂教 学得以很好的延续与深入。


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