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专题讲义:用均值不等式求函数的最值


专题讲义 用均值不等式求最值的类型及方法
均值不等式的运用是本章的一个重要内容,也是求函数最值的一个重要工具。要求同学们 能运用均值不等式解决一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式 a2 ? b2 2 2 (a、b ? R), ① a ? b ? 2ab ? ab ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
② a ? b ? 2 ab ? ab ? ?
3 3 3

?a?b? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?
a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时, (a、b、c ? R ? ), 3
3

2

③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ? “=”号成立;

?a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? “=”号 ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时, 3 ? ?
3

成立.

注:①运用均值不等式时,务必要注意:一“正” 、二“定” 、三“等”.
②记住一个重要的不等式链:

2

1 ? a b

a?b ? ab ? ? 1 2

a 2 ? b2 . 2

二、函数 f ( x) ? ax ?
(1)函数 f ( x) ? ax ?

b ?a、b ? 0? 图象及性质 x

y

b ?a、b ? 0? 图象: (2)函数 f ( x) ? ax ? b ?a、b ? 0? 性质: x x ①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ;

?

b 2 ab a

o
? 2 ab

x
b a

②增区间: ? ? ?,? 减区间: ? ? 0,
? ?

? ? ?

b? ? ?,? a? ?

? b ; ,?? ? ? a ?
?. b ,0 ? ? a ?

b ? ,? ? ?? a ? ?

三、用均值不等式求最值的常见类型
类型 1 :求几个正数和的最小值。 例 1.求下列函数的最小值: y ? x ?



1 ( x ? 1) 2( x ? 1) 2

-1-

类型 2 :求几个正数积的最大值。 例 2.求下列函数的最大值: ① y ? x 2 (3 ? 2 x) ? 0 ? x ?



? ?

3? ? 2?

② y ? sin 2 x cos x ? 0 ? x ?

? ?

??
? 2?

类型 3 :条件最值问题。 例 3.求下列函数的最小值: ①已知正数 x、y 满足 x + 2y = 1, 求的 ②已知正数 x、y 满足



1 1 ? ?1 x y

1 1 ? 最小值。 x y

求 x + 2 y 的最小值。

类型 4 :用均值不等式化归为其他不等式最值。 例 4.求解下列各题: ①已知正数 x、y 满足 xy = x + y + 3,试求 xy 的范围。



②已知:x、y ? R ,满足 xy + x + y =2,求 x ? y 的最小值。

?

-2-

类型 5 :化归为利用均值不等式求解的其他。 例 5.求解下列各题: ①求 y ?



x2 ? x ?1 (x>1)的最小值。 x ?1

②求 y ?

2x (x>0)的最大值。 x ? x ?1
2

③已知

f ( x) ? 32 x ? (k ? 1)3x ? 2 ,当 f ( x) 恒为正值,求 k 的范围。

类型 6 :用均值不等式解题时等号不成立。 例 5.求下列函数的最小值: ①若 x、y ? R ,求 y ? x ?
?



4 (0 ? x ? 1) 的最小值. x

②求函数的 y ?

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

最小值.

-3-

四、针对训练
1.求下列各题:

3 2 3 x ? ( x ? 0) 最小值__________. 16 x 2 x ?5 ②函数 y ? 最小值是___________. x2 ? 4 x y ③若点 ( x, y ) 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上移动,则表达式 3 ? 27 ? 1 最小值是_________. ④若 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 (?、?、?为锐角 ) , cos? cos ? cos? 最大值是_______. ⑤若 a ? 0 、 b ? 0 ,且满足 ab ? 1 ? a ? b ,则 a ? b 的最小值是_______。
①求 y ? 2.某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定号彩电降价。有以下四种方案:先 降价 a % ,再降价 b % ; ②先降价 b % , 再降价 a % ; ③先降价

④一次性降价 (a ? b)% , 其中 a ? 0, b ? 0, a ? b 。 上述四种方案中, 降价幅度最小的是( ) A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案④

a?b a?b % ,再降价 %; 2 2

3.在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) ? x2 ? px ? q 与 g ( x) ? 2 x ? 值,那么 f ( x ) 在 [ , 2] 上的最大值是( A.

1 2

1 在同一点取得相同的最小 x2

1 2

) . C.8 D.

13 4

B.4

5 4

4.函数 f ( x) ? x ?

4 ,若 f ( x) ? a 在 [4, 8]上有解,试求 a 的取值范围。 x

5.函数 f ( x) ? x ?

4 ,若 f ( x) ? a 在[4,8]上恒成立,求 a 的范围。 x

6.若 x、y ? R ? , 满足 x ? y ? 4 ,不等式

1 4 ? ? m 恒成立,试求实数 m 的范围。 x y

7.若 x、y ? R ? , 若不等式 x ?

y ? m x ? y 恒成立,试求实数 m 的取值范围。

-4-


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