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正弦函数图像变换1


问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的 图象间有何关系?
观察结果:
在y=sinx的基础上,把所有各点的纵坐标 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍 (横坐标不变)得到y =Asinx图象。
上一张 下一张 图象

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2
解: 列表:

x
sin x 2 sin x

0 0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2
2. 描点、作图: y 2 1 O y=2sinx y=sinx 2? ?
2 1 y = sinx ?1

x

?2

1 一、函数y=2sinx与y= 2 sinx的图象
y
2 1 2? O ?1 ?2 y=2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍。 1 y= 2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的 纵坐标缩短到原来的 1倍。 2 ? x

问题2
函数y=sinx与函数y=sin?x(? >0)图 象间有何关系?
观察结果: 在y=sinx的基础上,把所有各点的横坐标 伸长(0< ? <1)或缩短(?>1)到原来的1 倍 ? (纵坐标不变)得到y =sin?x 图象。
上一张 下一张 图象

1x y ? sin 例2 作函数 y ? sin 2 x 及 2 的图象。 1. 列表: ? ? 3? ? 0 x 4 2 4
2x sin 2 x
2. 描点:

0 0

? 2

?

3? 2

2? 0

1

0

?1

2 y 1

2?
O ?

3? x

?1
?2

1. 列表:

对于函数y ? sin 1 x 2

x
1 x 2
sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2

2?
?

3?
3? 2

4? 2? 0

1

0

-1

2. 描点:

y

1 2? ? 3? 4?

O ?1

x

y y=sin2x 1 O ?1 ?

y=sinx 2?

3?

4? x

1 y= sin x 2

二、函数y=sin?x(?>0)图象
y 1 2? O ?1 y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变)。

?

3?

4?

x

(3)

法一:
y ? sin x

y ? 1 sin 1 x 的图象与y ? sin x的图象的关系: 2 2
图象上各点纵坐标

缩短为原来的一半
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍

图象上各点横坐标 1 sin 1 x 1 y ? y ? sin x 2 2 2 伸长为原来的2倍

法二:
y ? sin x
1

y ? sin 1 x 2

图象上各点纵坐标

y ? 1 sin 1 x 2 2 缩短为原来的一半

y

2? O ?

3?

4? x

?1

问题3
函数y=sinx与函数y=sin(x+?)图象 间有何关系?
观察结果: 在y=sinx的基础上,把所有的点向左 (? >0)或向右(? <0)平行移? ? ? 个单 位得到y =sin(x+ ?)图象
上一张 下一张 图象

例3 作函数 y ? sin( x ?

?

x
x? ?

?
3 4
?

?? ? 34
0
0
1 O ?1 y

3 5 ? ? 6 4
? 2
1

) 及y ? sin( x ?
4 3? 3 4
?
0

?

4 11 ? 5? 6 4
3? 2
-1

)的图象。
7? 3 4
2?
0

sin( x ? ? ) 3 4
?

?
4

?
3

2? ?

x

问题4
函数y=sinx的图象经过一些什么变换可 得到函数y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象呢?

下面我们来观察图象,并 注意各种变换的变化量。
上一张 下一张 图象

例题 以下列函数为例,写 出变换过程及变化量。
由y=sinx经过哪些变换可以 ? 得到y=2sin(2x+ ) 的图象?
3
上一张 下一张 图象

例5 作函数 y ? sin( x ?
1

?

) 及 y ? sin( 2 x ? )的图象。 3 3
5? 6

?

? ? 3 6?1

? ?

O

?

5? 3
7? 6

2?

x

7? 12

问:y ? sin(x ? ? )与y ? sin(?x ? ? )的图象有何关系? 是把 y=sin(x +φ) 的图象上所有点的横坐标缩短(当 1(纵坐标不 ?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍
变) 而得到的。

函数y=sin(?x +φ) (? >0且?≠1)的图象可以看作

?

解答1
所有点向左平移于

?
3

个单位

y=sinx

(变相位换) 各点横坐标缩短到原来的 一半 (周期变换)

y=sin(x+

?
3

)

y=sin(2x+

?
3

) )

各点纵坐标伸长到原来的 (振幅变换)

2



y=2sin(2x+
下一张

?
3

上一张

图象

解答2
y=sinx
各点横坐标缩短到原来的一半
(周期变换)

y=sin2x

所有点向左平移于 6 个单位
(变相位换) 各点纵坐标伸长到原来的 (振幅变换)

?

y=sin(2x+ y=2sin(2x+
下一张

?
3

)

2



?
3

)

上一张

图象

练习1
写出由函数y=sinx的图象得到函 1 ? 数y=3sin( x? )的图象的变换 2 3 过程。
1、先相位变换再周期变换 2、先周期变换再相位变换
上一张 下一张 图象

答案1
y=sinx

先相位变换再周期变换
?
3

所有点向右平移于

个单位

(变相位换) 各点横坐标伸长到原来的 2 倍 (周期变换) 各点纵坐标伸长到原来的

y=sin(x?

?
3

)

3



(振幅变换)

1 ? y=sin( x) 2 3 1 ? y=3sin( x- ) 2 3
下一张 图象

上一张

答案2

先周期变换再相位变换
2倍

1 y=sinx y=sin x (周期变换) 2 2? 所有点向右平移于 个单位 ? 1 3 y=sin( x- ) 3 2 (变相位换)
各点纵坐标伸长到原来的 (振幅变换)

各点横坐标伸长到原来的

3



1 ? y=3sin( x- ) 2 3
下一张 图象

上一张

小结

先相位变换再周期变换

1、相位变换:把的图象上所有点向左(?>0)或向 右(?<0)平移 ?? ? 个单位。 2、周期变换:把所有点的的横坐标缩短(?>1)或 伸长 (0<?<1)到原来的 1 ? 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换:把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩 短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张 下一张 图象

小结

先周期变换再相位变换

1、周期变换:把所有点的的横坐标缩短(?>1)或 伸长 (0<?<1)到原来的 1 ? 倍。(纵坐标不变) 2、相位变换:把的图象上所有点向左(?>0)或向 右(?<0)平移 ? ? 个单位。 3、振幅变换:把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩 短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张 下一张 图象

练习2
要得到函数y=sin(2x- ? 3 )的图象, 只需将y=sin2x的图象( D )
(A)向左平移 ? 3个单位
(B)向右平移 ? 3 个单位 (C)向左平移 ? 6 个单位 (D)向右平移 ? 6个单位
上一张 下一张 图象

练习3
要得到函数y=sin( x 2- ? 3 )的图 象,只需将y=sin x 2 的图象( D )
(A)向左平移 ? 3个单位 (B)向右平移 ? 3 个单位 (C)向左平移 2? 3个单位 (D)向右平移 2? 3个单位
上一张 下一张 图象

练习4
将函数y=cosx的图象纵坐标不变, 横坐标扩大到原来的2倍,再向右平 移? 4 个单位,得到的函数( C )的 图象。
? 4) (A)y=cos(2x+
(C)y=cos( x 2-? 8)
上一张 下一张

(B)y=cos( x 2 - ? 4)

(D)y=cos( x 2 +? 8)
图象 总结1 总结2


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