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高三数学离散型随机变量及其分布列


高中数学总复习题组法教学案编写体例
§12.5 离散型随机变量及其分布列
新课标要求 会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,能利用所学知识解释一些简单的实际应用 问题。 重点难点聚焦 教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列 高考分析及预策 离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和方差的基础,而求分布列需要 综合应用排列、组合和概率的相关知识,是高考考察的重点内容之一。在近几年高考中以选 择题、填空题形式出现,也以大题形式综合考察,难度以低、中档为主。 复习时应注意: 1.分布列的计算是概率部分计算的延伸,上一节中讨论的是具体事件的概率计算,正确 计算的基础是对基本概念的理解,注意明确数学符号的含义。 2.求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概型、互斥时间的概率、相 互独立事件同时发生的概率,n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等。 再现型题组 1.离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量,通常用字母 X、Y 一一列出,这样的变量就叫离散

表示。如果对于随机变量可能取到的值,可以按 型随机变量。 2.离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1 , x2 ,?, xi ,? ,X 取每一个值 xi (i ? 1, 2,?) 的概率

P( X ? xi ) ? pi ,则表
称为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列。 离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示,如图 所示。 P

X
P

x1 p1

x2
p2

?? ??

xi pi

?? ??

O

x1 x2 x3

x4 x5

?

离散型随机变量的分布列具有以下两个性质: ① ;②

一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值 的 (2)两点分布: 。 X P 0 1-p 1 p

像这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点 分布,而称 p ? P( X ? 1) 为 。

(1) pi ? 0,(i ? 1, 2,?) ,概率之和为 p1 ? p2 ? ? ? pi ? ? ? 1 。 (2)成功概率 (3)超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰好有 X 件次品, 则事件 { X ? k} 发 生 的 概 率 为 P( X ? k ) ?
k n ?k CM CN ?M { n , , }且 , k ? 0,1, 2,?, m , 其 中 m ? m i n M n CN

n ? N, M , N ? N* , 此 时
称分布列 X P 0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

?? ??

m
m n ?m CM CN ?M n CN

为超几何分布列。如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分 布。 巩固型题组 3.设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 0.3

求(1)2X+1 的分布列; (2)|X-1|的分布列。

【变式与拓展】已知随机变量 X 的分布列为:

X P 分别求出随机变量 Y1 ?

-2

-1

0

1

2

3

1 12

1 4

1 3

1 12

1 6

1 12

1 X , Y2 ? X 2 的分布列。 2

4.一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 ? 表示取出的三只球 中的最小号码,写出随机变量 ? 的分布列.

【变式与拓展】已知盒中有 10 个灯泡,其中 8 个正品,2 个次品.需从中取出 2 个正品,每次 取出 1 个,取出后不放回,直到取出 2 个正品.设 ? 为取出的次数,求 ? 的分布列。 提高型题组 5.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄 球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列.

6.(2007 年陕西卷理)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入 下一轮考核, 否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、 二、 三轮的问题的概率分别为 4 、3 、
5
5

2 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5

(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列. (注:本小题结果可用分数表示)

反馈型题组 7.某人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,能答对其中的 6 题,规定每次考 试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,求答对试题数 ? 的概率分布。

8.某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽, 求耗用子弹数 ? 的分布列。

45 分钟单元综合检测题 一.选择题 1.下列随机变量中,不是离散随机变量的是 ( ) A. 从 10 只编号的球 ( 0 号到 9 号) 中任取一只,被取出的球的号码 ? B. 抛掷两个骰子,所得的最大点数 ? C. [0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值 ? D. 一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数 ? 2.已知随机变量ξ 的分布列为 P(ξ =k)= A.

1 2k

,k=1,2,?,则 P(2<ξ ≤4)等于(



3 1 1 1 B. C. D. 16 4 16 5 3.下列两个变量之间的关系是函数关系的是( ) A.光照时间和果树产量 B.降雪量和交通事故发生率 C.人的年龄和身高 D.正方形的边长和面积 4.抛掷两枚骰子,所得点数之和记为 ξ,那么 ξ=4 表示的随机实验结果是( ) A.一颗是 3 点,一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.两颗都是 4 点 D.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2 点 5. (2006 年江苏卷)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9. 已知这组数据的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6.已知随机变量 ? 的概率分布如下:

?
P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 m

2 3

2 32
) B.

2 33

2 34

2 35

2 36

2 37

2 38

2 39

则 P(? ? 10) ? ( A.

2 39

2 310

C.

1 39

D.

1 310

二.填空题 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3

分,设得分为随机变量ξ ,则 P(ξ ≤6)=________. 8. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍, 用随机变量 ? 描述 1 次试验的成功次数, 则P ( ? =0) 等于_________。 9.设随机变量 ? 的概率分布为 P(? ? k ) ?

a , a为常数 , k ? 1,2,?, 则a ? 5k

.

10.设随机变量 ξ 只可能取 5,6,7,??,16 这 12 个值,且取每个值的概率均相同,则 P(ξ ≥9)= ;P(6<ξ≤14)= . 三.解答题 11. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, 设随机变量 ? 表示所选 3 人中女生的人 数。 (1)求 ? 的分布列; (2)求“所选 3 人中女生人数 ? ? 1 ”的概率。

12.((2008 广东理)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获利分别为 6 万元、2 万元、1 万 元,而 1 件次品亏损 2 万元,设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即ξ 的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%. 如果此时要 求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

参考答案
再现型题组 ⒈ 【提示或答案】一定次序 ⒉ 【提示或答案】 (1) pi ? 0,(i ? 1, 2,?) 功概率 巩固型题组 ⒊解:首先列表如下:

p1 ? p2 ? ? ? pi ? ? ? 1

概率之和(2)成

X
2X+1 |X-1| 从而由上表得两个分布列如下: 2X+1 的分布列: 2X+1

0 1 1

1 3 0

2 5 1

3 7 2

4 9 3

1 0.2

3 0.1

5 0.1

7 0.3

9 0.3

P
|X-1|的分布列:

|X-1|

0 0.1

1 0.3

2 0.3

3 0.3

P

【点评】由于 X 的不同的值,Y=f(X)会取到相同的值,这时要考虑所有使 f(X)=Y 成立的

X1 , X 2 ,?, X i 等值,则 P(Y ) ? P( f ( X )) ? P( X1 ) ? P( X 2 ) ? ?P( X i ) ,在第(2)小题中充
分体现了这一点。 【变式与拓展】解: Y1 , Y2 分别是 X 的函数,而 X 函数关系可用表的形式表示出来,然后再 写出分布列。首先列出如下表格:

X

-2 -1 4

-1

0 0 0

1

2 1 4

3

Y1

?

1 2

1 2
1

3 2
9

Y2
P
从而由上表可得两个分布列

1

1 12

1 4
-1

1 3 ? 1 4 1 2

1 12
0

1 6 1 2 1 12

1 12
1

Y1 ?
P

1 X 2

1 12
0 1

1 3
9

1 6

3 2 1 12

Y2 ? X 2
P

4

1 3

1 3

1 4

1 12

⒋解:随机变量 ? 的可能取值为 1,2,3. 当 ? =1 时,即取出的三只球中最小号码为 1,则其他两只球只能在编号为 2,3,4,5 的四只

球中任取两只,故有 P( ? =1)=

C2 4 C3 5

=

6 3 = ; 10 5

当 ? =2 时,即取出的三只球中最小号码为 2,则其他两只球只能在编号为 3,4,5 的三只球中 任取两只,故有 P( ? =2)=
2 C3

C3 5

=

3 ; 10

当 ? =3 时,即取出的三只球中最小号码为 3,则其他两只球只能在编号为 4,5 的两只球中任 取两只,故有 P( ? =3)=
C2 2 C3 5

=

1 . 10

因此, ? 的分布列如下表所示:

?

1

2

3

P

3 5

3 10

1 10

【变式与拓展】解:每次取 1 件产品,∴至少需 2 次,即ξ 最小为 2,有 2 件次品,当前 2 次 取得的都是次品时, ? =4,所以 ? 可以取 2,3,4.

P( ? =2)= P( ? =3)=

8 7 28 × = ; 10 9 45 8 2 7 2 8 7 14 × × + × × = ; 10 9 8 10 9 8 45

P( ? =4)=1-

28 14 1 - = . 45 45 15

∴ ? 的分布列如下:

?

2

3

4

P 提高型题组

28 45

14 45

1 15

⒌解:设黄球的个数为 n,由题意知 绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中的总数为 7n. ∴

P(? ? 1) ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P (? ? 0) ? ? , P(? ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7
ξ 1 0 -1

所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为

P

4 7

1 7

2 7

说 明 : 在 写 出 ξ 的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为 1.
4 ⒍解:解法一: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2, 3) ,则 P ( A1 ) ? , 5 P ( A2 ) ? 3, 2 P ( A3 ) ? , 5 5

? 该选手被淘汰的概率
1 4 2 4 3 3 101 . P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125

(Ⅱ) ? 的可能值为 1, 2, 3 , P(? ? 1) ? P( A1 ) ? 1 , P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? 4 ? 2 ? 8 , 5 5 5 25
4 3 12 . P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25

? ? 的分布列为

?
P

1
1 5

2
8 25

3
12 25
5 5

3 解法二: (Ⅰ) 记 “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 的事件为 Ai (i ? 1, 则 P ( A1 ) ? 4 , 2, 3) , P ( A2 ) ? , P ( A3 ) ? 2. 5 5 5 5 125

? 该选手被淘汰的概率 P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 101 .
(Ⅱ)同解法一. 课堂小结 求随机变量的分布列,应按以下三个步骤进行: ( 1)明确随机变量的所有可能取值,以及取 每个值所表示的意义; (2)利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率; ( 3)按规 范形式写出分布列,并用分布列的性质进行检验。 反馈型题组 ⒎分析:本题极易被误认为是独立重复事件引起的随机变量的分布列即二项分布,事实上, 本题是不放回抽样,不是独立重复事件引起的分布列,不服从二项分布。 解:因 P(? ? 0) ?

C4

3 3

C10

?

C C 1 3 ,P(? ? 1) ? 6 34 ? 30 10 C10

1

2

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

C6 C4 C10 C6
3 3 3

2

1

? 1 6

1 2

C10

?

所以答对试题数 ? 的概率分布为:

?
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

⒏分析: ? 的取值有 1,2,3,4,5,在计算 P(? ? 5) 时极易出错。 解:当 ? ? k ( k ? 1,2,3,4) 时,服从几何分布, P(? ? k ) ? 01 . k ?1 ? 0.9 ;当 ? =5 时 就不同了,只要前 4 次射不中,都要射第 5 发子弹,不用考虑是否射中,故

P(? ? 5) ? 01 . 4 ? (0.9 ? 01 . ) ? 0.0001
所以耗用子弹数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.9

2 0.09

3 0.009

4 0.0009

5 0.0001

45 分钟单元综合检测题答案 1-6.CADDDC 7.

13 35

8.

1 3

9. 4

10.

3 2 , 4 3

11. 解: (1) ? 可能取的值为 0,1,2。 所以, ? 的分布列为

k 3? k C2 ? C4 P(? ? k ) ? , k ? 0, 1, 2 。 3 C6

?

0

1

2

P

1 5

3 5

1 5

(2)由(1) , “所选 3 人中女生人数 ? ? 1 ”的概率为

P(? ? 1) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ?

4 5



12. 解: (1) 依题意得, ξ 的所有可能取值为 6,2,1,-2. ξ =6,2,1,-2 分别对应抽取 1 件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件. 所以 P(? ? 6) ?

126 ? 0.63, 200 20 P(? ? 1) ? ? 0.1, 200

50 ? 0.25 , 200 4 P(? ? ?2) ? ? 0.02 , 200 P(? ? 2) ?

所以ξ 的分布列为

?
P

6

2

1 0.1

-2 0.02

0.63 0.25

(2) 1 件产品的平均利润为 Eξ =6 ? 0.63+2 ? 0.25+1 ? 0.1-2 ? 0.02=4.34 (3)设三等品率为 x,则二等品率为 0.29-x,此时ξ 的分布列为

?

6 0.7

2 0.29-x

1 x

-2 0.01

P

1 件产品的平均利润为 Eξ =6 ? 0.7+2 ? (0.29-x)+x-2 ? 0.01=4.76-x 令 Eξ =4.76-x ? 4.73,解得 x ? 0.03 =3%, 答:三等品率最多是 3%.


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