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高中数学必修2第二章专题辅导一


拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!

高中数学必修 2 第二章专题辅导一

平行

1. 平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 异面直线所成的角 ①方法: 3. 平行的定理 (1)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. ②步骤: ③范围: .

a // b ? ? a ? ? ? ? a // ? b ??? ?
(2)直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交 线平行.
?
l m

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
(3)平面与平面平行的判定定理:

a // ?

?

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

a ?? ? b?? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ? (4)平面与平面平行的性质定理:
①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.

? // ? , a ? ? ? a // ?

? ?
a

1
?
b

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

题型一 例1

异面直线所成的角 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,求异面直线 BA1 与 AC1 所成的角.

例 2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥ 平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF.

题型三 例3

平面与平面平行的判定与性质 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,

A1B1,A1C1 的中点,求证:
(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

2

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!

一、选择题 1. 已知直线 a,b,c 及平面 α ,β ,下列条件中,能使 a∥b 成立的是( A.a∥α ,b?α B.a∥α ,b∥α C.a∥c,b∥c )

D.a∥α ,α ∩β =b

2. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α ,CD?平面 α ,则直线 CD 与平面 α 内的直线的 位置关系只能是( A.平行 ) B.平行和异面 C.平行和相交 D.异面和相交 ( )

3. 设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m?α ,n?β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β 4. 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 二、填空题 5.一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为 原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值 为________. 三、解答题 B.2 C.1 D.0

(

)

6.如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,若 EF= 3,求 异面直线 AD、BC 所成角的大小.

3

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
7. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,

M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM
于 GH. 求证:PA∥GH.

8. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积.

9. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD =DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

10.(2015·上海二模)如图,在体积为 3的正三棱锥 A-BCD 中,BD 长为 2 3,E 为棱 BC 的中点,求:

(1)异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (2)正三棱锥 A-BCD 的表面积.

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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!

高中数学必修 2 第二章专题辅导一

1. 平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 异面直线所成的角 ①方法: 3. 平行的定理 (1)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. ②步骤: ③范围: .

a // b ? ? a ? ? ? ? a // ? b ??? ?
(2)直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交 线平行.
?
l m

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
(3)平面与平面平行的判定定理:

a // ?

?

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

a ?? ? b?? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ? (4)平面与平面平行的性质定理:
①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.

? // ? , a ? ? ? a // ?

? ?
a

5
?
b

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

题型一 例1

异面直线所成的角 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 解 (1)如图所示,连接 B1C,由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,

易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成 的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60°. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60°. (2)如图所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

AC⊥BD,AC∥A1C1,
∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,求异面直线 BA1 与

AC1 所成的角.
解析 如图,可补成一个正方体,

∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60°. 即 BA1 与 AC1 成 60°的角. 例 2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,

PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF.
证明 取 PD 中点为 M,连接 ME,MF,
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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
∵E 是 PC 的中点, ∴ME 是△PCD 的中位线, 1 ∴ME 綊 CD. 2 ∵F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形,AB 綊 CD, ∴ME 綊 FB,∴四边形 MEBF 是平行四边形,∴BE∥MF. ∵BE?平面 PDF,MF?平面 PDF,∴BE∥平面 PDF. 题型三 例3 平面与平面平行的判定与性质 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,

A1B1,A1C1 的中点,求证:
(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

一、选择题 1. 已知直线 a,b,c 及平面 α ,β ,下列条件中,能使 a∥b 成立的是( A.a∥α ,b?α 答案 解析 C 由平行公理知 C 正确,A 中 a 与 b 可能异面.B 中 a,b 可能相交或异面,D 中 a, B.a∥α ,b∥α C.a∥c,b∥c )

D.a∥α ,α ∩β =b

b 可能异面.
2. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α ,CD?平面 α ,则直线 CD 与平面 α 内的直线的 位置关系只能是( A.平行 ) B.平行和异面 C.平行和相交
7

D.异面和相交

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
答案 B

AB∥CD?
解析 ∵

AB?α ??CD∥α , CD?α ? ?

?

∴CD 和平面 α 内的直线没有公共点. 3. 设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m?α ,n?β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β 答案 解析 D D 中,易知 m∥β 或 m?β , ( )

若 m?β ,又 n∥m,n?β ,∴n∥β , 若 m∥β ,过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 p,则 m∥p,又 n∥m,∴n∥p,又 n?β ,

p?β ,∴n∥β .
4. 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 答案 解析 C ①中当 α 与 β 不平行时,也能存在符合题意的 l、m. B.2 C.1 D.0 ( )

②中 l 与 m 也可能异面.

l∥γ
③中

l?β

? ? ??l∥m,同理 l∥n,则 m∥n,正确. β ∩γ =m? ?

二、填空题 5.一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为 原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的 余弦值为________. 答案 解析 10 10 还原为正方体如图所示,BE∥CD,则∠EBA 就是异面直线 CD
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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
与 AB 所成的角或所成角的补角. 设正方体棱长为 2,则 BE=2 2,

BA= 5,AE=3.
所以在△ABE 中,由余弦定理得 8+5-9 10 cos ∠EBA= = . 10 4 10 三、解答题 6.如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,若 EF= 3,求 异面直线 AD、BC 所成角的大小.

解:

如图,取 BD 的中点 M,连接 EM、FM.

1 1 因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点,所以 EM 綊 AD,FM 綊 BC,则∠EMF 或其补角就是异 2 2 面直线 AD、BC 所成的角.

AD=BC=2,所以 EM=MF=1,
在等腰△MEF 中,过点 M,作 MH⊥EF 于 H, 1 3 在 Rt△MHE 中,EM=1,EH= EF= , 2 2 则 sin∠EMH= 3 ,于是∠EMH=60°, 2

则∠EMF=2∠FMH=120°. 所以异面直线 AD、BC 所成的角为∠EMF 的补角,即异面直线 AD、BC 所成的角为 60°. 7. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,

M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM
于 GH. 证明 求证:PA∥GH. 如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO,

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点,又 M 是 PC 的中点,

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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
∴AP∥OM. 则有 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, ∴PA∥GH. 8. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积. (1)证明 方法一 ∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.

又 EF=AD=BC,∴四边形 EFBC 是平行四边形, ∴H 为 FC 的中点. 又∵G 是 FD 的中点,∴HG∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. 方法二 连接 EA,∵ADEF 是正方形,∴G 是 AE 的中点.

∴在△EAB 中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (2)解 ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD,

且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4 2,CD +DB =BC ,∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD·BD=8 2, 1 1 ∴VF—ABCD= S?ABCD·FA= ×8 2×6=16 2. 3 3 9. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD =DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD.
2 2 2

又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD,
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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 ?1 ? 所以 S△PDE= S△PDC= ×? ×4×4?=4. 2 2 ?2 ? 1 1 8 又 AD=2,所以 VA—PDE= AD·S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中 点,所以 EM∥PA. 又因为 EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, 所以 PA∥平面 EDM. 1 所以 AM= AC= 5. 2 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5. 10.(2015·上海闵行二模)如图,在体积为 3的正三棱锥 A-BCD 中,BD 长为 2 3,E 为棱

BC 的中点,求:

(1)异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (2)正三棱锥 A-BCD 的表面积. 解:(1)过点 A 作 AO⊥平面 BCD,垂足为 O,则 O 为△BCD 的中心, 1 3 2 由 × ×2 ×3×AO= 3,得 AO=1. 3 4 又在正三角形 BCD 中,OE=1,所以 AE= 2. 取 BD 的中点 F,连接 AF,EF,故 EF∥CD,所以∠AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角. 在△AEF 中,AE=AF= 2,EF= 3,

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拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力!
所以 cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2 6 = . 2·AE·EF 4
6 . 4

所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的余弦值为

1 3 (2)由 AE= 2可得正三棱锥 A-BCD 的侧面积为 S=3× ×BC×AE= ×2 3× 2= 2 2 3 6,所以正三棱锥 A-BCD 的表面积为 S=3 6+ 3 2 ·BC =3 6+3 3. 4

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