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进才中学数学校本作业册答案 8章


上海市进才中学数学作业册

高二上册

§8.1 向
A组
1.既有 大小 又有 方向


模 。

的量叫做向量;向量的大小叫做向量的 不确定 。

2.长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 ,它的方向 3.方向 相同或相反 4. 方向相同且模相等

的两个非零向量叫做平行向量。 的两个向量叫做相等向量。

5.在图 1 中,做出以 A 为起点,与已知向量 BC 有关的向量 ① 与 BC 相等的向量 AD ; ② BC 的负向量 AE ③ 与 BC 模相等的向量终点的轨迹。 6. 已知非零向量 a 和 b , “ a ? b ”是“ a ? b ”的( B ) (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件。

C

?

A

B

B组
一、填空题 7.下列各量:“比重、位移、面积、力、加速度、功、质量”中为向量的是 7.位移、力、加速度 8.平行四边形 ABCD 中, O 是对角线 AC, BD 的交点, AO ? 8. OC ; OD ; BC 或 CB 或 DA
B 与 C 两点重合

。 , AD // 。 。

, BO ?

9. | AB | ? | AC | 的一个充分不必要条件是

10.已知 a 、 b 是任意两个向量,下列条件:① a ? b ;② a ? b ;③ a , b 的方向相反;④ a ? 0 或 b ? 0 ;⑤ a 与 b 都是单位向量,其中 a 与 b 平行的充分不必要条件是①③④. 11.在扇形 OAB 中, AB 弧长为

4? ? , ?AOB ? ,若 C 是弦 AB 的中点,则 | AC | ? 5 3

6 5



二、选择题 12.两个非零向量相等的必要不充分条件是 ( A ) (A)两个向量模相等 (B)两个向量方向相反 (C)两个向量模相等且方向相反 (D)两个向量起点和终点重合 13.给出下列命题: (1)平行向量一定相等; (2)不相等的向量一定不平行; (3)共线向量一定 相等; (4)相等的向量一定共线。其中正确命题的个数为 ( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 三、解答题 14.已知 D 、E 、F 分别是 ?ABC 的边 AB 、BC 、CA 上的点,且 AD : DB ? BE : EC ? AF : FC ,则 在图中的线段上,写出与 AD 平行的向量。 14.答案: DA , BA , AB , DB , BD , EF , FE

1

作业提供 葛 鸣

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15.写出下列命题的逆命题,并判别原命题和逆命题的真假: (1)若 | a | ? 0 ,则 a ? 0 ; (2)若 | a | ? | b | ,则 a ? b ; (3)若 | a | ? | b | ,则 a 与 b 是平行向量; (4)若 AB // CD ,且 | AB | ? | CD | ,则 AB ? CD 。 15.1)原命题、逆命题均真;2)原命题假,逆命题真; 3)原命题、逆命题均假;4)原命题、逆命题均假。 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, F 、 G 分别是 16.在 ?ABC 中, D 、 DB 、 EC 的中点,判别下列各式是否正确。 (1) DE ? FG ; (2) DE 和 FG 是平行向量;
B
F D

A

C
E 14 题图

(3) DE ? FG ; 16. (1)不正确。 DE 和 FG 的模不相等,为此它们必不是相等向量。 (2)正确。由平面几何知识可知 DE∥FG,所以 DE 和 FG 为平行向量。 (3)不正确。向量是无法比较大小的,只有向量的模可以比较大小。

C组
17.如图所示, E 、 F 、 G 依次是正 ?ABC 的边 AB 、 BC 、 AC 的中点。 (1)在以 A 、 B 、 C 、 E 、 F 、 G 为起点或终点的向量中, 是写出所有与 EF 平行的向量; (2)在以 A 、 B 、 C 为起点,以 E 、 F 、 G 为终点的向量中, 是写出所有与 GF 模相等的向量; (3)在以 E 、 F 、 G 为起点,以 A 、 B 、 C 为终点的向量中, 是写出所有与 EG 相等的向量; 17.解: (1) AG, GA, GC, CG, AC, CA, FE (2) AG, AE, BE, BF , CG, CF (3) FC

A
G

E

B

F

C

2

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§8.2 向量的加减法(1)
A组
1 .向量加法的平行四边形法则:以同一点 A 为起点的两个已知向量 a , b 为邻边作平行四边形

ABCD ,则 AC 就是 a 与 b 的和。
2.已知 A 、 B 、 C 、 D 是共面的四点, AB ? CD ? BC ? DA ? 0 3.一飞机向南飞行 90 千米,然后改变方向,向西飞行 90 千米,分别用 a 、 b 表示该飞机的前后 两段飞行,则飞机的飞行路程为 90 2 千米。 180 千米, a ? b 表示的实际意义是飞机向西南方向位移 ( C )

4.在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 (A) AB ? DC (C) AB ? AD ? BD 5.判断题: (1) a ? b ? b ? a (2) a ? b ? b ? a (3) 0 ? a ? a ( 对 ) ( 错 ) ( 错 ) ( 对 ) ( 错 ) (B) AD ? AB ? AC (D) AD ? CB ? 0

? ? (5) a ? ?? a? ? 0
(4) ? ? a ? a

B组
一、填空题 6.设 a 表示“向南走 3 km ” , b 表示“向西走 3 km ” ,则 a ? b 表示向 西南 走 7.化简: AB ? DE ? CD ? BC ? EA =____ 7. 0 8.若正方形 ABCD 的边长为 1,则 | AB ? AD ? AC | ? 8. 2 2 9.在 ?ABC 中, AB ? a , AC ? b ,若 | a | ? | b | ? | a ? b | ,则 ?ABC 为 9.等腰 10.已知 a ? b ? a ? b ? 1, 则 a ? b ? . 三角形。 。 __。
3 2

km 。

3
A F

11.已知 a 、 b 为非零向量,则使 | b | ? | a | ? | a ? b | 成立的充要条件是______________。 11. a 、 b 方向相反且 | b | ? | a | 12.如图,六边形为正六边形 ABCDEF ,有下列关于 AC 的表达式: ① BC ? CD ? EC ② FE ? BC ? DC ③ FE ? ED ④ FB ? BD 其中正确的表达式为(1) (2) (3) (4) 。
B C

E

D

二、选择题 13.平行四边形 ABCD 中, AC ? BD ? DA = (A) BC (B) DC (C) AB
3

( (D) DA



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13.A 14.下列各式中一定能成立的是 (A) | a | ? | b | ? | a ? b | (C) | a | ? | b | ? | a ? b | 14.A 三、解答题:

高二上册

( (B) | a | ? | b | ? | a ? b | (D) | a | ? | b | ? | a ? b |



15.试作出 (a ? b)+c 和 (a ? c) ? b ,并说明两者的关系。

a
b

c

15. ( a ? b ) ? c ? ( a ? c ) ? b 16.如图,质点 O 受到两个力 F1 和 F2 的作用,已知 ?F1OF2 ? 135? , | OF1 | ? 8 牛,| OF2 | ? 4 2 牛,求这两个力的合力 OF 的大小以及 OF 与 OF1 的夹角大小。 F2

2 2 ? 16.由余弦定理, | OF |2 ?| OF 1 | ? | OF 2 | ?2 | OF 1 || OF 2 | cos135 ? 144 ,

4 2 12 1 ? 所以 | OF |? 12 牛 ,又由正弦定理 ,则 ?FOF1 ? arcsin 。 ? sin ?FOF 3 sin 45 1

O

F1

C组
E、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 中点, G 是 ?ABC 的重心。 17.如图, ?ABC 中, D 、
求证: GA ? GB ? GC ? 0 。 A

D G B 17.证明:作 EH ? GE ,连接 BH、CH,则 GBHC 是平行四边形,则
GB ? GC ? GH ,由因为 GA ? 2GE, GH ? 2GE ,所以
GH ? GA ? 0 ,则 GA ? GB ? GC ? 0 。

F

E
A D G B E C

C

F

4

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§8.2 向量的加减法(2)
A组
1. AB = OB ? OA 。

a
2.化简 AB ? DA ? (?CB) = DC 。 3.请在左图中作出: (1) a ? b (2) a ? b ? c (1)

b

a b
(2) 4.已知菱形 ABCD 的边长为 2,则向量 AB ? CB ? CD 的模为 2 .

c

B组
一、填空题 5.化简 (AB ? CD ) ? ( BE ? DE) =__ ____。 AC 1 ____。
a ? b _ ; EC = __

6.已知 OA ? a, OB ? b, 且 | a | ?| b |? 1, ?AOB ? 60? ,则 | a ? b | =__ 7.已知 | AB |? 4, | AC |? 6 ,则 | BC | 取值范围为__
a ?b

_ [ 2 , 10] _

__。

8 .正六边形 ABCDEF 中,设 AB ? a, AF ? b ,则用 a 、 b 表示 BC = __ _ 。

二、选择题 9.在平行四边形 ABCD 中,下列等式成立的是 (A) AB ? CD ? AC ? BD (C) AB ? CD ? AC ? BD 9. D 10.下列式子中不能化简为 PQ 的是 (A) AB ? ( PA ? BQ) (C) QC ? QP ? CQ 10.D 三、解答题 (B) ( AB ? PC) ? ( BA ? QC) (D) PA ? AB ? BQ (B) AB ? CD ? AC ? BD (D) AB ? CD ? AC ? BD









11.如图,已知 a , b , c ,试作出 (a ? b) ? c 和 (a ? c) ? b ,并说明两者的关系。

a
11. (a ? b) ? c ? (a ? c) ? b

b

c

5

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12.已知平行四边形 ABCD 平面内的一点 O ,设 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,用 a, b, c 表示 OD 。 D C

A 12.在平行四边形 ABCD 中,
OD ? OC ? CD ? OC ? BA ? OC ? OA ? OB ? a ? c ? b 。

B O

D

C

A O

B

13.有一条东西向的河流,水流的速度是向东 3km/h,一条渡轮在静水中的速度是 6 km / h 。这条 渡轮由南向北渡河。 (1)如果船垂直于河岸开出,则船的实际航行速度与方向各是什么? (2)如果要求船实际航行的方向为正北方向,则船应向什么方向开行?船的实际速度是多少? 13.(1) 3 5km / h ,方向:北偏东 30? 。 (2)北偏西 30? ,实际速度为 3 3km / h 。

C组
14. a 、 b 均为非零向量,叙述下列等式成立的条件: (1) | a ? b | ? | a | ? | b | 成立的条件是 (2) | a ? b | ? | a | ? | b | 成立的条件是 (3) | a ? b | ? | a | ? | b | 成立的条件是 (4) | a ? b | ? | a | ? | b | 成立的条件是 (5) | a ? b | ? | a ? b | 成立的条件是 (5) a ? b ; ; ; ; 。

14.解: (1) a 、 (2) a 、 ( 3) a 、 (4) a 、 b 同向; b 方向相反; b 方向相反; b 方向相同,且 | a | ? | b | ;

6

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§8.3 实数与向量的乘积(1)
A组
1. 实数 ? 与向量 a 的乘积是一个向量,记作 ? a ,它的模和方向规定如下: (1) | ? a |? ; ;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 的方向 ;当 ? ? 0 时, (2)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 的方向

?a ?



2.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一的非零实数 ? ,使得 b ? ? a 。 3.如图,已知 a 、 b ,按下列要求作图: (1) 2a ? 3b ; (2) 2b ? 3a

a

b

4.边长为 2 的正方形 ABCD 中, AB ? 2 AD 的模为 2 5 . 5.判断题: (1) ?? ? ? ?a ? ? a ? ? a ,其中 ? , ? ? R 。 ( 对 )

? ? (3) ? ?a ? b? ? ? a ? ?b ,其中 ? ? R 。
(2) ? ? a ? ??? ?a ,其中 ? , ? ? R 。 6.与 a 同方向的单位向量 a0 ?

( 对 ) ( 错 )

1 a

a.

B组
一、填空题 7.若 | a | ? k , k ? 0 ,则 | k a | ? 7. k
2

。 。

8.设 a 、 b 是两个非零向量,且 a ? k b (k ? R) ,则 a 、 b 的关系是 8.平行 9.设 AB ? ?4a ? 3b , BC ? 2a ? 3b , OC ? 9. ? 3a ? 9b

3 AC ,若用 a 与 b 表示 OC ,则 OC ? __________。 2

10.在 ?ABC 中, AE 是 BC 边上的中线, AB ? a , AC ? b ,则 AE ? ______________。 10. (a ? b) 11.如图在 ?ABC 中, BD ?
1 2

A

1 DC , AE ? 3 ED ,若 AB ? a , 2
B D

E C

AC ? b ,则 BE ? __________。
11. b ? a
7
1 4 1 2

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12.已知 a 、 b 是两个不平行的非零向量,当实数 ? , ? 满足 ? ? ? ? 0 时,能使 ? a ? ?b ? 0 成立。 二、选择题 13.若 a0 、 b0 分别是与 a 、 b 同方向的单位向量,则“ a0 ? b0 ”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 13.B (A) ?1 m ? ?2 n (B) | ?1 | m? | ?2 | n (D)以上均不对 ( )

14.已知非零向量 a , b , | a | ? m , | b | ? n ,若向量 c ? ?1 a ? ?2 b ,则 | c | 的最大值为( (C) | ?1m ? ?2 n | 14.B 三、解答题 用向量 a , b 表示向量 AG ? EF 。 15.由题意, AG ? AD ? DG ? BC ? DC ? b ? a 且 EF ? EA ? AD ? DF ? ? a ? b ? a ? b ? a , 则 AG ? EF ? a ? 2b 。 16.在正六边形 ABCDEF 中,若 CA ? a , CE ? e ,用 a ,e 分别表示下列向量: (1) CF ; (2) AB ; (3) BC ; (4) CD 。
1 2
2 3 2 3 1 2 1 3 1 6



G 是 DC 的三等分点,设 AB 15.在平行四边形 ABCD 中, E 是 AB 的中点, F 、 =a, BC ? b ,试

16. (1)由题意 CA ? CB ? BA , CE ? CD ? DE 因为 CF ? BA ? DE 且 BC ? CD ? CO ,所以 CF ? (a ? b) ; (2) AB ? ? CF ? ? (a ? b) ; (3) BC ? AC ? AB ? ?a ? (a ? b) ? b ? a ; (4) CD ? AF ? CF ? CA ? (a ? b) ? a ? b ? a 。
2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3

A B C

2 3 F

.O
D

E

17.已知向量 a ,b 不共线,若实数 x 、 y 满足 3x a ? (10 ? y) b ? ( 4 y ? 7 ) a ? 2x b ,求 3 y ? x 的值。
47 ? x? ? ?3x ? 4 y ? 7 ?3x ? 4 y ? 7 1 ? 11 17.由题意可得 ? ,即 ? 可得 ? ,则 3 y ? x ? 。 16 11 10 ? y ? 2 x 2 x ? y ? 10 ? ? ?y ? ? 11 ?

C组
N 分别是 ?ABC 和 ?DEF 的重心,求证: AD ? BE ? CF ? 3MN 。 18.已知 M 、
证明: AD ? AM ? MN ? ND , BE ? BM ? MN ? NE , CF ? CM ? MN ? NF , 且 AM ? BM ? CM ? 0 , ND ? NE ? NF ? 0 。所以, AD ? BE ? CF ? 3MN 。

8

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§8.3 实数与向量的乘积(2)
A组
1.若非零向量 a ? k b ,且 a, b 同向,则实数 k 的取值范围为 1. k ? 0 2.已知 G 为 ?ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 。0 3.如图所示,正三角形 ABC 三边的中点分别是 A1 , B1 , C1 ,三角 形 A1 B1C1 三 边 的 中 点 分 别 为 A2 , B2 , C 2 , 则 A1C 2 ? 。

A

1 BA ; 4

C1
B2

A2 C2

B1

B1C1 ? ? 2 B2 C 2 。
4.已知 P 1 P ? 2PP 2 ,则 P 1P 2 ? -3

P2 P 。

B组
一、填空题

B

A1

C

5.已知 G 为 ?ABC 的重心, AD 为中线,若 CA ? BA ? ? AG ,则 ? ? ______________。 5. ?3

B、 C 三点共线,且 AB ? 2BC ,若 BC ? ? AC ,则 ? =______________。 6.已知 A 、
6.
1 3

D

N M

C

N, 7.如图,在平行四边形 ABCD 中, BC 和 CD 的中点依次为 M 、
设 AM ? a , AN ? b ,则 BC 用 a 、 b 表示为______________。 7. b ? a
4 3 2 3

A

B

M、 B 在同一直线上,且 AM ? 8.如图,点 A 、

1 AB ,设 OA ? a , 3


OB ? b , OM ? r ,用 a 、 b 表示 r ,得 r ?
8. a ? b 二、选择题
2 3 1 3

9.四边形 ABCD 中, AB ? 2DC ,则四边形 ABCD 的形状为 ( ) (A)梯形; (B)菱形; (C)平行四边形; (D)矩形。 9.A B、 C ,则“ A 、 B、 C 三点共线 ”是“存在不为零的实数 k ,使得 10.若平面上有不同的三个点 A 、 ( AB ? k AC ”的 (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件。 10.C 三、解答题 F 分别是 DC 和 AB 的中点,求证: AE // FC 。 11.已知平行四边形 ABCD , E 、 D A E )

C

B F 11.证明:∵ AE ? AD ? DE , FC ? FB ? BC 且 AD ? BC , DE ? FB 。∴ AE ? FC ,∴ AE // FC 。
9

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12.已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E ,
O 是任意一点,求证: OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE 。

12.证明:因为 OA ? OE ? EA , OB ? OE ? EB , OC ? OE ? EC , OD ? OE ? ED , 且 EA ? EC ? 0 , EB ? ED ? 0 ,所以 OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE 。 13.已知点 O 在四边形 ABCD 内,且 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d ,当 a ? c ? b ? d 成立时,四 边形 ABCD 是怎样的四边形? 13.因为 a ? c ? b ? d ,即 a ? b ? d ? c ,可得 BA ? CD ,则 ABCD 为平行四边形。

C组
14.已知向量 a, b 均为非零向量,且 a 与 b 不平行,

B、 D 三点共线; (1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3a ? 3b ,求证: A 、
(2)若向量 ma ? b 与 a ? mb 平行,求实数 m 的值。
B、 D 三点共线。 解: (1)证明:因为 BD ? BC ? CD ? 5a ? 5b ? 5 AB ,则 BD // AB ,所以 A 、

(2) 解: 若向量 m a ? b 与 a ? mb 平行, 则存在不为零的实数 ? 使得 ma ? b ? ? a ? ?mb , 所以 m ? ?1。

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§8.4 向量的坐标表示及运算(1)
A组 一、填空题
1.平面直角坐标系内, 始点在坐标原点 2.平面直角坐标系内, 单位向量,分别记为 的向量叫位置向量。 叫基本 方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量

i ? (1 , 0) 、

j ? (0 , 1)



3.平面直角坐标系内,若点 A(3 , 5) ,则向量 OA 的向量正交分解形式是 4.若 a ? ( x , y ) ,则向量 a 的模 | a |?

OA ? 3i ? 5 j



x2 ? y2



6) . 3) ,则终点 B 的坐标为 ( 4 , 5.已知 a ? (2 , 3) ,若始点 A 的坐标为 ( 2 ,

5) , a ? b = ( 4 , 3) . 6.已知 a ? (3, 4) , b ? (?1, 1) ,则 a ? b = ( 2 ,
7.已知 a ? (1, 2) , b ? (2 , ? 1) ,则 2a ? b = 5 .

3 4 3 4 ? 8.若 a ? 6i ? 8 j ,则 a 的单位向量为 i ? j或 ? i ? j . 5 5 5 5

B组 一、填空题
7 7 9.若 a ? 2b ? (?3, ,则 a ? b = (? , ) 。 (2 , 4) 1) , 2a ? b ? 5 5
6) ,如果 AB ? 4) ,点 B (4 , 10.已知点 A(?2 ,

1 10) 。 BC ,则点 C 的坐标为 (16 , 2

11.在直角坐标系平面上,已知 O 为原点, OA ? ?3,?1?, OB ? ?? 1,1? ,若 xOA + yOB ? 2 AB ,则 0 。 3) , B(?1, ? 2) , D 为 BC 的中点,则 4) , C (?3 , 12.已知△ ABC 的顶点坐标分别为 A( 2 ,
x? y=

? 2) 。 AD = (?4 ,
13.设 c ? 4a ? 二、选择题

1 3 34 5 34 b ,且 a ? (?2 , , ? )。 3) , c ? (1, ? 3) ,则与 b 反向的单位 b0 = ( 34 34 2

5) ,则 a 起点 A 的坐标为 ( B 14.已知 a ? (1, ? 2) ,若 a 终点坐标为 B(?3 , ? 7) A. (?4 , 7) B. (?4 , ? 7) C. ( 4 ,
7) D. ( 4 ,

)

? 3) 、 (?2 , 4) 、 (0 , 5) ,则 3a ? b ? c = 15.若向量 a 、 b 、 c 的坐标分别为 (1, ? 8) A. (?5 , 8) B. (?5 ,
11

( C

)

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? 8) C. (5 ,
16.下列向量中,不是单位向量的是 A. a ? tan? ? i ? cot? ? j C. a ? sin ? ? i ? cos? ? j

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0) D. (?5 ,
( A B. a ? cos? ? i ? sin ? ? j D. a ? )

m m2 ? n2

?i ?

n m2 ? n2

?j

三、解答题 17.在平面内以点 O 的正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴的正方向建立直角坐标系,质点在 平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标. (1) 向量 a 表示沿东北方向移动了 2 个长度单位; (2) 向量 b 表示沿西偏北 60 ? 方向移动了 3 个长度单位; (3) 向量 c 表示沿东偏南 30 ? 方向移动了 4 个长度单位. 答:(1) a ? ( 2 , 2 ) (2) b ? (? ,

3 3 3 ) 2 2

(3) c ? (2 3 , ? 2)

? 4) , B(5 , ? 12) ,且 O 、 A 、 B 是一个平行四边形的三 18.在直角坐标系中, O 为原点, A(?3 ,
个顶点,求另外一个顶点 D 的坐标. ? 8) 答: D (8 ,

C组
19.已知 a ? (1, 2) , b ? ( x , 1) ,若 a ? 3b 与 2a ? b 共线,求 x 的值 答: x ?

1 2

0) , (1, 2) , ( 4 , 5) ,且 OP ? OA ? t AB ,若点 P 在第二象 20.已知点 O 、 A 、 B 的坐标分别为 (0 ,
限,求 t 的取值范围 答: ?

2 1 ?t ?? 3 3

12

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§8.4 向量的坐标表示及运算(2)
A组
1.已知点 M (?3, , 7) ,用基本单位向量表示 OM ?

? 3i ? 7 j

;用坐标表示 OM ?

(?3, , 7)



2.若 M (6 , ? 2) , N (1 , ? 3) ,则向量 MN ?

(?5 , ? 1)



3. 在向量 a ? (2 , 1) 中相互平行的向量是 a与c、 b与d 。 ? 6) ,b ? (?5, ? 3) ,c ? (?1, 3) ,d ? ( ,

5 3

? 1) ,则点 P2 坐标为 (5 , ? 6) 。 4.已知 P1 (?3 , 4) ,若线段 P1 P2 的中点坐标为 (1,

11) 。 5.已知 P1 (2 , ? 1) , P2 (0 , 5) ,若 P 在 P 1 P ? 2 PP2 ,则点 P 为 (?2 , 1P 2 延长线上,使 P
? 45) 。 6.设向量 a ? (?40, 9) ,则与它方向相反而模为 205 的向量坐标为 (200 ,

B组 一、填空题
7.若 a ? (k 2 ? k ? 3)i ? (1 ? k ) j , b ? ?3i ? (k ? 1) j ,向量 a 与 b 共线,则 k = 1,-3,2 。

? 2) ,点 G ( 4 , 0) ,则点 D 的坐标为 (3 , 1) 。 8.已知 AD 为 ?ABC 的中线, G 为重心,点 A 为 (6 ,
9.已知 G1 、 G 2 分别是 ?ABC 和 ?ACD 的重心, G 是 G1 、 G 2 的中点,若 A 、 B 、 C 和 D 的坐

7 0) , ( 2 , 2) ,则点 G 的坐标为 (?3 , ) 。 5) , (?5 , 7) , (?10 , 标分别为 (0 , 2
3) , BC = (2 , ? 1) , OC 与 AC 反向,且 OC ? 10.已知 AB = (?4 ,

2 4 4 AC ,则点 C 坐标为 ( , ? )。 3 3 3
? 2 。 3

11. AD 为 ?ABC 的角平分线, | AB |? 2, | AC |? 1,设 BD ? ? CB ,则 ? 的值为

12.设 ?ABC 的重心为 G ,各边中点分别为 D 、 E 、 F ,则 GD ? GE ? GF ? 0 。 三、选择题 13.若 A(3,1), B(?2, a ? 1), C (8,11) 三点在同一直线上,则 a 的值为 A. –7 B. –8 C. –9 D. –10 ( B )

14.若非零向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 A. 充分非必要条件 C. 重要条件

x1 y ? 1 是 a 与 b 同向或反向的( A ) x2 y 2

B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
13

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15.若 A 、B 两点的坐标分别为 ( 4 , 1) 和 (?2 , 4) ,直线 AB 与 x 轴的交点为 P ,且 AP ? ? PB ,则 ? 的值是 A. –4 B. 4 C. ? ( C )

1 4

D.

1 4
( A )

16.设点 M 在向量 AB 所在直线上, 且 MA ? MB ,MA ? AB , 则 M 分 AB 的比为 ? , A. ? ? ?1 C. 0 ? ? ? 1 四、解答题 B. ? 1 ? ? ? 0 D. ? ? 1

17.已知 a ? (4 , 5) , b ? (3, 6) ,求实数 k ,使得 a ? k b 与 a ? 3b 平行. 答: k ? ?3 18.已知 2a ? 3b ? 6i ? 8 j , 3a ? b ? 9i ? 10 j ,求 a ? b . 答: a ? b ? 13

C (4,5) ,D 在 BC 上, 19. 已知 ?ABC 的顶点坐标为 A(3,4) ,B(?2,1) , 且 ?ABD 的面积是 ?ABC
面积的

1 .求 AD 的长 3

答: AD =

106 3

C组
2) ,则 20. 已知 O 、 A 、 M 、 B 为平面上四点,且 OM ? ?OB ? ?1 ? ? ?OA , ? ? (1,
( B )

A. 点 M 在线段 AB 上 B. 点 B 在线段 AM 上 C. 点 A 在线段 BM 上 D. O 、 A 、 M 、 B 四点共线 C 21.已知 A 、 B 、 、 D 是平面上任三点都不共线的四点, O 是异于 A 、 B 、 C 、 D 的任一点, 记 OA ? a , OB ? b , OC ? c , OD ? d ,求四边形 ABCD 为平行四边形的条件.
? ? ? ? 答: a + c = b + d

14

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§8.5 向量的数量积(1)
A组
1.若向量 a , b 的夹角为 ? (0 ? ? ? ? ) ,则 a ? b =___ | a | | b | cos ? __________. 2.若 | a |? 2 ,则 a ? a ? 4 。

3 3.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 ? ,则 a ? b = ? 3 2 . 4
4.设 | a |? 10 , | b |? 12 ,且 a 与 b 的夹角为 120? ,则 (3a ) ? ( b ) =-36. 5.在 ?ABC 中,已知 | AB |?| AC |? 4 且 AB ? AC ? 8 ,则此三角形的形状是等边三角形. 6.已知 a 是单位向量,且 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 4 ,则 | x | = 5 . 7.若 | a |? 4 , | b |? 5 , | a ? b |?

1 5

41 ? 20 3 ,则 a ? b = 10 3 .

B组
一、填空题 8.在△ ABC 中, AC ? 1 , AB ? 4 , AC ? AB ? 2 ,则△ ABC 的面积为 3 . 9.已知单位向量 a , b ,它们的夹角为

?
3

,则 | 2a ? b | 的值为 3 . 7 .

10.已知 a , b 满足 | a ? b |? 8 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b =

11.当非零向量 a , b 满足 | a |=| b | 时, (a ? b) ? (a ? b) 成立.
2 12.设 a , b , c 是任意的平面向量,给出下列命题:① (a ? b) ? c ? (c ? a) ? b ? 0 ;② | a | ? a ; 2 ③ ( a ? b) ? a ? b ; ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 | a |2 ?4 | b |2 , 其中是真命题的有②④.(写出所 2 2 2

有正确命题的序号) 二、选择题 13.已知 a , b , c 为不共线的非零向量,则下列等式中成立的是 A. | a | ?a ? (a) 2 C. a ? (b ? b) ? a ? (b) 2 14.若 | a |? 3 , | b |? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 A. 3 B. B. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) D. (a ? b) 2 ? (a) 2 ? (b) 2 ( C )

?
6

,则 | a ? b | 等于 D.

(

D )

3

C. 21

21

15

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( C )

15.若 a , b 是两个非零向量,则 | a ? b |?| a | ? | b | 是 a 与 b 平行的 A. 充分非必要条件 C. 充要条件 三、解答题

B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件

16.已知向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 , | a ? b |? 2 ,求 | a ? b | 。 答: | a ? b |?

6

17.已知 | a |? 2 , | b |? 1 ,若 (a ? k b) ? (a ? 3b) , a ? b ,求 k 的值。 答: k ? ?

4 3

C组
18.已知 | a |? 1, | b |? 2 , a 、 b 的夹角为 使 m // n ?并说明理由 答:存在, k ? ?6 19.已知向量 a 、 b 中至少有一个不为零向量,对于 a 、 b 及向量 c 、 d ,求函数

?
3

, m ? 3a ? b , n ? k a ? 2b ,是否存在实数 k ,

f ( x) ?| xa ? c |2 ? | xb ? d |2 ( x ? R ) 取得最小值时的条件.
答: f ( x) ?| xa ? c | 2 ? | xb ? d | 2 ? (| a | 2 ? | b | 2 ) x 2 ? 2(a ? c ? b ? d ) x ? (| c | 2 ? | d | 2 )

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ?

?

?

? ? ? a、b 至少有一个非零

? ? ? | a |2 ? | b |2 ? 0
? ? ? ? a ?c ?b ?d ? 时, f ( x) 有最小值. ?x ? ? ? 2 | a | ? | b |2

16

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§8.5 向量的数量积(2)
A组
1. 若 a // b ,则向量 a 与 b 夹角为 0 或? 。

2. 若 a ? b? | a || b |? 0 ,则向量 a 与 b 夹角为 3. 若 | a || b |? 1 ,则 a ? b 的取值范围是

?

。 。

[?1 , 1]

4. 已知 a ? 3i ? j , b ? ?2 2 i ? 2 j , a 与 b 夹角为 ? ,则 ? = ? 。

3 4

? 1) 。 5. 已知 a ? (?1, ? 3) , b ? (2 , ? 5) ,且 a ? c ? 5 , b ? c ? 1 ,则 c 的坐标为 (?2 ,

y B (0 , ) , C (x , y) , y) , 6. 平面上有三个点 A ( ?2 , 若 AB ? BC , 则 x 与 y 的关系式为 y 2 ? 8x 。 2
7. 已知 a ? (?1, 2) , b ? (3, ? 2) ,则 17a ? 11b 与 3a ? b 的夹角为 ? = 90 ? 。

B组
一、填空题

3) , C (?2 , ? 1) , B (?1, ? 5) ,则 ?BAC = ? ? arccos 8.已知 A (2 ,

2 。 10

3) ,若点 C 在 y 轴上且满足 AC ? BC ? 4 ,则点 C 坐标为 (0 , ? 1) , B (?1, 9.已知 A (2 , 1 ? 10 ) 。
10.已知 a ? (5 , m) , b ? (3, ? 1) ,若 a ? 3b 与 a ? b 互相垂直,则 m =-7 或 5。 11.若 2a ? 3b ? (20, ? 8) , ? a ? 2b ? (?11, 5) ,且 a 与 b 夹角为 ? ,则 ? = ? ? arccos

4 。 5

? 1) , B (3 , 2) , C (?3 , ? 1) , BC 边上的高为 AD ,则点 D 的 12.已知 ?ABC 的三个顶点 A (2 ,
1) 。 坐标 (1,
二、选择题 13.若 a ? ?2i ? j , b ? i ? 2 j ,则 a 与 b 夹角为 A. arccos ( D )

5 5

B. arccos

4 5

C. ? ? arccos

5 5

D. ? ? arccos

4 5
( D )

14.已知 a ? (m ? 3, m ? 1) , b ? (m ? 1, m ? 1) 且 a 与 b 垂直,则 m 的值为 A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或–2 ( A

15.已知向量 a ? (2 , 3) , b ? (?4 , 7) ,那么 a 在 b 方向上的投影为

)

17

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A.

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D.

65 5

B.

13 5

C.

65

13

16.已知直线 y ? 2 x 上的一点 P 横坐标为 a , 有两个点 A (?1, 那么使向量 PA 与 PB 1) ,B (3 , 3) , 夹角为钝角的一个充分非必要的条件是 A. ? 1 ? a ? 2 三、解答题 B. 0 ? a ? 1 C. ? ( B )

2 2 ?a? 2 2

D. 0 ? a ? 2

? ? ? ? ? ? 17.已知 a ? (?2 , 1) , b ? (?1, ? 2) ,求向量 a ? 2b 与向量 a ? 3b 夹角

3 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18.已知 a ? 3i ? 4 j , b ? 4i ? 3 j , c ? ma ? nb 且 c 垂直与 a ,| c |=1,求 m 、 n 的值
答: ? = ?

24 ? 24 ? m?? m? ? ? ? 35 ? 35 答: ? 或? ?n ? 5 ?n ? ? 5 ? ? 7 7 ? ? ? ? ? sin ? ) , b ? (cos ? , 19.已知 a ? (cos ? , ? sin? ) , ? ?[ ,? ] ,求: 2 ? ? ? ? ? ? (1) a ? b ;(2) a 与 b 的夹角;(3)当 ? 为何值时, a 与 b 垂直或平行.
? ? 答:(1) a ? b ? cos 2?
(2) 2? ? 2? (3) ? = ? ,垂直

3 4

??

?
2

或? ,平行

C组
20.已知 | a |? 1,| b |? 2 , a 、 b 的夹角为 答: arccos

?
3

,记 m ? 3a ? b , n ? 2a ? 2b ,求 m 与 n 的夹角。

1 7

21.设 O 是直角坐标系的原点, OA ? 2i ? 2 j ,OB ? 4i ? j ,在 x 轴上求点 P , 使 AP ? BP 最小, 并求此时的 ?APB 。

0) , AP ? BP 最小, ?APB ? arccos 答:当点 P (3 ,

10 10

18

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§8.6 平面向量的分解定理
A组
1. 若 a ? (?4 , 9) ,将向量 a 表示为 i , j 的线性组合:

a ? ?4i ? 9 j



2. 若 e1 ? (?2 , 1) , e2 ? (0 , 3) ,将向量 a ? (6 , 5) 表示为 e1 , e2 的线性组合 a ? ?3e1 ?

8 e2 。 3


3. 设 e1 , e2 是两个不平行向量, a ? ?8e1 ? 6e2 ,且 a ? xe1 ? ye2 ,则必有 x ? ?8 , y ? 6 4. 在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b , BC ? c ,则 CD ? b ? a ? c 。 5. 已知 ABCD 为平行四边形,若 AB ? a , AD ? b , E 为 CD 中点,则 EB =

1→ → a-b。 2

6. 设 c1 ? h1 a ? k1 b , c2 ? h3 a ? k 2 b , a 、 b 是不共线的非零向量,如 c1 ? c2 ? ma ? nb , 则 m = h1 ? h2 , n = k1 ? k 2 。 7. 已知 ?ABC 满足 AB ? AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则 ?ABC 的形状为直角三角形。

B组
一、填空题 8.在平行四边形 ABCD 中, E , F 为对角线 AC 的三等分点,设 AB ? a , AD ? b ,用 a 、 b 表 示 DF ,则 DF ?

2 1 a ? b. 3 3

9.设非零向量 e1 和 e2 不共线,当 k = ? 1 时, k e1 ? e2 和 e1 ? k e2 共线. 10.设平面上有一四边形 ABCD , AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,当

a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a 时,四边形 ABCD 的形状为矩形.
二、选择题 11.在五边形 ABCDE 中,设 AB ? a , AE ? b , BC ? c , ED ? d ,则 CD 等于( B ) A. a ? b ? c ? d C. a ? b ? c ? d B. ? a ? b ? c ? d D. a ? b ? c ? d

12. a 、 b 为不共线向量, AB ? a ? 2b , BC ? ?4a ? b , CD ? ?5a ? 3b ,则下列关系中正确 的是 A. AD ? BC B. AD ? 2BC
19

( B )

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C. AD ? ?BC

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D. AD ? ?2BC B )

13.已知 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2CD ,若 AB ? a , BC ? b ,则 AD 等于 ( A. 2a ? b B.

1 a?b 2

C.

1 a?b 2

D. b ? 2a ( D )

14.若 a ? b ? c ? 0 ,则 a 、 b 、 c A. 一定可以构成一个三角形 C. 都是非零向量时构成一个三角形

B. 一定不可以构成一个三角形 D. 都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
2 2
2

15.已知 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,满足 a ? 2b ? c ? b ? 2a ? c , c ? (a ? b) ? a ? b ? c ,则

?ABC 的形状为
A. 等腰三角形 C. 直角三角形 三、解答题

( D ) B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

16.梯形 ABCD 中,AB // CD , 且 AB ? 2CD ,M 、N 分别为 DC 和 AB 的中点, 已知 AB ? a ,

AD ? b ,用 a 、 b 表示 DC 、 BC 和 MN .
答: DC ?

1 1 1 a 、 BC ? b ? a 、 MN ? a ? b 2 2 4

17.已知一条由西向东的河流, 其水流速度为 1 千米/小时, 一艘小船在静水中速度为 5 千米/小时, 小船从南往北航行, (1) 若驾驶员保持小船航向为正北,求小船在渡河中的实际速度 (2) 若欲使实际航向为自南向北(即垂直于河流方向),驾驶员应保持怎样的航向?船的实际 航速是多少? 答:(1)

1 5 1 (2) 2 6 千米/小时,北偏西 arcsin 5
26 千米/小时,北偏东 arctan

C组
→ → → → 1. 一个物体在一个平面内受到三个力 F1 、 F2 、 F3 的作用下沿合力方向移动了 10 米,其中| F1 → → |=10,方向为北偏东 30 ? ,| F2 |=8,方向为北偏东 60 ? ,| F3 |=6,方向为北偏西 30 ? ,则合力 作的功为 20 5 ? 40 15 . 2.过 ?AOB 的重心 G 的直线与边 OA 、 OB 分别交于 P 、 Q ,设 OP ? k OA , OQ ? hOB ,则

1 1 ? = 3 . h k

20

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§8.7 平面向量的应用
A组
4) 。 1. 已知点 A (1, 7 ) , B (3 , 5) ,在 y 轴上求一点 P ,使 | PA |?| PB | ,则点 P 坐标为 (0 ,
→ → → 2. 已知 F1 = (5 , 1) 作用于同一质点,由 A (8 , 4) , F2 = (?2 , 0) 移动到点 B (20 , 15) ,合力 F 对质 点所做的功为 111。

? 1) , AC = (1, k ) ,若 ?ABC 为等腰直角三角形,则 k 的值为 1 。 3. 已知向量 AB = (2 ? k ,
4. 已知 ABCD 是等腰梯形, E , F 分别是两腰 BC 、 AD 的中点, M 、 N 是 EF 上的两个点, 且 EM ? MN ? NF ,下底 AB 长是上底 CD 长的 2 倍, AB ? a , BC ? b ,则,

AM ?

3? 1? a? b. 4 2

5. 某人在静水游泳时速度为 4 千米/小时,水的流向是由西向东,水流速度为 2 千米/小时,此人 必须朝与水流方向成 120 度角,才能沿正北方向前进.

B组
二、填空题 6.某人从点 A 出发,朝北行走一段路程达到 B 后折向东北方向,走到点 C 后再转向朝东方向最后 到达 D ,若 CD ? a , AB ? b , BC ? c ,则该人的实际位移为 a ? b ? c . 7.如图,墙上三角架的一端 D 处悬挂一个重 5 kg 的物体,则边 BD 的 受力情况是 5 3kg ,方向与 DB 相同.

A
30 ?

B
8.将二次函数 y ? x 2 的图像按向量 a 平移后得到的图像与一次函数

D
5 kg

0) . y ? 2 x ? 5 的图像只有一个公共点 (3 , 1) ,则向量 a ? ( 2 ,
二、选择题 9.在下列物理量:①物体 A 的质量为 m 千克;②物理受到重力为 G 牛顿;③物体 A 在重力作用下 发生位移,可作的功为 W 焦耳,其中向量的个数为 ( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.三个大小相等的力作用于同一点,欲使合力为零,则每两个力之间的角度为 ( A ) A.

2 ? 3

B.

?
3

C.

3 ? 4

D.

?
2
D )

11. ?ABC 的外心为 O ,垂心为 H ,已知 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则 OH ? ( A. a ? b ? c C. ? a ? b ? c B. a ? b ? c D. a ? b ? c
21

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?
3 ) 的图像,则向量 a 可以是( B
)

12.将函数 y ? sin 2 x 的图像按 a 平移后得 y ? sin(2 x ? A. ( , 0) 3 三、解答题

?

B. ( , 0) 6

?

C. (?

?
3

, 0)

D. (?

?
6

, 0)

13.帆船要从 A 处驶往正东方向 200 海里的 B 处,当时有自西北方向吹来的风,风速 15 2 海里/ 小时,如果帆船计划在 5 小时内到达目的地,问船该以怎样的速度和方向航行? 答: 5 34 海里/小时,北偏东

?
2

? arctan

3 5

14.已知 AD 、 BE 、 CF 分别是 ?ABC 的三条高,用向量证明: AD 、 BE 、 CF 相交于同一点. 答:设 AD 、 BE 交于点 H ,只需证 H 在 CF 上,且 CH ? AB ? 0 15.一架飞机从 A 地向北偏西 60 ? 的方向飞行 1000 km 到达 B 地,然后向 C 地飞行,设 C 地恰好 在 A 地南偏西 60 ? ,并且 A 、 C 两地相距 2000 km ,求飞机从 B 地到 C 地的位移. 答:位移大小为 1000 3 海里/小时,方向南偏西 30 ?

C组
16. 已知 F 与水平方向的夹角为 30 ? (斜向上), 大小为 50 N , 一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作 用在动摩擦系数 ? ? 0.02 的水平平面上运动了 20 m ,问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少? ( g ? 10m / s 2 ) 答: F 所做功为 500 3J , F 所做的功为-22 J 17. 已知平行四边形 ABCD ,E , F 为 AD 、CD 的中点,BE 、 分别交于 AC 与 R 、T , 判断 AR 、

RT 、 TC 之间的关系,并说明理由。
答: AR ? RT ? TC

22

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平面向量单元测验
一、填空题
1.已知向量 a ? (3, 2) ,则 a ? 。 。 三角形。 。 。 。 . 2.在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为 3.在 ?ABC 中, AB ? a , AC ? b ,若 | a | ? | b | ? | a ? b | ,则 ?ABC 为 4.已知向量 a ? (?3,1), b ? (?1, ? 3) ,则 3a ? b 的单位向量的坐标为 5.已知向量 a ? (2 ? y, ? 3), b ? (4, ? 1 ? y) ,且 a // b ,则 y ?

6.已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? s AC, 则 r ? s ?

M 为 BC 的中点, 7. 在平行四边形 ABCD 中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC , 则 MN ?
(用 a, b 表示) 8.设平面向量 a ? (?2,1), b ? (? ,?1), 若 a 与 b 的夹角是钝角,则 ? 的范围是 9.已知 a ? 3, b ? 5 ,则 2a ? 3b 的取值范围是_____ 。 。
[来

?

?

?

?



10.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则 AB AD ? 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 11.设 a, b, c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ① (a ? b)c ? (c ? a)b ? 0 ③ (b ? c)a ? (c ? a)b 不与 c 垂直 真命题是 (A)①② (B)②③ ② a ? b ? a ?b ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 中, ( (C)③④
? ?
2 2

)

(D)②④

12. ?OAB 中, OA ? a, OB ? b, OP ? p ,若 p ? t ( (A) ?AOB 平分线所在直线上 (C) AB 边所在直线上

a

?

|a| |b|
(B)线段 AB 中垂线上 (D) AB 边的中线上

?

?

b

?

) , t ? R ,则点 P 在

(

)

13.若将曲线 C1 : y ? f ( x) 平移到 C2 ,使得曲线 C1 上一点 P 的坐标由 (1,0) 变为 (2, 2) ,则 C2 的 方程是( ) (A) y ? f ( x ? 1) ? 2 (B)

y ? f ( x ? 1) ? 2

(C) y ? f ( x ? 1) ? 2

(D) y ? f ( x ? 1) ? 2

14.已知 O, A, B 三点的坐标分别为 O(0,0), A(3,0), B(0,3) ,是 P 线段 AB 上且

AP ? t AB (0 ? t ? 1) 则 OA ? OP 的最大值为
A.3 B.6 三、解答题(共 10+10+10=30分)
23

( C.9 D.12



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15. 在 ?ABC 中,已知 AB ? ? 2,3? , AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值.

16 .已知 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? , ) a 与 b 之间有关系 ka ? b ? 3 a ? kb ,其中

k ? 0,
(1)用 k 表示 a ? b ; (2)求 a ? b 的最小值,并求此时 a ? b 的夹角的大小。

17.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, AB ? 6, ?B ? 90 , D 是边 BC 的中点, BE ? AD 于 E 。 延长 BE 交 AC 于 F ,连接 DF 。求证: ?ADB ? ?FDC 。

24

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单元测验答案: 一、填空题
1.已知向量 a ? (3, 2) ,则 a ?

11

。 。-20 三角形。等边 。 (? , ) 。 5, ? 2 。0

2.在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为 3.在 ?ABC 中, AB ? a , AC ? b ,若 | a | ? | b | ? | a ? b | ,则 ?ABC 为 4.已知向量 a ? (?3,1), b ? (?1, ? 3) ,则 3a ? b 的单位向量的坐标为 5.已知向量 a ? (2 ? y, ? 3), b ? (4, ? 1 ? y) ,且 a // b ,则 y ?

4 3 5 5

6.已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? s AC, 则 r ? s ?

7.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC , M 为 BC 的中点,则 MN ? ______. (用 a, b 表示) ?

1 1 a? b 4 4
? ?
? ?

8 . 设 平 面 向 量 a ? (?2,1), b ? (? ,?1), 若 a 与 b 的 夹 角 是 钝 角 , 则 ? 的 范 围 是

1 (? ,2) ? (2,?? ) 。 2
9.已知 a ? 3, b ? 5 ,则 2a ? 3b 的取值范围是_____ 。 [9, 21] 。
[来

10.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则 AB AD ? 二、选择题 11.设 a, b, c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ① (a ? b)c ? (c ? a)b ? 0 ③ (b ? c)a ? (c ? a)b 不与 c 垂直 真命题是 (A)①② (B)②③ (C)③④
?

15 2

② a ? b ? a ?b ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 中, ( (D)②④
?
2 2

)D

12. ?OAB 中, OA ? a, OB ? b, OP ? p ,若 p ? t (

a

?

|a| |b|
(A) ?AOB 平分线所在直线上 (B)线段 AB 中垂线上 (C) AB 边所在直线上 (D) AB 边的中线上 13.若将曲线 C1 : y ? f ( x) 平移到 C2 ,使得曲线 C1 上一点 P 的坐标由 (1,0) 变为 (2, 2) ,则 C2 的方程 是( )A (A) y ? f ( x ? 1) ? 2 (B) y ? f ( x ? 1) ? 2 (C) y ? f ( x ? 1) ? 2 (D) y ? f ( x ? 1) ? 2 14.已知 O, A, B 三点的坐标分别为 O(0,0), A(3,0), B(0,3) ,是 P 线段 AB 上且

?

?

b

?

) , t ? R ,则点 P 在

(

A)

AP ? t AB (0 ? t ? 1) 则 OA ? OP 的最大值为
A.3 三、解答题 B.6 C.9 D.12



)C

15. 在 ?ABC 中,已知 AB ? ? 2,3? , AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值.
25

作业提供 葛 鸣

上海市进才中学数学作业册
答案: (1)若 ?BAC ? 90?, 即 AB ? AC,

高二上册

故 AB ? AC ? 0 ,从而 2 ? 3k ? 0, 解得 k ? ? (2) 若

2 ; 3
, 也 就 是

?BCA ? 90?,



BC ? AC

BC ? AC ? 0

,



3 ? 13 ; 2 (3) 若 ?ABC ? 90?, 即 BC ? AB , 也 就 是 BC ? AB ? 0, 而 BC ? ?? 1, k ? 3? , 故 11 ? 2 ? 3?k ? 3? ? 0 ,解得 k ? . 3 2 11 3 ? 13 综合上面讨论可知, k ? ? 或 k ? 或k ? . 3 3 2 16 .已知 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? , ) a 与 b 之间有关系 ka ? b ? 3 a ? kb ,其中

BC ? AC ? AB ? ?? 1, k ? 3?, 故 ? 1 ? k ?k ? 3? ? 0 ,解得 k ?

k ? 0,
(1)用 k 表示 a ? b ; (2)求 a ? b 的最小值,并求此时 a ? b 的夹角的大小。 解 (1)要求用 k 表示 a ? b ,而已知 ka ? b ?

3 a ? kb ,故采用两边平方,得

(3 ? k 2 )a ? (3k 2 ? 1)b k 2 ?1 a ?b ? ? 8k 4k
(2)∵ k ? 1 ? 2k ,即
2

2

2

k 2 ? 1 2k 1 ? ? 4k 4k 2
∴ ? =60°。

∴ a ? b 的最小值为

1 1 ,又 a ? b ? cos ? ? 2 2

17.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, AB ? 6, ?B ? 90 , D 是边 BC 的中点, BE ? AD 于 E 。 延长 BE 交 AC 于 F ,连接 DF 。求证: ?ADB ? ?FDC 。 以 B 点为原点,射线 BA 为 x 轴,射线 BC 为 y 轴建立直角坐标 系,则 A(6,0), B(0,0), C (0,6), D(0,3) ,设 DA 和 DB , DF 和 DC 的夹角分别为 ?1 ,? 2 。 设 AF ? ? FC ,则 F (

6 6? , ) 1? ? 1? ?

故 DA ? (6, ?3), BF ? (

3 6 6? , ) ,由 DA ? BF ,得 ? ? 2 ,则 F (2, 4) ,则 cos?1 ? cos? 2 ? 1? ? 1? ? 5

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作业提供 葛 鸣


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