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重庆市11中2012届高三下学期测试题1(数学理)


高 2012 级高三下数学测试题 1
一、选择题:
1. 复数 z=(1-2i) i

A.第一象限 2.某小区有 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收人家庭.现采用分 层抽样的方法从中抽取 100 户,对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查,则 中等收入家庭中应抽选出的户数为 A.70 户 B.17 户 C.56 户 D.25 户 3 3. 设 x ? R, 则 " x ? 1" 是 " x ? x " 的 ( )
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必 要条件 4. 甲、 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 则甲、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种 5. 在用数学归纳法证明

(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

的过程中: 假 时, 不等式
B.

设 当 也成立.若.
A. D.

成立, 则需证当 n=k+1 时, ( ,则 g(k) =
C.



6. 已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至 2 2 4 b 多有一个交点. K 范围是 ( ) ? 2 2? 1? ?1 ? 1 1? ? ? , A. B. D. ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? C. ?? ? ?? 2 , 2 ? 2? ?2 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2? ? 2 ? ? ?, ? ? ? , ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
, 的图象为 ( ) ,当 x=a 时, 取得最小值 b,则函数

7.函数

8. 设正方体 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上,动点 P、Q 分别在 AD 、 CD 上 EF=1,A E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z>0), ( ) 棱 , 若 则下列结论中错误的是 1 z 的变化无 A. B.三棱锥 P—EFQ 的体积与 y 的变化有关, EF//平面 DPQ 与 x、


C.二面角 P—EF—Q 所成角的最大值为 D.异面直线 EQ 和 AD1 所成角的大小与 x

的变化无关

9. 已知定义在 R 上的连续奇函数 f(x)满足 是增函数,有下列命题:①函数 f(x)的图象关于直线

,且在区间[0,2]上 对称;②函 数 f(x)的单调递增区间为 ; ③函数 f(x)在区间 (-2012,2012) 上恰有 1006 个极值点; ④若关于 x 的方程 f(x)—m=0 在区间[-8,8]上有根, 则所 有根的和可能为 0 或±4 或±8.其中真命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.设集合 S={1,2,3,4,5,6},定义集合对(A,B):: ,A 中含有 3 个 元素,B 中至少含有 2 个元素,且 B 中最小的元素不小于 A 中最大的元素.记满足 的集合对(A,B)的总个数为 m,满足 的集合对(A,B)的总个数 为 n,则 的值为(
(A) (B) ) (C) (D)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1 6 15 ,设 Sn ? x?1 ? x?2 ? ? x? n ,则 lim S n ? n ?? x 2 2 12. 设抛物线 x ? 12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点且点
11. 若 ( x x ? ) 展开式中的第 5 项是 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|= 13. . ,且 最大值____ 14. 已知点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个球面上,AB 丄平面 BCD,BC 丄 CD,若

, m的

AB=6,AC= 2 13 ,CD= 2 3 ,则 B 、 C 两点在此球面上的球面距离是____________. 15.函数 在[a,b]上连续,定义 ;其中

表示 f(x)在 D 上的最小值, 表示 f(x)在 D 上的最大值. 若存在最小正整数 k 使得 对任意的 成立,称函数 f(x)为[a,b]上的“k 阶收缩函数”.下列命题: ① ,则 ; ② ,则 ③ 为[1,2]上 的 1 阶收缩函数; ④ 为[1,4]上的 5 阶收缩函数. 其中你认为正 确的所有命题的序号为_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.函数 的周期为 ,其中 . ( 1 ) 求 的值及函数 f(x)的单调递增区间; ( 2 )在

中,内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b,c 若 a=

,c=2,f(A)=



求 b 的值.

17.春节期间,社区组织了一次“射击气球”趣味运动会.活动中,比赛规则如下:每

人只参加一场比赛,每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的 5 个气球,每次射击一个气球;若这 5 次射击中,④、⑤号气球都被击中,且①、 ②、③号气球至少有 1 个被击中,则此人获奖;否则不获奖.已知甲每次射击击中 气球的概率都为 ,且各次射击结果互不影响.
(1)求甲在比赛中获奖的概率;

(2)设甲在 5 次射击中击中气球的总个数为随机变量 ,求 的分布列及数学期 望.

18.图甲,

是边长为 6 的等边三角形,

,点 G 为 BC

边的中点,线段 AG 交线段 ED 于点 F.将 沿 ED 翻折,使平面 AED 丄平面 BCDE,连结 AB,AC ,AG,形成如图乙的几何体. ( 1 ) 求证:BC 丄平面 AFG (2)求 二面角 B—AE—D 的大小.

19.各项均为正数的等差数列

前三项的和为 27,且满足

.数列{bn}的前 的图象上. 的前 n 项和 恒成立,试求

n 项和为 Sn,且对一切正整数 n,点(n,Sn)都在函数
(1) 求数列 (3)设



的通项公式; (2)设 ,若

,求数列 对

? 的范围

20.动点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运 动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和。 (1)求点 P 的轨迹 C; (2)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

21.函数 f ( x) ?

1 2 x ? m ? ln 1 ? 2 x ? mx ? 2m(m ? 0) . 2
的单调区间; , 使 成立, 证明: 2m+e+l<0;

(1)当 m =-1 时,求函数 (2)

, 若存在
n

(3)证明: ?

8k ? 3 (n ? 1)(n ? 2) ? ln (n ? N ? ) . 2 2 k ?1 3k

参考答案 一、选择题 1-5 ACACB 二、填空题 11、1 12、8

6-10 ABBCA 13、1 14、

4? 3

15、②③④

20.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d, 当 P 点运动时, d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

2 2 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳由题设当 x>2 时,

由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

1 x, 2

化简得

x2 y 2 ? ? 1. 36 27
化简得 y ? 12 x
2

2 2 当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) ? y ? 3 ? x,

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 C2 : y2 ? 12x 在直 36 27

线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见 图1 (Ⅱ) 如图 2 所示, 易知直线 x=2 与 C1 ,C2 的交点都是 A (2,2 6 ) , B(2, ?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知 PF ? 6 ? 当点 P 在 C2 上时,由③知
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

1 x. 2 PF ? 3 ? x

④ ⑤

若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2

6 时,直线 I 与轨迹 C 的两
1 上,此时由④知∣MF∣

个交点 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 )都在 C = 6 -

1 x 2 1

∣NF∣= 6 -

1 x 2 2

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -

1 1 x1 )+ (6 x )=12 2 2 2

1 ( x1 + x2 ) 2 ? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?108 ? 0 则 x1 ,y1 ?1 ? ? ? 36 27 1 24k 2 12k 2 是这个方程的两根,所以 x1 + x2 = *∣MN∣=12 ( x1 + x2 )=12 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12 k2 12 100 MN ? 1 2? ? 1? 2 ? . 因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24, 2 1 3? 4 k 1 1 ?4 k2 当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

(2) 当 kE k? kN A ? A

时, 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ?, 2 6 ? k? 2 6 分 别 在 C1 , C2 上 , 不 妨 设 点 M 在 C1 上 , 点 C2 上 , 则 ④ ⑤ 知 , 1 MF ? 6 ? x1 , NF ? 3 ? x2 2 设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2. 1 1 MF ? 6 ? x1 ? 6 ? x0 ? EF , NF ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? AF 2 2 所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且 100 100 , 所以 M N ? 若直线 ? 的斜率不存在,则 k AE ? ?2 6 有 , (1)知 AE ? 11 11 x1 = x2 =3,此时 1 100 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 综上所述,线段 MN 长度的最大值为 2 11 11
w.w.w


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