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导学案035二元一次不等式


济宁学院附属高中高三数学一轮复习导学案

编号 033

班级:高三(



姓名:

二元一次不等式(组)及其简单的线性规划问题
考纲要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 考情分析 1.求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积、求目标函数的最值及简单的线 性规划实际应用问题是命题的热点. 2.题型多为选择、填空题,着重考查平面区域的画法及目标函数最值问题,注重 考查等价转化、数形结合思想. 教学过程 基础梳理 一、二元一次不等式表示平面区域 1.二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 某一侧的所有点组成的平面区域(半 平面), 边界直线. 不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面) 边界直线. 2.对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C 的值符号相 同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合 ; 而位于另一个半平面内的点,其坐标适合 3.可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0 +By0+C 的 来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. 4.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平 面区域的 .

二、线性规划中的基本概念 名称 约束条件 由变量 x,y 组成的 不等式(或方程)组成的不等式(组) 意义

线性约束条件 由 x,y 的

目标函数

关于 x,y 的函数

,如 z=2x+3y 等

1

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编号 033

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姓名:

线性目标函数

关于 x,y 的

解析式

双基自测

?x≥1, 1.(教材习题改编)已知实数 x、y 满足?y≤2, ?x-y≤0,
域的面积是 1 A.2 C.1 1 B.4 1 D.8 ( )

则此不等式组表示的平面区

?0≤x≤1, 2.(教材习题改编)设 x、y 满足条件?0≤y≤2, ?2x-y≥1.
( ) A.-1 C.3 B.1 D.4

则 t=2y-x 的最大值为

?y≤x+2, 3.在直角坐标平面上,不等式组 ?y≥0, ?0≤x≤t.
则 t 的值为 A.- 3或 3 C.1

5 所表示的平面区域的面积为 2, ( )

B.-5 或 1 D. 3

4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________.

2

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?x-y≥0, 5.设变量 x、y 满足约束条件?x+y≤1, ?x+2y≥1.
值为________.

则目标函数 z=5x+y 的最大

典例分析 考点一、二元一次不等式(组)表示平面区域

[例 1]

?y≥0, (2011· 湖北高考)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ?4x+3y≤20
x≥0, ) B.1 个 D.无数个

表示的

平面区域的公共点有 ( A.0 个 C.2 个

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域.注意不 等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试 点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点. 考点二、求目标函数的最值 [例 2] (2011· 广东高考)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D,由不等

?0≤x≤ 式组?y≤2, ?x≤ 2y

2, 给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为

3

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? ???? ??? ( 2,1),则 z= OM · 的最大值为 OA
A.4 2 C.4 B.3 2 D.3

(

)

变式 1.若本例条件不变,试求 z= 2x-y 的最小值.

1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域, 理解目标函数的意义. 2.常见的目标函数有 (1)截距型:形如 z=ax+by.求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直 线的斜截式: a z z y=-bx+b,通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. (3)斜率型:形如 z= y-b . x-a

注意转化的等价性及几何意义. 考点三、线性规划中参数的取值范围

?y≥x, (2011· 湖南高考)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1
值小于 2,则 m 的取值范围为 A.(1,1+ 2) C.(1,3)

下,目标函数 z=x+my 的最大

( B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

)

根据约束条件画出可行域如图所示,将目标

1 z 函数化为斜截式为 y=-mx+m,结合图形
4

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?y=mx, 可以看出当目标函数过 y=mx 与 x+y=1 的交点时取到最大值. 联立? ?x+y=1, m ? 1+m2 ? 1 得交点坐标为?m+1,m+1?.将其代入目标函数得 zmax= . m+1 ? ? 由题意可得 1+m2 <2,又 m>1,所以 1<m<1+ 2. m+1

?0≤x≤2, ? 变式 2. 已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ?kx-y+2≥0 ?
k 的值为(
A.1 C.1 或-3 ).

所表示的平面区域的面积为 4,则

B.-3 D.0

本题考查线性规划最值问题的应用, 解题的关键在于用数形结合思想确定何时取 得最大值,从而建立不等关系求参数 m 的范围.解此题时很多学生因为目标函 数中含参数而又无数形结合思想的应用意识感觉无从下手.

确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定 域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号, 把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测 试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就 表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常 选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

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一个步骤 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 两个防范 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. (2)求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的 斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值.要注意: 当 b>0 时, 截距 取最大值时, 也取最大值; z 截距 取最小值时, 也取最小值; z 当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值.

a b

z b

z b

z b

z b

z b

z b

本节检测

?x-y≤1, 1.已知变量 x,y 满足?2x+y≤5, ?x≥1,
A.4 C.6

则 Z=3x+y 的最大值为(

)

B.5 D.7

?x+2y-5≤0, 2.(2011· 山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?x≥0,
2x+3y+1 的最大值为( A.11 C.9 ) B.10 D.8.5

则目标函数 Z=

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3.若 Z=mx+y

?y-2x≤0, 在平面区域?2y-x≥0, ?x+y-3≤0
) B.1 D.0 或± 1

上取得最小值时的最优解有无穷多

个,则 Z 的最小值是( A.-1 C.0

?x-y-4≤0, 4.(2012· 海淀模拟)P(2,t)在不等式组? 表示的平面区域内,则点 ?x+y-3≤0 P(2,t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大值为( A.2 C.6 B.4 D.8
).

)

5. 下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的点是(
A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)

6. 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工
资每人 40 元,现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束条件是 ________.

自我反思

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