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山东省各市2012届高三数学(理)下学期模拟考试题分类解析--三角函数


山东省各市 2012 届高三数学(理)下学期模拟考试题分类解析 三角函数
1、(2012 滨州二模)函数 f(x)=sin( ? x ? ? )(其中 ? ? 0,| ? |? 为了得到 g(x)=sin ? x 的图象,可以将 f(x)的图象

?
2

)的图象如图所求,

? 个单位长度 6 ? (B)向右平移 个单位长度 3 ? (C)向左平移 个单位长度 6 ? (D)向左平移 个单位长度 3
(A)向右平移 答案:A 解析:由图可知函数的周期为:T= 4 ? ( =0,所以, sin(2 ?

?
3

? ? ) =0, 2 ?

?
3

7? ? 2? ? ? ) ?? ? ,所以 ? =2,当 x= 时,y 12 3 ? 3

? ? ? k? ,因为 | ? |?

?

所以,f(x)= sin(2 x ? 象右移

?

? 个单位长度可得到 g(x),选 A。 6
sin x

) ,g(x)= sin 2x , sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2 x ,所以将 f(x)的图 3 6 3

?

?

2

,所以 ? ?

?

3



2、(2012 滨州二模)函数 y= e

(- ? ? x ? ? )的图象大致为

答案:C 解析:当 0 ? x ? 减,所以 e
sin x

?
2

时,sinx 递增,所以 e

sin x

递增,排除 B、D,当

?
2

? x ? ? 时,sinx 递

递减,排除 A,所以选 C。

3、(2012 德州二模)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A.把 f ( x ) 的图象向左平移 B. f ( x ) 的图象关于点 (

?
3

) ,则下列结论正确的是

?
4

? 个单位,得到一个偶函数的图象 12

, 0) 对称

C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, D.f(x)的图象关于直线 x= ? 答案:A

?
6

] 上为增函数

?
3

对称

? 个单位,得到: 12 ? ? ? sin[2( x ? ) ? ] = sin(2 x ? ) ? cos 2 x ,这是一个偶函数,所以 A 正确。 12 3 2 ? ? ? ? 5? ? ? x ? ,所以, 当 x= 时,f(x)不等于 0,故 B 错误;由 ? ? 2 x ? ? ,得 ? 2 3 2 12 12 4 ? ? 在 [0, ] 既有增函数也有减函数,C 错误;当 x= ? 时,f(x)取不到最值,故 D 错。 6 3
解析:把 f ( x ) 的图象向左平移 4、(2012 德州一模)已知函数 y ? Asin( ? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,两条对 称轴间的最短距离为

? ? ,直线 x ? 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( 6 2 ? ? A. y ? 4 sin( 2 x ? ) B. y ? ?2 sin( 2 x ? ) ? 2 6 6 ? ? C. y ? ?2 sin( x ? ) ? 2 D. y ? 2 sin( x ? ) ? 2 3 3

)

答案:B 解析:依题意,得: ? 所以,周期 T= ? =

?A ? m ? 4 ? A ? ?2 ? ,解得: ? ,又两条对称轴间的最短距离为 , 2 ?? A ? m ? 0 ?m ? 2

x?

?
6

2? ,所以 ? =2,函数的解析式为: y ? ?2 sin( 2 x ? ? ) ? 2 ,由直线 ?

是其图象的一条对称轴, 2 ? 得:

?

6

? ? ? k? ?

?

2

? , ? k? ?

?

6

, k=0 时, ? ? 当 有

?

6



所以,选 B。 5、(2012 济南 3 月模拟)函数 y ? sin x sin( A.

?
2

? x) 的最小正周期是
D. 4π

π 2

B.

?
?
2

C. 2π

【答案】B 【解析】函数 y ? sin x sin(

? x) ? sin x cos x ?

1 sin 2 x ,所以周期为 ? ,选 B. 2

6、(2012 济南三模)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇 函数”. 给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ② f ( x) ? 2sin( x ?

?
4

);

③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ; ④ f ( x) ? 2 sin 2x ?1 . 其中“同簇函数”的是( A.①② 答案:C 解析:若为“同簇函数”,则振幅相同,将函数进行化简① f ( x) ? sin x cos x ? ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? 7、(2012 莱芜 3 月模拟) cos(? (A) B.①④ ) C.②③ D.③④

1 sin 2 x , 2

?
3

) ,所以②③振幅相同,所以选 C.

1 2

20π ) 的值等于 3 1 3 (B) (C) ? 2 2

(D) ?

3 2

【答案】C

20? 20? 2? 2? ? 1 ) ? cos ? cos( 6? ? ) ? cos ? ? cos ? ? ,选 C. 3 3 3 3 3 2 5 8、(2012 临沂 3 月模拟)在 ?ABC 中, a ? 4 , b ? , 5 cos(B ? C ) ? 3 ? 0 ,则角 B 的 2
【解析】 cos( ? 大小为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

5? 6

【答案】A

4 3 ,所以 sin A ? ,因为 a ? b ,所 5 5 5 4 ? a b b sin A 2 5 1 A ? B ,即 B 为锐角,由正弦定理知 ? 以 ,所以 sin B ? ? ? , sin A sin B a 4 2
【解析】由 5 cos(B ? C ) ? 3 ? 0 得 5 cos A ? 3, cos A ? 所以 B ?

?

6

,选 A.

9、(2012 临沂二模)函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图,设 P 是图象的最高点,

A、B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB 8 4 (A) 10 (B) 8 (C) (D) 7 7

【答案】B

? 个单位,此时函 ? 2? ?2 ,此时 ?( 数 为 y ? s i n x) , A 点 平 移 到 O 点 , 因 为 函 数 的 周 期 T ? ? 1 P ( ,1) A(0,0) B(2,0) , , , 所 以 2 1 3 1 3 1 PA ? (? ,?1), PB ? ( ,?1) PA ? PB ? (? ,?1) ? ( ,?1) ? , , 所 以 2 2 2 2 4
【解析】因为函数的平移不改编图象的大小,所以将图图象向右平移

cos?APB ?

1 4 5 13 ? 2 2

8

?

1 65

,所以 sin ?APB ?

8 65

,即 tan?APB ?

65 ? 8 ,选 1 65

B. 10、(2012 临沂二模)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 o 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km,

B 船在灯塔 C 北偏西 40 o 处, A 、 B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为
____________km。 【答案】 6 ? 1
0 0 0 【解析】 由题意知,?ACB ? 80 ? 40 ? 120 , AC ? 2,AB ? 3 ,设 B 船到灯塔 C 的距 2 2 2 0 离 为 x , 即 BC ? x , 由 余 弦 定 理 可 知 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos120 , 即

1 9 ? 4 ? x 2 ? 2 ? 2 x(? ) , 整 理 得 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 , 解 得 x ? ?1? 6 ( 舍 去 ) 或 2

x ? ?1? 6 。
1 ? π 1 ? π x, x ? [? , ] , x0 ? ,x0 ? [? , ] , sin 2 2 2 2 2 2

11、 (2012 青岛二模) 已知函数 f ( x) ? cos x ? 那么下面命题中真命题的序号是 ① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [? A.①③ 【答案】A 【解析】 因为 sin x 0 ?

② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 C.②③ D.②④

?
2

, x0 ] 上是增函数
B.①④

π 2

? ? ? 1 1 ,x 0 ? [ ? , ] , 所以 x0 ? 。 函数的导数为 f ' ( x) ? ? sin x , 2 2 6 2 2

1 ? ? ? ? 1 ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 ? ? x ? ,此时 2 2 2 2 6 2 1 ? ? 1 函数单调递增,由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 2 2 2 2
由 f ' ( x) ?

?

6

?x?

?

2

,此时函数单调递减,所以①③正确,选 A. .

12、(2012 青岛二模)若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? 【答案】 【解析】

13、(2012 青岛 3 月模拟)将函数 y ? sin( x ? 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移

sin ? cos ? tan ? 2 2 ? ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 ? 1 5 ?
3

2 5

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

1 ? A. y ? sin( x ? ) 2 3
答案:D 【解析】 y ? sin( x ?

B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 3 1 1 ? C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 2 2 6

?

) ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin ? ? x ? ? ? ? ? sin ? x ? ? . 3 2 3 3 ? 3? 6? ?2 ?2 ?

1

?

?1 ?

?? ??

?1

??

14、 (2012 日照 5 月模拟)要得到函数 y ? 3 cos( 2 x ? 的图象 (A)沿 x 轴向左平移 (C)沿 x 轴向左平移 答案: 解析: y ? 3 cos( 2 x ?

?
4

) 的图象,可以将函数 y ? 3 sin 2 x

? 个单位 4

? 个单位 8

(B)沿 x 向右平移 (D)沿 x 向右平移

? 个单位 4

? 个单位 8

?
4

) ? 3 sin[

?

? (2 x ? )] ? 3 sin( 2 x ? ) ? 3 sin 2( x ? ).选A. 2 4 4 8

?

?

?

15、(2012 泰安一模)函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ? ( A, ? , ? 为常数,A>0, ? >0)的部

分图象如图所示,则 f ?

?? ? ? 的值是 ?6?



.

【答案】

6 2

【解析】由图象可知 A ?

2 ,

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ? ,? ? 2 ,所以 4 12 3 4 ?

7? ? 7? ? ? ? ? 7? ? ? ? ? ? 2 sin? ? ? ? ? - 2 ,所以 ? f ?x? ? 2 s i n2x ? ? ? , f ? ? ? 2 sin? 2 ? 12 ? 12 ? ? ? ? 6 ? ?? ? sin? ? ? ? ? 1 ?6 ?
, 所 以

??

?
3







?? ? f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 3? ?



? 3 6 ? ? ?? ? 2? ? . f ( ) ? 2 sin? 2 ? ? ? ? 2 sin? ? ? 2 ? ? 6 6 3? 2 2 ? ? 3 ?
16、(2012 烟台二模)已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值 为 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

答案:B 解析:依题意,得: tan ? =

1 2 tan ? 4 1 , tan 2? ? = = 。 2 1 3 2 1 ? tan ? 1? 4

17、(2012 烟台二模)函数 y=x+sin x , x ? ???, ?? 的大致图象是

答案:C 解析: 函数 y 是非奇非偶函数, 故排除 B、 又因为 x ? ???, ?? 时 x+sin|x|≥x 恒成立, D; 所以,其图象应在 y=x 的上方。A 错,选 C。 18、 (2012 滨州二模) 在△ABC 中, 内角 A、 C 的对边分别为 a、 c, B、 b、 已知 a2+b2=6abcosC, 且 sin2c=2sinAsinB。 (I)求角 C 的大小; (II)设函数 f(x)=sin ? ? x ? 离为 ? ,求 f(A)的取值范围。

? ?

??

? - cos?x ,且 f(x)图象上相邻两最高点间的距 6?

解析:(I)因为 a2+b2=6abcosC,由余弦定理知,a2+b2=c +2abcosC, 所以,cosC=

2

c2 2 ,又因为 sin2c=2sinAsinB,则据正弦定理,得:c =2ab 4ab
1 ? c2 = ,因为 0<C< ? ,所以 C= 。 3 4ab 2

所以,cosC=

(II)f(x)=sin ? ? x ? 由已知,得:

? ?

??

3 ? 3 sin ? x - cos ?x = 3 sin(? x ? ) , ? - cos?x = 2 3 2 6?

? ? ,所以 ? =2,则 f(A)= 3 sin(2 A ? ) ? 3 ? 2? ? 因为 C= ,所以 0<A< ,- <2A< ? 3 3 3
故根据正弦函数的图象,得: ?

2?

?

3 3 ? f ( A) ? 3 ,故 f(A)的取值范围是 (? , 3] 2 2

19、(2012 德州二模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a、b、c,已知向量

m ? (cos A , cosB ),n ? ( , 2 ? b ), m//n. a c 且
(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 4, 求?ABC 面积的最大值。 解析:(I) 因为 m//n.,所以, a cos B ? (2c ? b) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:

sin A cos B ? (2sin C ? sin B) cos A ? 0 ,
所以 sin A cos B ? 2sin C cos A ? sin B cos A ? 0 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , 所以,sin(A+B)=2sinCcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinC=2sinCcosA,因为 0<C< ? ,所以 sinC>0, 所以 cosA=

1 ? ,又 0<A< ? ,所以 A= 。 2 3
2 2 2

(2)由余弦定理,得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 16= b ? c ? bc ? bc ,所以 bc≤16,
2 2

当且仅当 b=c=4 时,上式取“=“,

所以,△ABC 面积为 S=

1 bc sin A ≤4 3 , 2

所以△ABC 面积的最大值为 4 3

20、(2012 德州一模)已知函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ( x?R) 2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0,

π ] 上的值域; 2

(Ⅱ)在 ? ABC 中, A、 C 所对的边分别是 a、 c, f( 角 B、 b、 又 的面积等于 3,求边长 a 的值. 解析:(I)因为 f(x)= 当 x ? [0,

A ? 4 ? ) ? ,b ? , 2 B ?C A 2 3 5

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) ,故最小正周期 T= ? , 6 2 2

π ? ? 5? 1 ] 时, 2 x ? ? [? , ] ,故所求的值域为: [ ? ,1] 2 6 6 6 2 A ? 4 4 3 (II)因为 f ( ? ) ? ,所以 cos A ? ,sin A ? , 2 3 5 5 5 1 3 因为 S= bc sin A ,b=2,sinA= ,S=3,所以 c=5 2 5 4 2 2 2 由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A =4+25-2×2×5× , 5
所以 a ? 13

21 、 ( 2012 济 南 3 月 模 拟 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 且 满 足 cos

? A 2 5 ??? ???? , AB ?AC =3. ? 2 5
(1) 求△ABC 的面积; (2) 若 c=1,求 a、sinB 的值.

?2 5? 3 【答案】解:(1) cosA=2× ? ? 5 ? -1= 5 ,??????????????????2 分 ? ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 3 而 AB?AC ?| AB |? AC | cosA= bc=3,∴bc=5????????4 分 | 5 4 又 A∈(0,π ),∴sinA= ,???????????????5 分 5 1 1 4 ∴S= bcsinA= ×5× =2. ???????????????6 分 2 2 5
(2) ∵bc=5,而 c=1,∴b=5.???????????????????8 分 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 -2bccosA=20,a= 2 5 ????????????10 分

2

4 b sin A a b 5 ? 2 5 .?????12 分 又 ,∴sinB= ? ? a 5 sin A sin B 2 5 5?

22 、 2012 济 南 三 模 ) 已 知 函 数 f ( x) ? (

3a s i n ? b c o s x ? x (

?
3

) 的图象经过点

? 1 7? ( , ), ( ,0). 3 2 6
(1)求实数 a, b 的值; (2)求函数 f (x) 的周期及单调增区间. 解析: (1) ? 函数 f ( x) ?

3a sin x ? b cos( x ?

?

? 1 7? ) 的图象经过点 ( , ), ( ,0), 3 3 2 6

? 3 1 a?b ? ? 3? ? 2 2 ?? ?? 3 a ? 3 ? 0 ? 2 2 ?

解得: a ? 1, b ? ?1

(2)由(1)知: f (2 x) ? 3 sin 2 x ? cos(2 x ? 函数 f(x)的周期 T ? ?

?
3

)?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

π π π π 2π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤2x≤2kπ + 2 6 2 3 3 即函数的增区间 ?k? ?

k∈Z.

? ?

?
6

,2k? ?

??
3? ?

k∈Z.

23、(2012 莱芜 3 月模拟)已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,向量

?? m ? (a ? c, b ? a) , ? n ? (a ? c, b) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 C 的大小;
2 (Ⅱ)若向量 s ? (0,?1), t ? (cos A,2 cos

B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2

解:(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (a ? c, b ? a) ? (a ? c, b) ? a2 ? c2 ? b2 ? ab ? 0 ,…2 分
2 2 2 即 c ? a ? b ? ab .

?? ?

……3 分.

由余弦定理得 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

? 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

.

????????5 分

2 (Ⅱ)? s ? t ? (cos A,2 cos

B ? 1) ? (cos A, cos B) , 2

????????6 分

? ?2 2? ? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 ( ? A) 3

?

1 ? cos 2 A ? 2

1 ? cos(

4? ? 2 A) 1 3 3 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 2 4 4

???????8 分 ????????10 分

1 ? ? ? sin(2 A ? ) ? 1 . 2 6 ?0 ? A ?
所以

2? ? ? 7? 1 ? ,? ? ? 2 A ? ? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 3 6 6 6 2 6
????????12 分

1 ? ?2 5 2 ? ? 5 ? s ? t ? ,故 . ? s?t ? 2 4 2 2

24 、 ( 2012 青 岛 二 模 ) 已 知 向 量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) , 设 函 数

f ( x) ? m ? n ,若函数 g (x) 的图象与 f (x) 的图象关于坐标原点对称.
(Ⅰ)求函数 g (x) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值,并求出此时 x 的值; ? 4 6?
3 , 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角,若 f ( A) ? g ( A) ?

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.
解:(Ⅰ)由题意得: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 1 ? 所以 g ( x ) ? ? ? sin( 2 x ? ) 2 6 ?
因为 x ? ??

?????????????????????2 分 ??????????????????3 分

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,函数 g (x) 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 . 2 ? 4 6?

?????????????????6 分

(Ⅱ)由 f ( A) ? g ( A) ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?

3 ? ? 3 得: 1 ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 2 6 6 2

?
2

1 2

,解得: A ?

?
3

????????????????9 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . ?????????????????????????12 分

25、(2012 青岛 3 月模拟)已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

a 2 ? b2 ? 6ab cos C ,且 sin 2 C ? 2sin A sin B .
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(? x ? 为 ? ,求 f ( A) 的取值范围. 解:(Ⅰ)因为 a ? b ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a ? b ? c ? 2ab cosC
2 2 2 2 2

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离

c2 所以 cosC ? . 4ab
又因为 sin C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2ab ,
2 2

所以 cosC ? 所以 C ?

c2 2ab 1 ? ? , 4ab 4ab 2

?
3

.

(Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? , 因为 C ? , B ? 3 3 2 2 ? ? ? 2? 所以 ? A ? , 0 ? 2 A ? ? . 6 2 3 3

2?

?

根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 .

26





2012





f ( x) ? 3 sin ?x ? cos( ?x ?
周期为 ? 。

?
3

5

















) ? cos( ?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0, x ? R) ,且函数 f (x) 的最小正

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;
??? ??? 3 3 ? ? (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f ( B) ? 1, BA ? BC ? , 2

且 a ? c ? 4 ,试求 b 的值。
2

解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ? 又 T ? ? ,?? ? 2, ∴ f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1, ????????3 分

?
6

) ? 1.

??????????5 分

(Ⅱ) f ( B) ? 2 sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ? 1,? sin( 2 B ?

?
6

) ? 1.

∴ 2B ? 解得 B ? k? ?

?
?
6

? 2k? ?

?
2

, (k ? Z ).

6

( k ? Z ). 又 B 是 ?ABC 的内角,? B ?

?
6

.?????????8 分

而 BA.BC ? ca cos B ?
2 2

??? ??? ? ?

3 3 ,? ac ? 3 ????????????????10 分 2

又 a ? c ? 4,?a ? c ? 10.

?b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? 10 ? 3 3 .

????????????????12 分

27、(2012 威海二模)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos

2

?x ?

3 ( ? ? 0 ), 2

直线 x ? x1 , x ? x2 是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为 (I)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 8

原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区

间 ? 0,

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? 2? ?

解:(Ⅰ)

1 1+ cos 2? x 3 1 3 ? f ( x) ? sin 2? x ? 3 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) , 2 2 2 2 2 3
-------------------------------------------3 分 由题意知,最小正周期 T ? 2 ? ∴ f ( x) ? sin(4 x ?

?
4

?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 2? ? 2
-----------------------------------------6 分

?
3

)

? ? 个单位后,得到 y ? sin(4 x ? ) 的图象,再将所得图 6 8 ? 象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 6 ? 所以 g ( x) ? sin(2 x ? ). -------------------------9 分 6 ? ? ? 5 令 2 x ? ? t ,∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? t ? ? 6 2 6 6 ? ?? g ( x) ? k ? 0 ,在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2?
(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个

1 1 ? ?? ?0, 2 ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知 ? 2 ? ?k ? 2 或 ?k ? 1 ? ? 1 1 ? k ? 或 k ? ?1 . 2 2

∴?

-------------------12 分

28、(2012 烟台二模) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 向 量

m ? ? 2b ? c,cosC? ,n ? ? a,cos A? , 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 2sin B ? cos ?
2

?? ? ? 2B ? 的值域. ?3 ?

解析:(I) 因为 m//n.,所以, a cos C ? (2b ? c) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:

sin A cos C ? (2sin B ? sin C) cos A ? 0 ,

所以 sin A cos C ? 2sin B cos A ? sin C cos A ? 0 即 sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A , 所以,sin(A+C)=2sinBcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinB=2sinBcosA,因为 0<C< ? ,所以 sinB>0, 所以 cosA=

1 ? ,又 0<A< ? ,所以 A= 。 2 3

(2)在锐角三角形 ABC 中,A=

? ? ? 。故 <B< , 3 6 2

y=2sin2B+cos(

? 1 3 -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 2 3 2

=1+

1 ? 3 sin2B- cos2B=1+sin(2B- ) 2 6 2

? ? ? ? 5? <B< ,所以, <2B- < 6 6 2 6 6 1 ? 所以, <sin(2B- )≤1, 2 6
因为 所以,函数 y ? 2sin B ? cos ?
2

3 ?? ? ? 2B ? 的值域.为( ,2] 2 ?3 ?


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