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北京市石景山区2016届高三第一次模拟考试(数学文)


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5

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 A

r />
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1 题号 9 10 1 答案 12 13 14

2 3, y ??

2 x 2

10

2

c?a?b

? ?? ? ?0? ?2 ,

6

(第 9 题第一空 2 分, 第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设公比为 q ,则 a2 ? q , a3 ? q ,
2

…………1 分

∵ a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项, ∴ 2a2 ? a1 ? (a3 ?1) , 2q ? 1 ? (q ?1) ,
2

……………3 分 ……………5 分 .……………6 分

解得 q ? 2 或 q ? 0 (舍), ∴ an ? 2
n ?1


n?1

(Ⅱ) bn ? 2n ?1 ? an ? 2n ?1 ? 2


n?1

则 Sn ? [1 ? 3 ????(2n ?1)] ? (1 ? 2 ????2

) ? n2 ? 2n ?1.

.……………13 分

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,
6

.……………2 分 在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0, π ) ……………4 分 .……………6 分 .……………8 分
2

?B ?

π . 3

(Ⅱ)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,
2

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 9 ? a ? 4a ? 2a ? (2a ) ? cos

π , 3

.……………10 分 解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 . 17.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由直方图可知: .……………13 分

(0.1 ? 0.2) ?1? 20 ? 6 , (0.25 ? 0.2) ?1? 20 ? 9 , (0.1 ? 0.05) ?1? 20 ? 3 .
所以这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为 6 个, 9 个, 3 个. .……………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知拥堵路段共有 6 ? 9 ? 3 ? 18 个,按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个,每种情 况分别为:

6 6 6 ? 6 ? 2 , ? 9 ? 3 , ? 3 ? 1 ,即这三个级别路段中分别抽取的个数为 2 , 3 , 18 18 18
.……………8 分

1.

A2 ,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1 , B2 , B3 , (Ⅲ)记(Ⅱ)中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A 1,
选取的 1 个严重拥堵路段为 C , 则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下:

( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B1 , C) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , C) , ( B3 , C) 共 15 种可能, ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C) , ( A2 , B1 ) , 其中至少有 1 个轻度拥堵的有: ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C) 共 9 种可能.
∴所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为

9 3 ? . 15 5

.……………13 分

18.(本小题共 14 分)
7

解:(Ⅰ)证明:由直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 , 得 BB1 ∥ DD1 , BB1 ? DD1 , ∴ BB1D1D 是平行四边形,∴ B1D1 ∥ BD ∵ BD ? 平面 A 1BD , B1 D1 ? 平面 A 1BD , ∴ B1D1 ∥平面 A 1BD ..……………4 分 ..……………2 分

(Ⅱ)证明:∵ BB1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ? AC . 又∵ BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B , ∴ AC ? 平面 BB1D1D . ∵ MD ? 平面 BB1D1D ,∴ MD ? AC . .……………7 分 .……………9 分

(Ⅲ)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1D1D . ……………10 分 证明如下: 取 DC 的中点 N ,D1C1 的中点 N1 , 连接 NN1 交 DC1 于 O ,连接

OM ,如图所示.
∵ N 是 DC 的中点, BD ? BC , ∴ BN ? DC . 又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 平面 ABCD ⊥平面 DCC1D1 , ∴ BN ? 平面 DCC1D1 由题意可得 O 是 NN1 的中点, ∴ BM ∥ ON 且 BM ? ON , 即四边形 BMON 是平行四边形. ∴ BN ∥ OM . ∴ OM ? 平面 DCC1D1 . ∵ OM ? 平面 DMC1 ,∴平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D 19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? e ? 2 ,
x

..……………12 分

.……………14 分

令 f ?( x) ? 0 解得 x ? ln 2 ,
8

ln 2) 上单调递减,在 (ln 2 , +?) 上单调递增, 易知 f ( x ) 在 (?? ,
故当 x ? ln 2 时, f ( x ) 有极小值 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 (Ⅱ)令 g ( x) ? e ? x ,则 g ?( x) ? e ? 2 x ,
x 2 x

...……………4 分 ...……………5 分

由(Ⅰ)知 g ?( x) ? e ? 2x ? f ( x) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,
x

? ?) 上单调递增, 所以 g ( x) 在 (0 ,
所以 g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 , 所以 e ? x .
x 2

..……………8 分
x 2
x 2

(Ⅲ)方程 f ( x) ? e ? 2 x ? kx ? 2 x ,整理得 e ? kx , 当 x ? 0 时, k ?

ex . x2

...……………9 分

ex 令 h( x ) ? 2 , x
则 h?( x) ?

e x ? x 2 ? e x ? 2 x e x ( x ? 2) ? , x4 x3

...……………10 分

令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,

2) 上单调递减,在 (2 , ? ?) 上单调递增, 易得 h( x) 在 (0 ,
所以 x ? 2 时, ? ( x) 有最小值 ? (2) ?

e2 , 4

...……………12 分

而当 x 越来越靠近 0 时, ? ( x) 的值越来越大, 又当 x ? 0 ,方程 f ( x) ? kx ? 2 x 无解,
2

所以 k ?

e2 . 4

...……………14 分

20. (本小题共 13 分)

0 , 解:(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以点 ? 3 ,

?

? ?

3, 0 为焦点,长半轴长为 2 的椭

?

9

圆,故曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

...……………3 分 ...……………4 分

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. 因为直线 l 过点 E ? ?1,0? , 所以可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍).

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 由条件得 ? 4 整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
? ? (?2m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其中 y1 ? y2 . 解得 y1 ? y2 ?

2m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?4 m ?4

...……………7 分

则 y2 ? y1 ?

4 m2 ? 3 , m2 ? 4
1 m2 ? 3
...……………10 分

则 S?AOB ?

1 2 m2 ? 3 2 OE y2 ? y1 ? ? 2 2 m ?4 m2 ? 3 ?

2 t ? 3, 设 t ? m ? 3 ,则 g (t ) ? t ? ,

1 t

? ? 上为增函数,所以 g (t ) ? 则 g (t ) 在区间 ? 3 , ?

?

4 3 . 3

所以 S?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时等号成立,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 . 2
....……………13 分

所以 S?AOB 的最大值为

【注:若有其它解法,请酌情给分】
10

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