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导数练习题(B) 1. (本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的 图 象 如 图 所 示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 , 求函数 f (x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ?

r />f (x) 与 y ?

1 f ?( x) ? 5x ? m 3

的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间; ( II ) 函 数 f (x) 的 图 象 的 在 x ? 4 处 切 线 的 斜 率 为
3 , 若函数 2

1 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 3 2

3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; (II)若方程 f ( x) ? ?
( 2a ? 3) 2 9

恰好有两个不同的根,求 f (x) 的解析式;

| (III) (II) 对于 中的函数 f (x) , 对任意 ?、? ? R , 求证: f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 .

4. (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f (x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数.

5. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

6. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)ex 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最大值和最小值.
2

7. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)求函数 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.

8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ?
27 2 x2

,试证明:对任意两个不

相等正数 x1、x2 ,不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 | 恒成立.

9. (本小题满分 12 分)
1 2 (I)讨论函数 f (x) 的单调性;

已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

(II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

10. (本小题满分 14 分)
1 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求

已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 实数 a 的取值范围; (II)若 a ? (1, e] (e ? 2.71828?) ,设 F ( x) ? 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

f ( x) ? g ( x) ,求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,

11. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) f ?( x) 表示 f ( x) 导函数. , (I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一 的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) .

12. (本小题满分 14 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) , (I)令函数 f ( x) ? F (3,log2 (2x ? x2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; (II)令函数 g ( x) ? F (1,log2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使 得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y) ? F ( y, x) .

导数练习题(B)答案 1. (本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的 图 象 如 图 所 示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 , 求函数 f (x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ?
f (x) 与 y ?

1 f ?( x) ? 5x ? m 3

的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 解:函数 f (x) 的导函数为 …………(2 分) f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b ' (I)由图可知 函数 f (x) 的图象过点(0,3) ,且 f (1) ? 0 得
?d ? 3 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?d ? 3 ?? ?c ? 0

…………(4 分)

(II)依题意

f ' (2) ? ?3

且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 …………(8 分) (III) f ?( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9 .可转化为: x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 ? ?x 2 ? 4x ? 3? ? 5x ? m 有三个 不等实根,即: g ?x? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点; g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x
g ?? x ?
g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?

2 3

?2 ? 4 ? ,? ?3 ?

4

?4, ?? ?
+ 增

+ 增

0 极大值



0 极小值

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . …………(10 分) ? 3 ? 27 当且仅当 g ? 2 ? ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, ? ? ? 3 ? 27 故而, ? 16 ? m ? 68 为所求. …………(12 27

分)

2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间; ( II ) 函 数 f (x) 的 图 象 的 在 x ? 4 处 切 线 的 斜 率 为
1 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 3 2

3 , 若函数 2

m 的取值范围.

解: (I) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) x ? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为0,1?, 减区间为1,??? ?

(2 分)

? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为1,???, 减区间为 0,1?; ? 当 a=0 时, f (x) 不是单调函数
(II) f ' (4) ? ?

(5 分)

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 (6 分) 3 2 ? g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数 且g ' (0) ? ?2 ,

? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.

?m ? ?3, 19 (8 分)? ? 19 (10 分) m ? ( ? ,?3) ? 3 ?m ? 3 , ?

(12 分)

3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; (II)若方程 f ( x) ? ?
( 2a ? 3) 2 9

恰好有两个不同的根,求 f (x) 的解析式;

| (III) (II) 对于 中的函数 f (x) , 对任意 ?、? ? R , 求证: f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 . 解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b, f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3

? f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3),

由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? 2a ? 3 ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 所以 ? 2a ? 3 ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ;
3 3

………

…(4分) (II)由下表:
x
f ?(x)
f (x) (??,1)

1

(1,?

2a ? 3 ) 3

?

2a ? 3 3

(?

2a ? 3 ,??) 3

+ 递增

0 极大 值
?a?2

递减

0 极小值
a?6 (2a ? 3)2 27

递增 ,解得: a ? ?9 ………

依题意得:

a?6 ( 2a ? 3) 2 ( 2a ? 3) 2 ? ? 27 9

所以函数 f (x) 的解析式是: f ( x) ? x3 ? 9x2 ? 15x …(10分) (III)对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有: f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2
f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74

函数 f ( x)在区间[?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, 所以 | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 . ……… …(14分) 4. (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f (x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数. 解: (I) f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,得 f (x) 的单调递增区间是 (0,?? ) , …………(2 分) ∵a ? 0 ,∴ f (a) ? f (0) ? 1 ,∴e a ? a ? 1 ? a ,即 ea ? a . …………(4 分)
2a 2a )( x ? ) 2 2 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a (II) g ?( x) ? 2 x ? a ? 2 x x 2a 2a 2a (0, ) ( ,?? ) x 2 2 2 g ?(x) 0 + 2( x ?
g (x)

,列表

单调递减

极小值

单调递增
2a a a ) ? (1 ? ln ) ,无极大值. 2 2 2

当x?

2a 2

时,函数 y ? g (x) 取极小值 g (

…………(6

分)
?e 2 a ? e a 由(I) ea ? a ,∵? a ? ?a ? 2 ?

,∴e2a ? a ,∴e a ?
2

2a 2

g (1) ? 1 ? 0 , g (e a ) ? e 2 a ? a 2 ? (e a ? a)(e a ? a) ? 0

…………(8 分)

2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 (ii)当 2a ? 1 ,即 a ? 2 时 2 a 若 (1 ? ln a ) ? 0 ,即 2 ? a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2 a 若 (1 ? ln a ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 存在一个零点 x ? e ; 2 2 若 a (1 ? ln a ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 存在两个零点; 2 2 综上所述, y ? g (x) 在 (1, ea ) 上,我们有结论:

(i)当

当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x) 无零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有一个零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有两个零点. …………(12 分) 5. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围; 解: (I)当 k ? 1 时, f ?( x) ? 2 ? x
x ?1

f (x) 定义域为(1,+ ? ) ,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 ,

………………(2

分) ∵ x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 , 当 ∴ f ( x)在(1,2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴ x ? 2 时, f ( x) 取最大值 f (2) ? 0 当 ………………(4 分) (II)① k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 图象有公共点, 当 ∴ 函数 f ( x) 有零点, 不合要求; ……………… (8 分)
1? k k(x ? ) 1 1 ? k ? kx k ?k ? ?? ② k ? 0时 , f ?( x) ? 当 ………………(6 x ?1 x ?1 x ?1 令 f ?( x) ? 0, 得x ? k ? 1 ,∵x ? (1, k ? 1)时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? 1 , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k

分)

∴ f ( x)在(1,1 ? 1 ) 内是增函数, 在[1 ? 1 , ??) 上是减函数,
k k

∴ f ( x) 的最大值是 f (1 ? 1 ) ? ? ln k ,

∵ 函数 因此,若函数 f ( x) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) .……………… (10 分) 6. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)ex 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最大值和最小值.
2

k f ( x) 没有零点,∴? ln k ? 0 , k ? 1 ,

解: (I)由 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)ex 可得
2

f ?( x) ? (2x ? a)ex ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)ex ? [ x2 ? (2 ? a) x ? a ? 3]e x ……(4 分)

∵x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,∴ f ?(2) ? 0 ∴(a ? 5)e2 ? 0 , 解得 a ? ?5 …………… 分) (6 (II)由 f ?( x) ? ( x ? 2)( x ? 1)e x ? 0 ,得 f (x) 在 (??,1) 递增,在 (2,?? ) 递增, 由 f ?( x) ? 0 ,得 f (x) 在在 (1,2) 递减 ∴ f (2) ? e 2 是 f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最小值;
2
3 7 3 f ( ) ? e2 2 4

……………(8 分)

, f (3) ? e 3 ∵ f (3) ?
2

3 7 3 1 3 3 f ( ) ? e 3 ? e 2 ? e 2 (4e e ? 7) ? 0, f (3) ? f ( ) 2 4 4 2

∴ f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最大值是 f (3) ? e 3 . 7. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)求函数 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值. 解: ) f ( x) ? x 2 ? 4x ? 16ln x , (Ⅰ
16 2( x ? 2)( x ? 4) ? x x 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?2 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?

……………(12 分)

2分

注意到 x ? 0 ,所以函数 f (x) 的单调递增区间是(4,+∞) 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0 ,解得-2< x <4, 注意到 x ? 0 ,所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (0,4] . 综上所述,函数 f (x) 的单调增区间是(4,+∞) ,单调减区间是 (0,4] 2 2 (Ⅱ )在 x ? [e, e ] 时, f ( x) ? x ? 4x ? (2 ? a) ln x
2 ? a 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ? , x x 设 g ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 2 ? a

6分

所以 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?

当 a ? 0 时,有△=16+4× (2 ? a) ? 8a ? 0 , 2 此时 g ( x) ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 , f (x) 在 [e, e 2 ] 上单调递增, 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a 当 a ? 0 时,△= 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 , 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 x ? 1 ? 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 , ① 1? 若

8分

2a 2a 或 x ? 1? ; 2 2 2a 2a 解得1 ? . ? x ? 1? 2 2

2a ≥ e 2 ,即 a ≥ 2(e 2 ? 1) 2 时, 2 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递减,所以 f ( x) min ? f (e 2 ) ? e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a .

2a ? e 2 ,即 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时间, 2 2a 2a 2 f (x) 在区间 [e,1 ? ] 上单调递减,在区间 [1 ? , e ] 上单调递增, 2 2 2a a 2a 所以 f (x) min ? f (1 ? ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ). 2 2 2 2a ③ 1? 若 ≤ e ,即 0 ? a ≤2 (e ? 1) 2 时, f (x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递增, 2 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

② e ? 1? 若

综上所述,当 a ≥2 (e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? a 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a ; 当 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? 当 a ≤ 2(e ? 1) 2 时, f ( x) min 8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ?
27 2 x2

a 2 2 ? e ? 4e ? 2 ? a

2a ); 2

14 分

,试证明:对任意两个不

相等正数 x1、x2 ,不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 | 恒成立. 解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ?
a 2x ? 6x ? a ? x x
2



………………(2 分) ………………(4 分) ………………(6

∵ f ( x) 在 x ? (2, ??) 上不具有单调性,∴ x ? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, 在 ... 即二次函数 y ? 2x2 ? 6x ? a 在 x ? (2, ??) 上有零点
2

∵y ? 2x2 ? 6x ? a 是对称轴是 x ? 3 ,开口向上的抛物线,∴y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 的实数 a 的取值范围 (??, 4) 分)

(II)由(I) g ( x) ? 2x ? a ?
x

2 x2



方法 1: g ( x) ? f ?( x) ?

2 a 2 ? 6 ? 2 x ? ? 2 ( x ? 0) , 2 x x x a 4 4 4 2 x3 ? 4 x ? 4 ∵a ? 4 ,∴g ?( x) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? ,…………(8 分) x x x x x3 设 h( x) ? 2 ? 42 ? 43 , h?( x) ? 83 ? 12 ? 4(2x4? 3) x x x x4 x 3 3 3 38 h( x) 在 (0, ) 是减函数,在 ( , ??) 增函数,当 x ? 时, h( x) 取最小值 2 2 2 27 38 38 38 ∴ 从而 g ?( x) ? ,∴( g ( x) ? x)? ? 0 ,函数 y ? g ( x) ? x 是增函数, 27 27 27 38 38 x1、x2 是两个不相等正数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 27 27 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ? ∴g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ,∵x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 27 27



g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 ,即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 | ? x1 ? x2 27 27

………………(12 分)

方法 2:

M ( x1 , g ( x1 )) 、 N ( x2 , g ( x2 )) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两相异点,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2( x1 ? x2 ) a ? 2? ? 2 2 x1 ? x2 x1 x2 x1 x2
?2 ?

,? x1 ? x2 ? 2

x1 x2

,a ? 4 ………(8 分)

2( x1 ? x2 ) a 4 a 4 4 ? ? 2? ? ?2? ? 2 3 3 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 1 x1 x2

设t ?

, t ? 0 ,令 kMN ? u(t ) ? 2 ? 4t 3 ? 4t 2 , u?(t ) ? 4t (3t ? 2) ,

由 u?(t ) ? 0 ,得 t ? 2 , 由 u?(t ) ? 0 得 0 ? t ? 2 ,
3 3

2 2 ? u (t ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数, 3 3 2 38 g ( x ) ? g ( x2 ) 38 ? u(t ) 在 t ? 处取极小值 ,?u(t ) ? 38 ,∴ 所以 1 ? x1 ? x2 27 3 27 27

即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 |
27

……………… (12 分)

9. (本小题满分 12 分)
1 2 (I)讨论函数 f (x) 的单调性;

已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

(II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有 (1) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? x ? a ? 2分

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? x x x

( x ? 1) 2 . 故 f (x) 在 (0,??) 单调增加. x (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0.

(i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则 f ' ( x) ?

, 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1)
(1,??) 单调增加.

(iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得f ( x)在(1, a ? 1)单调减少, 在(0,1), (a ? 1,??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x ? x.
a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故 ? ?1,当 0 ? x1 ? x2 时,有 ? ? ?1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ? x1
1 2

由 g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

10. (本小题满分 14 分)
1 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求

已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 实数 a 的取值范围; (II)若 a ? (1, e] (e ? 2.71828?) ,设 F ( x) ? 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. 解: (I) f ?( x) ? x ? , g ?( x) ? a ? 1 ,
a x

f ( x) ? g ( x) ,求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,

…………… (2

分) ∵ 函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴ x ?[1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 当 即 (a ? 1)( x2 ? a) ? 0 恒成立, ∴?
? a ? ?1 ?a ? ? x

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x
? a ? ?1 ?a ? ? x
2

……………(4 分)

在 x ?[1,3] 时恒成立,或 ? 2

在 x ?[1,3] 时恒成立, ……………… (6

∵?9 ? x ? ?1 , a ? ?1 或 a ? ?9 ∴ 分) (II) F ( x) ? 1 x2 ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? a ? (a ? 1) ? ( x ? a)( x ? 1)
x a ?1 ∵F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 2 x

∴F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数 ∴ x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ? 1 , 当
2

当 x ? a 时,F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? 1 a2 ? a ,
2

……………… 分) (8 ……………… (10 分)

∵x1 , x2 ?[1, a] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m ∴ 设 G (a) ? M ? m ? a 2 ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ?1 ,
1 2 1 2

1 a ∴G?(a) ? a ? ln a ?1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴G?(a) ? G?(1) ? 0 1 1 ∴G(a) ? a 2 ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 2 2

∴[G?(a)]? ? 1 ? ,∵a ? (1, e] ,∴[G?(a)]? ? 0

………………(12

分)
1 2 1 (e ? 1) 2 ?1, ∴G(a) ? G(e) ,即 G(a) ? e ? e ? ? 2 2 2 1 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴G(a) ? M ? m ? 1 而 e2 ? e ? ? 2 2 2 2 ∴ x1 , x2 ?[1, a] 时, 当 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

……………… (14

分) 11. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) f ?( x) 表示 f ( x) 导函数. , (I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一 的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) . 解: (I) f ?( x) ? ? e ?
1 x 1 ? ex 1 ? 0 ,得 x ? x e
1 (0, ) e

当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 变化情况如下表:
x

1 e

1 ( , ??) e

f ?( x )
f ( x)

+ 单调递增

0 极大值

- 单调递减 …………(4

∴当 x ? 1 时,
e

1 f ( x) 取得极大值 f ( ) ? ?2 ,没有极小值; e

分) (II) (方法 1)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴ ? e ? 即 x0 ln
1 x0 ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) x ?x x ,∴ 2 1 ? ln 2 ? 0 x2 ? x1 x0 x1

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 x x / g ( x1 ) ? x1 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, 1 x1 x1 x ∵x1 ? x2 ,∴g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2

x2 x / ? ( x2 ? x1 ) , g ( x2 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, 2 x1 x1 x ∵x1 ? x2 ,∴g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln 1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1 x ∴ 函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , …………(10 x1 g ( x2 ) ? x2 ln

分)
x2 x ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x ?x x ∴函数 g ( x ) ? 2 1 ? ln 2 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立…………(12 x x1

又∵ 2 ? 1,? ln

x x1

分) (方法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴ ? e ?
1 x0 ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一 设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0 ∴h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴ 方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 ………… (10 分) ∵ 一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数 ∴ 方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解, 命题成立……… (12 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分. 12. (本小题满分 14 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) , (I)令函数 f ( x) ? F (3,log2 (2x ? x2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; (II)令函数 g ( x) ? F (1,log2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使 得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y) ? F ( y, x) . 1 解: log2 (2x ? x2 ? 4) ? 0 , 2 x ? x2 ?4 ? (I) 即 …………………… (2 分) 得函数 f ( x) 的定义域是 (?1,3) , ……………………(4 分) 2 2 3 2 (II) g ( x) ? F (1,log2 ( x ? ax ? bx ? 1)) ? x ? ax ? bx ? 1, 设曲线 C在x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0, g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,

2 ?3x0 ? 2ax0 ? b ? ?① 8 ? ∴ 存在实数 b 使得 ?? 4 ? x0 ? ?1 ② ? 3 2 x0 ? ax0 ? bx0 ? 1 ? 1 ? ③

有解,

……………………

(6 分) 2 2 由① b ? ?8 ? 3x0 ? 2ax0 , 代入③ ? 2x0 ? ax0 ? 8 ? 0 , 得 得
?2 x 2 ? ax0 ? 8 ? 0 ? 有 ?由? 0 ??4 ? x0 ? ?1 ?

解, 方法 1: a ? 2(? x0 ) ?

……………………(8 分)
8 ,因为 ?4 ? x0 ? ?1 ,所以 2(? x0 ) ? 8 ? [8,10) , (? x0 ) (? x0 )

当 a ? 10 时,存在实数 b ,使得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线 ………………(10 分) 2 2 方法 2:得 2 ? (?4) ? a ? (?4) ? 8 ? 0或2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 , ? a ? 10或a ? 10,? a ? 10. ……………… (10 分) 方法 3: ?2 ?(?) 是? 4 ? 分)
x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 1? x (III)令 h( x) ? , x ? 1,由h?( x) ? x x2 x 1 1 ?x ? ln(1 ? x), x ? 0, ? p ?( x) ? 又令 p( x) ? ? ? ? 0, 2 1? x (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2
? p( x)在[0,??) 单调递
2 ? ?(?) ? ? a4 8 0

1 2 a1 8 0 ?2 ?(?) ? ?(?) ? ? ?

的补集, a ? 10 即

……………… (10

减.

……………………(12)分

?当x ? 0时有p( x) ? p(0) ? 0,?当x ? 1时有h?( x) ? 0,

? h( x)在[1,??) 单调递减, ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ?1 ? x ? y时, 有 ? ,? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y),? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x , x y

?当x, y ? N ?且x ? y时F ( x, y) ? F ( y, x).

………………(14

分)


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