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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2014 年( )月( )日 班级 姓名 3.1.3 学习 目标 重点 难点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换, 并能灵活地将公式变形运用. 运用二倍角公式,首先要准确把握“二倍角”这个概念,明确“倍角”的相对 性,它指的是两个角的一个“倍数”关系,不仅仅指 2α 是 α 的二倍角,还可以 α α 是 是 的二倍角等等. 2 4 【二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导】 问题 1 二倍角的正弦、 余弦、 正切公式就是用 α 的三角函数表示 2α 的三角函数的公式. 根 据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式吗?试一试? sin 2α=sin(α+α)= cos 2α=cos(α+α)= tan 2α=tan(α+α)= + - . = = ; - ; 问题 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1, 你能否只用 sin α 或 cos α 表示 cos 2α? ∵cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-( 或 cos 2α=cos2α-sin2α=( 【倍角公式】 (1)S2α:sin 2α= (2)C2α:cos 2α= (3)T2α:tan 2α= , = . sin α α cos = 2 2 = ; ; - - )= )-sin2α= - - ; . 【余弦的二倍角公式的变形形式及应用】 二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 变形较多, 应用灵活. 其中 1-cos 2α 1+cos 2α sin2α= ,cos2α= 称作降幂公式 , 2 2 1-cos α α 1+cos α α =sin2 , =cos2 称作升幂公式 .这些公式在统一角或函数名时非常有用. 2 2 2 2 1 鸡西市第十九中学高一数学组 1 练习 1:函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x- 的最小正周期是________. 2 练习 2:函数 f(x)=cos 2x+4sin x 的值域是________. 【三倍角公式的推导】 因为 3α=2α+α,可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.请完成三倍角公式的证明: (1)sin 3α=3sin α-4sin3α; (2)cos 3α=4cos3α-3cos α. 证明 (1) sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α = (2) = cos 3α=cos(2α+α)=cos 2αcos α-sin 2αsin α 【倍角公式常用变形】 sin 2α (1) = , 2sin α (2)(sin α± cos α)2= (3)sin2α= (4)1-cos α= , , sin 2α = 2cos α ; cos2α= 1+cos α= ; ; . 例 1 求下列各式的值: π 5 (1)cos cos π; 12 12 1 2 (2) - cos215° . 3 3 小结 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系; 另一方面要注意函数名称的转化方法, 同角三角函数关系及诱导公式是常用方法. 训练 1 求值:(1)cos 20° · cos 40° · cos 80° ; (2)tan 70° · cos 10° · ( 3tan 20°

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