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4.2.2 圆与圆的位置关系(1)


㈢发散创新
1.已知实数x, y满足 ,求y-x的最大与最小值. x2 ? y 2 ? 4
y

令 y ? x ? b , 即y ? x ? b 则b可视为直线y ? x ? b的截距 又x ? y ? 4表示一个圆,
2 2

O

x

由图象可知,切线的截距最大与

最小, 易求得切线的截距为 ? 2 2, ? y ? x的最大值为2 2,最小值为 ? 2 2

㈢发散创新
5.若关于x的方程 解,求m的取值范围. 解法

x ? m ? 4 ? x2

有两个不同的实数

令y1 ? x ? m, y2 ? 4 ? x 2

方程有两解

直线y=x+m曲线 y ? 注意到曲线 y ?

?

y
4 ? x 2 有两个交点,

4 ? x 2 是半圆

结合图形可知: ? m ? 2 2

l1

2

l l 2

A o

B

x

方法小结(三)

通过直线与圆位置关系的应用,反映了代 数与几何的一个结合点——数形结合

达标练习
1.过圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 外一点M(2,1)作圆的切线,求 圆的切线方程 2.已知圆C: 2 x

? ( y ? 1) 2 ? 5

,直线L:mx-y+1-m=0

(1)根据m的取值范围,讨论L与C的位置关系 (2)求被截的最短弦长 3.实数x、y满足 ( x ? 2) ? y ? 1 y?2 (1)求 的最大值和最小值。 x ?1
2 2



(2)求x-2y的最大值和最小值。

4.2.2圆与圆的位置关系

复习
两点间距离公式

| PP2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y 1 ) 2 1
d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
2 2 2

点到直线距离公式 圆的标准方程
圆的一般方程

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (其中D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0)

直线和圆的位置关系

r

d

C
d l

C d l

C l

相交:d

?r

相切:d

?r

相离:d

?r

小结:判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r (配方法) 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

代数方法
?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y(或x)

px 2 ? qx ? t ? 0

?d ? r : 相交 ? ?d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

直线和圆的位置关系

几何方法
类比
猜想

代数方法

圆和圆的位置关系

几何方法

代数方法

圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2

R O1

r O2

外离

外切

相交

|O1O2|>|R+r|
R r

|O1O2|=|R+r|
R

|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R r

O1 O2

O1 O2

r

O1O2

内切

内含

同心圆

(一种特殊的内含)

|O1O2|=|R-r|

0≤|O1O2|<|R-r|

|O1O2|=0

判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

外离
外切 内切 内含

d>R+r d=R+r

d=R-r 0≤d<R-r
R-r<d<R+r

圆心距d (两点间距离公式)

相交

比较d和r1,r2的 大小,下结论

结合图形记忆

限时训练(5分钟)
? 判断C1和C2的位置关系

(1)C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 49 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 9
解:C1 (?2, 2) r1 ? 7
2

C2 (4, 2)

r2 ? 3
相交

d ? (?2 ? 4)2 ? ? 2 ? 2 ?

? 6 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2
r2 ? 1

(2)C1 : x2 ? y2 ? 9 C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 1

解:C1 (0,0)
d ? 2 ?0
2 2

r1 ? 3

C2 (2,0)

?2

d ? r1 ? r2

内切

(3)C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0

反思
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

代数方法

圆心距d (两点间距离公式)



比较d和r1,r2的 大小,下结论

判断C1和C2的位置关系
C1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0
2 2

C2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0
2 2

? 解:联立两个方程组得

判断C1和C2的位置关系
联立方程组 消去二次项

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 ① ? ? 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ② ?

①-②得 x ? 2 y ?1 ? 0 ③ 把上式代入①
x ? 2x ? 3 ? 0 ④ ? ? (?2)2 ? 4 ?1? (?3) ? 16
2

消元得一元 二次方程

用Δ判断两 所以方程④有两个不相等的实根x1,x2 把x1,x2代入方程③得到y1,y2 圆的位置关
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系 A(x1,y1),B(x2,y2)

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

代数方法
? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? ( x ? a2 )2 ? ( y ? b2 )2 ? r2 2 ?
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px 2 ? qx ? r ? 0

比较d和r1,r2的 大小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

x ? y 2 ? 10x ? 10 y ? 0 ? 1.求半径为 3 2 ,且与圆

问题探究2

? 切于原点的圆的方程。 C (?5, ?5) A(a, b)

y

? C、A、O三点共线
? kCO ? k AO
?5 ? 0 b ? 0 ? ?5 ? 0 a ? 0
a?b

A O C B x

| AO |? 3 2

a 2 ? b2 ? 3 2

? 2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x ? y2 ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0 ? 切于点N(1,2)的圆的方程。
y 求圆G的圆心和半径r=|GM| 圆心是CN与MN中垂线的交点 两点式求CN方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程 O M C N

问题探究2

D

G
x

中点公式求D, kDG ? kMN ? ?1

kMN ? ( yM ? yN ) /( xM ? xN )

学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识

请同学们谈谈这节课 学到了什么东西。

反思
? 几何方法 判断两圆位置关系 ? 代数方法 ?
各有何优劣,如何选用?
(1)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (2)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或相离
几何方法直观,但不能 求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ=0, Δ<0时,不能判 圆的位置关系。


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