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河北省2013高考唐山三模理科数学答案


唐山市 2012—2013 学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BBCDA CBCCD DA B 卷:DCBAB DACBD AD 二、填空题: 5 1 1 (13) (14) (15)32 (16) n(n+1)+1 5 2 2 三、解答题: (17)解: 如图, ⌒ 记MN的中点为 E, 连结 OE, OC, BC 于 F, AD 于 G, 交 交 则∠DOG=60?. 设∠EOC=θ(0?<θ<60?) . N 1⌒ ⌒ (Ⅰ)当 CN= MN时,θ=30?. 4 D C 在 Rt△COF 中,OF=OCcos 30?= 3,CF=OCsin 30?=1. O DG 3 G F E 在 Rt△DOG 中,DG=CF=1,OG= = . tan 30? 3 2 3 A B 所以 CD=GF=OF-OG= . …5 分 3 M (Ⅱ)与(Ⅰ)同理, 2sin θ 2 3 BC=2CF=4sin θ,CD=OF-OG=2cos θ- =2cos θ- sin θ. …7 分 3 tan 30? 则矩形 ABCD 的面积 2 3 4 3 S=BC·CD=4sin θ 2cos θ- sin θ =4sin 2θ- (1-cos2θ) 3 3 8 3 4 3 = sin(2θ+30?)- . …10 分 3 3 因 30?<2θ+30?<150?,故当 2θ+30?=90?, 4 3 即 θ=30?时,S 取最大值 . …12 分 3 (18)解: (Ⅰ)根据题意,X、Y 的分布列如下 X 0 40 80 120 160 200 Y 0 40 80 120 160 200 3 5 7 7 5 3 4 4 6 8 5 3 P P 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 7 5 3 8 5 3 4 P (X>100,Y>100)= + + + + = . …6 分 30 30 30 30 30 30 15 3 5 7 7 5 3 (Ⅱ)E (X)=0× +40× +80× +120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30 4 4 6 8 5 3 E (Y)=0× +40× +80× +120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30 所以两种商品的日获利值均值都是 100 元. …9 分 3 5 7 7 5 3 10160 D (X)=1002× +602× +202× +202× +602× +1002× = , 30 30 30 30 30 30 3

(

)

(

)(

)

高三理科数学答案第 1 页(共 4 页)

4 4 6 8 5 3 10800 D (Y)=1002× +602× +202× +202× +602× +1002× = , 30 30 30 30 30 30 3 因为 D (X)<D (Y),所以应选择经销商品 A. …12 分 (注:若考生在第(Ⅱ)问写出 X,Y 的分布列,第(Ⅰ)问解对给 4 分) (19)解: (Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中,CD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCDEF,CD?平面 ABCDEF,所以 CD⊥PA. 又 AC∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAC. 因为 CD?平面 PCD,所以平面 PAC⊥平面 PCD. …4 分
z P

A F B C x D y E

(Ⅱ)如图,分别以 AC,AF,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz. 设 AP=h(h>0) . 3 3 则 P (0,0,h),C ( 3,0,0),D ( 3,1,0),E , ,0 . 2 2 3 1 →=( 3,0,-h),→=( 3,1,-h),→= - , ,0 . PC PD DE 2 2

(

)

(

)

设面 PDE 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n·→=0,n·→=0, PD DE ? 3x+y-hz=0, ? 所以? 取 n=(h, 3h,2 3). …8 分 3 1 ?- 2 x+ 2 y=0, ? 记直线 PC 与平面 PDE 所成的角为 θ,则 3h |→·n| PC __________ sin θ=|cos ?→,n?|= → PC = 2 , | PC |·|n| 2(h +3) 3h 1 由 2 = ,解得 h= 3. 2(h +3) 4 所以六棱锥 P-ABCDEF 高为 3. (20)解: 2 (Ⅰ)设 A (x0,x0),B (x1,x2),C (-x0,x2),D (x2,x2). 1 0 2 2 对 y=x 求导,得 y?=2x,则抛物线在点 C 处的切线斜率为-2x0. …12 分

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x2-x2 2 1 直线 BD 的斜率 k= =x +x , x2-x1 1 2 依题意,有 x1+x2=-2x0. 记直线 AB,AD 的斜率分别为 k1,k2,与 BD 的斜率求法同理,得 k1+k2=(x0+x1)+(x0+x2)=2x0+(x1+x2)=0, 所以∠CAB=∠CAD,即 AC 平分∠BAD. (Ⅱ)由题设,x0=-1,x1+x2=2,k=2.四边形 ABCD 的面积 1 1 S= |AC|·|x2-x2|= |AC|·|x2+x1|·|x2-x1| 2 1 2 2 1 = ×2×2×|2-2x1|=4|1-x1|, 2 由已知,4|1-x1|=4,得 x1=0,或 x1=2. 所以点 B 和 D 的坐标为(0,0)和(2,4), 故直线 BD 的方程为 y=2x. (21)解: ln x+x+1 (Ⅰ)f ?(x)= . (1+x)2 依题意,ln x0+x0+1=0,则 ln x0=-(x0+1). x0ln x0 -x0(x0+1) f (x0)= = =-x0. 1+x0 1+x0 a(x-1) (Ⅱ)f (x)≥ 等价于 x2(ln x-a)+a≥0. x 设 g (x)=x2(ln x-a)+a,则 g ?(x)=x(2ln x-2a+1). 令 g ?(x)=0,得 x=ea- 2 .
1

…4 分

…6 分

…10 分

…12 分

…4 分

( 当 x∈(e

当 x∈ 0,ea- 2 时,g ?(x)<0,g (x)单调递减;
1 a- 2 ,+∞ 1 ea- 2

1

)

所以 g (x)≥g

(

)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增. )=a- 1 e . 2
2a-1

a(x-1) 1 - 于是 f (x)≥ 恒成立只需 a- e2a 1≥0. …8 分 x 2 1 - 1 设 h (a)=a- e2a 1,则 h =0, 2 2 1 - 且 h ?(a)=1-e2a 1,h ? =0. 2 1 1 当 a∈ 0, 时,h ?(a)>0,h (a)单调递增,h (a)<h =0; 2 2 1 1 当 a∈ ,+∞ 时,h ?(a)<0,g (x)单调递减,h (a)<h =0. 2 2 1 - 1 因此,a- e2a 1≤0,当且仅当 a= 时取等号. 2 2 a(x-1) 1 综上,存在唯一的实数 a= ,使得对任意 x∈(0,+∞),f (x)≥ .…12 分 2 x 1 1 (注:观察出 g (x)=0,由 ea- 2 =1 得 a= 的不扣分) 2

( )

( )

( (

)

)

( ) ( )

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(22)解: (Ⅰ)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, 则∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180?-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2. 又因为∠DEC=∠AEB=180?-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180?,所以 D,E,C,F 四点共圆.
G D
3 2

…3 分

…5 分

F

C B

E A
1

O H

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. …8 分 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB. …10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. …3 分 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ (ρ≠0). …5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. …7 分 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= , 2 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . …10 分 2 (24)解: ?-2x-2,x<-3, ? -3≤x≤1, (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x>1. 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. …4 分 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. …5 分 b (Ⅱ)f (ab)>|a|f 即|ab-1|>|a-b|. …6 分 a 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. …10 分

( )

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