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空间几何量的计算[1].板块七.空间几何量计算综合问题.学生版


板块七.空间几何量计算综合 问题 典例分析
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥” ,四条侧棱称为它的

腰,以下四个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
P

D

O C H

A B

【例2】 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动,并且

总保持 AP ⊥ BD1 ,则动点 P 的轨迹是(
A.线段 B1C B.线段 BC1 C. BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D. BC 中点与 B1C1 中点连成的线段
D1 A1 B1 P D A B C C1



【例3】 (2010 重庆高考) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线
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的平面内的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线

【例4】 (2010 福建高考) 如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A1 B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到 的几何体,其中 E 为线段 A1 B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且
EH ∥ A1D1 ,则下列结论中不正确的是( )

A. EH ∥ FG C. ? 是棱柱
D1 A1 E F D A B C H B1 C1 G

B.四边形 EFGH 是矩形 D. ? 是棱台

【例5】 (2010 江西高考)
过正方形 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 作直线 l ,使 l 与棱 AB , AD , AA1 所成的角 都相等,这样的直线 l 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条
A B A1 B1 C1 C D1 D

D.4 条

【例6】 (2010 全国卷Ⅱ高考) 11.与正方体 ABCD = A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的
点 A.有且只有 1 个

C.有且只有 3 个

B.有且只有 2 个 D.有无数个

【例7】 (2009 海南)如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱线长为 1 ,线段 B1 D1 上有两个

动点 E , ,且 EF = F
A. AC ⊥ BE B. EF ∥ 平面 ABCD

2 ,则下列结论中错误的是( 2



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C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 BF D.异面直线 AE , 所成的角为定值
C1 E D1 A1 F B1

C

B A

D

【例8】 (2008 辽宁)
在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , 分别为棱 AA1 , CC1 的中点,则在空间中与三 F 条直线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线( A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条
D1
M N



C1

A1
P

B1 F

E

D B

C

A

【例9】 (2009 安徽文 15)对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是 所有正确命题的编号) . ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ?BCD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

. (写出

【例10】 (2010 年一模·西城·文·题 17) 年一模·西城· ) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , D 为侧棱 PC 上一点, 它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. ⑴证明: AD ⊥ 平面 PBC ; ⑵求三棱锥 D ? ABC 的体积; ⑶在 ∠ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.

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P
2 2

D
4 2 2

2

2 4

A B

C

4

正(主)俯图

侧(左)俯图

【例11】 (2010 年二模·宣武·文·题 16) 年二模·宣武· ) 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据, ⑴ 求这个组合体的体积; ⑵ 若组合体的底部几何体记为 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其中 A 1 B1 BA 为正方形. ⅰ)求证: A1 B ⊥ 平面 AB1C1 D ; ⅱ)求证: P 为棱 A1 B1 上一点,求 AP + PC1 的最小值.
4 12 8 8 主俯图
D1

10

左俯图
C1

俯俯图

A1

B1 D C

A

B

【例12】 (2010 年二模·宣武·理·题 16) 年二模·宣武· ) 已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据, ⑴求这个组合体的表面积; ⑵若组合体的底部几何体记为 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其中 A 1 B1 BA 为正方形. ⅰ)求证: A1 B ⊥ 平面AB1C1 D ;
ⅱ)设点 P 为棱 A1 D1 上 一点,求直线 AP 与平面 AB1C1 D 所成角的正弦值的取值范 围.

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4 12 8 10

8 主俯图
D1

左俯图
C1

俯俯图

P A1 D B1 C

A

B

【例13】 (2009 广雅期中) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点.
P E
2 2 1 1 主俯图 1 左俯图 1 俯俯图

D

C

A

B

⑴求四棱锥 P ? ABCD 的体积; ⑵是否不论点 E 在何位置,都有 BD ⊥ AE ?证明你的结论.

【例14】 (2009 江门市一模) 如图,四棱锥 P ? ABCD , ?PAB ≌ ?CBA ,在它的俯视图 ABCD 中, BC = CD , AD = 1 , ∠BCD = ∠BAD = 60° . ⑴求证: ?PBC 是直角三角形; ⑵求四棱锥 P ? ABC 的体积.

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P B B D C 直直图 A A(P)

D

C 俯俯图

【例15】 (2009 安徽文 20) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行, E 和 F 是 l 上的两 个不同点, EA = ED ,FB = FC .E ′ 和 F ′ 是平面 ABCD 内的两点,EE ′ 和 FF ′ 都 且 与平面 ABCD 垂直. ⑴证明:直线 E ′F ′ 垂直且平分线段 AD ; ⑵若 ∠EAD = ∠EAB = 60° , EF = 2 ,求多面体 ABCDEF 的体积.
l D E' A B E C F' F

【例16】 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 3 3 , BC = 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使 如图, 折起,

点 C 移到 C ′ 点, C ′O ⊥面 ABD ,且 O 在 AB 上. 求证: ⑴求证: BC ′ ⊥平面 AC ′D ; 的距离; ⑵求点 A 到平面 BC ′D 的距离; 所成角的正弦值. ⑶求直线 AB 与平面 BC ′D 所成角的正弦值.
B A

C ' (C)

B
C D

O D

A

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【例17】 如图,?ACD 和 ?ABC 都是直角三角形,AB = BC ,∠CAD = 30 , 如图, 都是直角三角形, 把三角形 ABC

边折起, 所在的平面垂直, 沿 AC 边折起,使 ?ABC 所在的平面与 ?ACD 所在的平面垂直,若 AB = 6 .
的距离. ⑴求证:面 ABD ⊥面 BCD ;⑵求 C 点到平面 ABD 的距离. 求证:

B

B
C

A

A

H D

C

D

【例18】 (2006 江苏 )在正 ?ABC 中, E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点, 江苏-19) 边上的点, 的位置, 满足 AE : EB = CF : FA = CP : PB = 1: 2 ,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使
成直二面角, 二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,连结 A1 B、A1 P

⑴求证: A1 E ⊥ 平面 BEP 求证: ⑵求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小 余弦值大小 大小. ⑶求二面角 B ? A1 P ? F 的余弦值大小.

A

A1
E

E B P

F C
B

D P

F C

【例19】 (07 湖南理 18)如图 1, E , F 分别是矩形 ABCD 的边 AB ,CD 的中点, G 是 的中点, ) ,

CD 上的一点, EF 上的一点,将 ?GAB , ?GCD 分别沿 AB , 翻折成 ?G1 AB , ?G2CD ,并
G 连结 G1G2 , 使得平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD , 1G2 ∥ AD , G1G2 < AD . 且 连结 BG2 ,

如图 2.
A E G F C 图1 D

G1 A E B

G2 D F 图2 C

B

证明: ⑴ 证明:平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 ;
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所成的角; ⑵ 当 AB = 12 , BC = 25 , EG = 8 时,求直线 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角;

【例20】 (2009 江西)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD , 江西) 是矩形,
PA = AD = 4 , AB = 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 为球心、 M ,交 PC 于点 N . 求证: ⑴求证:平面 ABM ⊥ 平面 PCD ;
P

M N A B O C D

所成的角的大小; ⑵求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; 的距离. ⑶求点 N 到平面 ACM 的距离. 【例21】 (2003 京皖春) 如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4 . E , 分 F 别为棱 AB , 的中点, EF ∩ BD = G . BC ⑴求证:平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 ; ⑵求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d ; ⑶求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积V .
D1 A1 B1 C1

D G A E B F

C

【例22】 (2009 扬州中学高三期末) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ∠ABC = ∠ACD = 90° , ∠BAC = ∠CAD = 60° , PA ⊥ 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA = 2 AB = 2 . ⑴ 求四棱锥 P ? ABCD 的体积V ; ⑵若 F 为 PC 的中点,求证 PC ⊥ 平面 AEF .

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P

E A

F B

D

C

【例23】 如图, 已知 PA ⊥ ⊙O 所在的平面,AB 是 ⊙O 的直径,AB = 2 ,C 是 ⊙O 上一点,

且 AC = BC , PC 与 ⊙O 所在的平面成 45° 角, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点. ⑴求证: EF ∥ 面ABC ;⑵求证: EF ⊥ 面PAC ;⑶求三棱锥 B ? PAC 的体积.
P

F E A B

O C

【例24】 (05-天津 )如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,∠A1 AB = ∠A1 AC , AB = AC , 天津-19)如图, 天津
A1 A = A1 B = a ,侧面 B1 BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 , E 、 F 分别是棱 CB1 、 AA1 的中点. 的中点.
所成的角; ⑴求 AA1 与底面 ABC 所成的角; ⑵证明: EA1 ∥平面 B1 FC ; 证明: 四点的球的体积. ⑶求经过 A1 、 A 、 B 、 C 四点的球的体积.
C1 A1 E B1 C A B

F

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【例25】 (07 福建理 18) ) 如图, 中点. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. 求证: ⑴ 求证: AB1 ⊥ 面 A1 BD ; 的大小; ⑵ 求二面角 A ? A1 D ? B 的大小; 的距离; ⑶ 求点 C 到平面 A1 BD 的距离;
A A1

C D B B1 C1

\ 【例26】 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底边长为 2 ,高为 4 ,过 AB 作一截面交侧 如图所示,

棱 CC1 于 P ,截面与底面成 60 角,
的面积; ⑴求截面 ?PAB 的面积; 的距离; ⑵求点 C 到平面 ABP 的距离; 所成的角的正弦值 弦值. ⑶求 PB 与平面 A1 B1 BA 所成的角的正弦值.
C1 A1 B1 P

C A B

【例27】 (05-江西 )如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD = AA1 = 1 , AB = 2 ,点 江西-20)如图, 江西
E 在棱 AD 上移动. 上移动.

⑴证明: D1 E ⊥ A1 D ; 证明: 的中点时, 的距离; ⑵当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π 等于何值时, ⑶ AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 . 4
D1 A1 B1 D A C E B C1

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【例28】 (2009 江西) 江西) 是矩形, 在四棱锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是矩形 , PA ⊥ 平面 ABCD , PA = AD = 4 , AB = 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 为直径的球面交 PD 于点 M , PC 于点 N . 为球心、 AC 交 求证: ⑴求证:平面 ABM ⊥ 平面 PCD ; 所成的角的大小; ⑵求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; 的距离. ⑶求点 N 到平面 ACM 的距离.
P

M N A B O C D

【例29】 (08 北京卷 16)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC = BC = 2 , ∠ACB = 90° ,
AP = BP = AB , PC ⊥ AC . ⑴ 求证: PC ⊥ AB ; ⑵ 求二面角 B ? AP ? C 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 APB 的距离.
P

D A C B

【例30】 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是 AB = 2 , BC = 2 的矩形,侧面 PAB 是等边

三角形,且侧面 PAB ⊥ 底面 ABCD . ⑴证明: BC ⊥ 侧面 PAB ; ⑵证明:侧面 PAD ⊥侧面 PAB ; ⑶求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小.
P

B C D

A

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【例31】 如图, ? ABCD 是正四棱锥, P ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体, 其中 AB = 2 , = 6 . PA ⑴求证: PA ⊥ B1 D1 ; ⑵求平面 PAD 与平面 BDD1 B1 所成的锐二面角 θ 的大小; ⑶求 B1 到平面 PAD 的距离.
P

D A B

C

D1 A1 B1

C1

F 【例32】 如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4 . E ,

分别为棱 AB , 的中点, EF ∩ BD = G . BC
⑴求证:平面 B1 EF ⊥ 平面 BDD1 B1 ; ⑵求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d ; ⑶求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积V .
D1 A1 B1 C1

D G A E B F

C

【例33】 (07 福建理 18) 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. ⑴ 求证: AB1 ⊥ 面 A1 BD ; ⑵ 求二面角 A ? A1 D ? B 的大小; ⑶ 求点 C 到平面 A1 BD 的距离;

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A

A1

C D B B1 C1

【例34】 (05-江西-20)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD = AA1 = 1 , AB = 2 ,点
E 在棱 AD 上移动.

⑴证明: D1 E ⊥ A1 D ; ⑵当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π ⑶ AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 . 4
D1 A1 B1 D A C E B C1

【例35】 已知 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, D 是 AC 的中点. ⑴证明: AB1 ∥平面 DBC1 ;
⑵若 AB1 ⊥ BC1 , BC = 2 .

①求二面角 D ? BC1 ? C 的大小; ②若 E 为 AB1 的中点,求三棱锥 E ? BDC1 的体积.
B1 A1 O H C1

E B

C

A

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【例36】 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, PB ⊥ 平面 ABCD . ⑴若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 ,求这个四棱锥的体积; ⑵证明无论四棱锥的高怎样变化,二面角 C ? PD ? A 恒大于 90

P

D C B

A

【例37】 (1999 全国-文 22)如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,点 E 在棱 DD1 上,

截面 EAC ∥ D1 B ,且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45 , AB = a .
⑴求截面 EAC 的面积; ⑵求三棱锥 B1 ? EAC 的体积.
D1 A1 E D C A O B B1 C1

【例38】 ( 08 辽 宁 卷 19 ) 如 图 1 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A′B ′C ′D ′ 中 ,
AP = BQ = b ( 0 < b < 1) ,截面 PQEF ∥ A′D ,截面 PQGH ∥ AD ′ .

⑴ 证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ⑵ 证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; ⑶ 若 D′E 与平面 PQEF 所成的角为 45° ,求 D′E 与平面 PQGH 所成角的正弦值.

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D' H A' B' P D F A 图1 B E Q G

C'

C

【例39】 (2009 西城区一模) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠BCD = 90° , AB ∥ CD ,
又 AB = BC = PC = 1 , PB = 2 , CD = 2 , AB ⊥ PC . ⑴求证: PC ⊥ 平面 ABCD ; ⑵求二面角 B ? PD ? C 的大小; ⑶求点 B 到平面 PAD 的距离.
P

D

C

A

B

【例40】 (2009 石景山区一模)
如图, 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2 ,D 是侧棱 CC1 的中点, 直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45° . ⑴求此正三棱柱的侧棱长; ⑵求二面角 A ? BD ? C 的大小; ⑶求点 C 到平面 ABD 的距离.
A1 A B1 B D C C1

【例41】 (海淀二模) 如图,直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, C1C = CB = CA = 2 , AC ⊥ CB . D 、 E 分别为
棱 C1C 、 B1C1 的中点.
15 智康高中数学.板块七.空间几何量计算综合问题.学生版

⑴ 求点 B 到平面 A1C1CA 的距离; ⑵ 求二面角 B ? A1 D ? A 的大小; ⑶ 在线段 AC 上是否存在一点 F ,使得 EF ⊥ 平面 A1 BD ?若存在,确定其位置并 证明结论;若不存在,说明理由.
A1 C1 E B1

D FA C

B

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