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2014《创新设计》二轮专题复习训练22


常考问题 22

不等式选讲

1.(2011· 江苏卷)解不等式:x+|2x-1|<3. 解 ?2x-1≥0, ?2x-1<0, 原不等式可化为? 或? ?x+?2x-1?<3 ?x-?2x-1?<3.

1 4 1 解得2≤x<3或-2<x<2. 4 所以不等式的解集是{x|-2<x<3}. 2.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 y=f(x)的最小值.



? ? 1 (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|=? 3x-3,-2≤x<4, ? ?x+5,x≥4.

1 -x-5,x<-2,

1 当 x<-2时, 由 f(x)=-x-5>2 得 x<-7, ∴x<-7; 1 当-2≤x<4 时, 5 由 f(x)=3x-3>2 得 x>3, 5 ∴ <x<4; 3 当 x≥4 时,由 f(x)=x+5>2,得 x>-3,∴x≥4. 故原不等式的解集为
? ? ? 5 ?x?x<-7或x> 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)画出 f(x)的图象如图:

9 ∴f(x)min=-2. 1 1 1 3.设 a,b,c 为正实数,求证:a3+b3+c3+abc≥2 3. 证明 3 1 1 1 1 1 1 因为 a,b,c 为正实数,由均值不等式可得a3+b3+c3≥3 a3· b3· c3,

1 1 1 3 即a3+b3+c3≥abc. 1 1 1 3 所以a3+b3+c3+abc≥abc+abc. 3 而abc+abc≥2 3 abc=2 3, abc·

1 1 1 所以a3+b3+c3+abc≥2 3. ?1 1 1? 4.已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥6 3,并确定 a,b, ? ? c 为何值时,等号成立. 证明 法一 因为 a、b、c 均为正数,由平均值不等式得 ① ②

2 a2+b2+c2≥3(abc)3, 1 1 1 1 + + ≥ 3( abc ) - a b c 3, 2 ?1 1 1? 所以?a+b+ c?2≥9(abc)-3. ? ? 2 2 ?1 1 1? 故 a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥3(abc)3+9(abc)-3. ? ? 2 2 又 3(abc)3+9(abc)-3≥2 27=6 3, 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 2 2 当且仅当 3(abc)3=9(abc)-3时,③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立. 法二 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得



a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,

所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 1 1 1 ?1 1 1? 故 a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥ab+bc+ac+3ab+3bc+3ac≥6 3. ? ? 所以原不等式成立,

① ② ③

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2 =(ac)2=3 时,③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立. 5.若对任意 x>0, 解 ∵a≥
2

x ≤a 恒成立,求 a 的取值范围. x +3x+1
2

x = x +3x+1

1 1 对任意 x >0 恒成立,设 u = x + 1 x +3,∴只需 x+ x +3

1 a≥u恒成立即可. ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号). 1 1 1 由 u≥5,知 0< ≤ ,∴a≥ . u 5 5 6.(2013· 沈阳模拟)已知关于 x 的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0). (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥2,

由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1、2 的距离 之和大于等于 2. 5 1 ∴x≥ 或 x≤ . 2 2
? 1 5? ∴不等式的解集为?x|x≤2或x≥2?. ? ?

注:也可用零点分段法求解. (2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|, ∴原不等式的解集为 R 等价于|a-2|≥2, ∴a≥4 或 a≤0.又 a>0,∴a≥4.


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