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(四川专用)2014高考数学二轮 (热点重点难点专题透析)第3专题 三角函数与平面向量课件 文


【考情报告】

【考向预测】 从四川文科试卷的命题情况来看, 三角函数与平面向量 在高考中至少是两个小题和一个大题. 小题以中低档试题为 主,主要考查三角函数的求值、化简、三角函数的图象及简 单性质、向量的运算等基础知识,试题大多来源于教材,是 例题、习题的变形或创新.解答题常以平面向量或三角恒等 变换为工具,综合考查三角函数的图象和性质;或以正、余 弦定理为工具,考查解三角形及其应用;或是平面向量这一 解题工具在解析几何中的综合应用.预测 2014 年高考对三 角函数与平面向量内容的考查, 将侧重平面向量知识在主观

题中的渗透, 解答题仍将以三角恒等变换或解三角形为 主. 【问题引领】 π 1. (2013 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(- <θ 2 π < )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x) 2 3 的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, ),则φ的 2 值可以是( ).

5π A. 3

5π B. 6

π C. 2

π D. 6

3 【解析】f(x)=sin(2x+θ),f(0)=sin θ= ,θ 2 π = , 3 π 3 g(x)=sin(2x-2φ+θ),g(0)=sin( -2φ)= , 3 2 π π π 2π ∴ -2φ= +2kπ或 -2φ= +2kπ(k∈Z), 3 3 3 3

π ∴φ=-kπ或φ=- -kπ(k∈Z),选 B. 6 【答案】B π 2. (2013 四川卷)设 sin 2α=-sin α, α∈( , π), 2 则 tan 2α的值是________. 【解析】 ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, ∴cos 1 α=- . 2 π 2π 4π ∵α∈( ,π),∴α= ,则 tan 2α=tan = 2 3 3

π tan = 3. 3 【答案】 3 3.(2013 新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量 a,b 的 夹角为 60°, c=ta+(1-t)b, 若 b? c=0, 则 t=________. 【解析】 根据向量的运算法则, b? c=b? [ta+(1-t)b] =0, 即 ta? b+(1-t)|b|2=0, 从而得到, t|a||b|cos 60° 1 2 +(1-t)|b| = t+1-t=0,解得 t=2. 2 【答案】2

1 4.(2013 陕西卷)已知向量 a=(cos x,- ),b=( 3 2 sin x,cos 2x),x∈R ,设函数 f(x)=a?b. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 2 1 【解析】(1)f(x)=(cos x,- )?( 3sin x,cos 2x) 2 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2

3 1 = sin 2x- cos 2x 2 2 π π =cos sin 2x-sin cos 2x 6 6 π =sin(2x- ). 6 2π 2π f(x)的最小正周期为 T= = =π, ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为π. π (2)因为 0≤x≤ , 2

π π 5π 所以- ≤2x- ≤ . 6 6 6 由正弦函数的性质知, π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1; 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2 π 1 因此 f(x)在[0, ]上的最大值是 1,最小值是- . 2 2 5.(2013 四川卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-

3 . 5 (1)求 sin A 的值; →方向上的投影. (2)若 a=4 2,b=5,求向量→ BA在BC 【解析】(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- , 5 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- , 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5

4 又 0<A<π,则 sin A= . 5 (2)由正弦定理,有

bsin A 2 = ,所以 sin B= = . sin A sin B a 2
π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4 根据余弦定理,有 3 2 2 2 (4 2) =5 +c -2?5c?(- ), 5 解得 c=1 或 c=-7(负值舍去).

a

b

2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= . 2 【诊断参考】 1.对三角函数图象变换的考查是历年高考的热点,由 y= sin x 变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,常用两种变换,其 易错点是:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是 |φ|个单位;先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量

φ 是| |(ω>0)个单位.其原因在于相位变换和周期变换都 ω 是相对于 x 而言的,即本身 x 加减多少值,而不是依赖于

ωx 加减多少值.
2.三角恒等变换是每年高考的热点,也是必考点.记 错或错用公式, 或不注意公式的应用条件是出现错解的常见 原因,故需要熟练掌握这些公式.只有对公式间的逻辑关系 了解清楚了,才能把握住公式的结构,才能准确、灵活地应 用公式,同时要注意公式的正用、逆用、变形用.转化思想 是实施三角变换的主要思路,包括函数名称的变换、角的变 换、1 的变换、幂的升降变换等. 3.平面向量是每年高考的必考内容.常利用平面向量的坐 标运算或平面向量的数量积来考查有关长度、角度、垂

直或共线等问题, 在解答过程中易出现计算方面的错误, 故在解题过程中要正确应用公式.平面向量作为解题工具, 也常与三角、解析几何等知识点综合命题,以解答题的形式 出现,此类问题的综合性较强,涉及的考点较多,故在解答 过程中,需正确运用公式,认真、细心计算. 4.在解答三角函数的性质问题,尤其是求限定区间上 的最值问题时, 需先把函数化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的一 般形式,由整体变量ωx+φ的范围,结合函数的图象求出 函数的最值或值域,切忌把区间[a,b]的端点值代入函数解 析式,简单地以为端点值即为最值,这也是易错点.

5.利用正、余弦定理解决解三角形的问题,在近三年 的高考中都有出现,也一直是高考命题的热点.此类问题多 以三角形或其他平面图形为背景,综合考查正、余弦定理及 三角函数的化简与证明,试题多以解答题的形式出现.解题 过程中注意充分利用 A+B+C=π这一条件,这也是解题过 程易疏漏的地方.在解三角形时,三角形内角的正弦值一定 为正,但该角不一定是锐角,也可能为钝角(或直角),这往 往造成有两解的情况,应注意分类讨论,但三角形内角的余 弦值为正,该角一定为锐角,且有唯一解.故在解三角形问 题中,若有求角问题,应优先求余弦值.

6.若在三角形中考查三角恒等变换,要注意:一是作 为三角形问题,它可能要用到三角形的内角和定理,正、余 弦定理及有关三角形的性质,要及时进行边角转化,这有利 于发现解决问题的思路;二是在三角恒等变换过程中,角的 范围是有所限制的, 常见的三角变换方法和原则也都是适用 的, 要注意 “三统一” , 即 “统一角、 统一函数、 统一结构” .

【知识整合】 一、三角函数的图象与性质 1.任意角的三角函数 设α是一个任意角, 它的终边上除原点外的任意一点为 P(x,

y x y y),r= x +y ,那么 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r x
2 2

2.三角函数的性质(结合图象理解,表中 k∈Z)

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 π (1) “五点法” 作图: 设 z=ωx+φ, 令 z=0, , π, 2 3π ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得. 2 (2)图象变换:

二、三角恒等变换与解三角形 1.和、差角公式: (1)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. (2)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. tan α±tan β (3)tan(α±β)= . 1?tan αtan β 2.倍角公式: (1)sin 2 α= 2sin αcos α;1 ±sin α =(sin cos )2. 2

α
2

±

α

(2)cos 2 α =cos2 α -sin2 α = 2cos2 α - 1 =1 -2sin2 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 α;cos α= ,sin α= . 2 2 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3.辅助角公式:asin α+bcos α= a2+b2sin(α+

φ).
(其中 cos φ=

a a +b
2 2

,sin φ=

b a +b
2

2

)

4.正、余弦定理及三角形面积公式: (1)正弦定理: = = =2R(2R 为△ABC sin A sin B sin C 外接圆的直径). (2) 余弦定理: a2 = b2 + c2 - 2bccos A ; b2 = a2 + c2 - 2accos B;c2=a2+b2-2abcos C. 1 1 1 (3) 三角形面积公式: S △ ABC = bcsin A = acsin B = 2 2 2 absin C.

a

b

c

5.三角形中的常用结论: (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B. (4)已知两边及其一边的对角,判断三角形解的情况: 以已知 a,b,A 为例, (i)当 A 为直角或钝角时, 若 a>b, 则有一解; 若 a≤b, 则无解. (ii)当 A 为锐角时,如下表:

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

无解 一解 两解 一解 三、平面向量 1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非 零向量都共线,记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单

a 位向量为 . |a|
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫作向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.平面向量的运算: (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础, 应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量数量积的结果是实数,而不是向量.要注 意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异, 平面向量的 数量积不满足结合律与消去律.a?b 的运算结果不仅与 a, b 的长度有关,而且还与 a ,b 的夹角有关,即 a ?b = |a||b|?cos〈a,b〉 .

3. 两非零向量平行、 垂直的充要条件: 若 a=(x1, y1), b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a? b=0?x1x2+y1y2=0.(注意 a、 b 为非零向 量) 4.利用向量的数量积求线段的长度问题 (1)若 a =(x,y),则|a|= a?a= x2+y2. (2) 若 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 | → AB | = → AB?→ AB = (x2-x1)2+(y2-y1)2.

5.求向量的夹角问题:设θ为 a 与 b 的夹角,则

a?b (1)cos θ= . |a||b| (2) 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 cos θ = x1x2+y1y2 . 2 2 2 2 x1+y1 x2+y2
(3)夹角大小的判定方法: a?b>0?a 与 b 的夹角θ为锐角或零角; a?b<0?a 与 b 的夹角θ为钝角或平角; a?b=0?a 与 b 的夹角为 90°.(a ≠0,b≠0)

【考点聚焦】 热点一:三角函数图象与性质 从近年高考试题命题情况来看, 对三角函数图象与性质 的考查是高考命题的热点和重点. 试题主要以选择题的形式 考查三角函数图象的对称轴、对称中心、单调性、最值等问 题,题目难度较小;或以解答题的形式综合考查三角恒等变 换、平面向量等知识,综合性较强.此类问题把解析式化为 形如 y=Asin(ωx+φ)的一般式是解题的关键. 3 (2013 山东卷)设函数 f(x)= - 3sin2ωx- 2

sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称 π 中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求ω的值; 3π (2)求 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值. 2 【分析】本题是综合考查两角和与差的正弦公式,二倍 角的正、余弦公式及辅助角公式,三角函数的周期、单调性 等知识.需先把函数式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,然 后依照有关知识进行解答.

3 【解析】(1)f(x)= - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 2 3 1-cos 2ωx 1 = - 3? - sin 2ωx 2 2 2 3 1 = cos 2ωx- sin 2ωx 2 2 π =-sin(2ωx- ). 3 π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4

又ω>0, 2π π 所以 =4? . 2ω 4 因此ω=1. π (2)由(1)知 f(x)=-sin(2x- ). 3 3π 5π π 8π 当π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 3 π 所以- ≤sin(2x- )≤1. 2 3

3 因此-1≤f(x)≤ . 2 3π 3 故 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值分别为 , 2 2 -1. 【归纳拓展】求三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称 中心、 最值及判断三角函数的奇偶性时, 往往是在定义域内, 先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y= Acos(ωx+φ)+B 的形式,然后再求解.在解决三角

函数的有关问题时, 若把三角函数的性质融于函数的图 象之中,将数(量)与图形结合起来进行分析、研究,可使抽 象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来, 这也体现 了解决三角函数问题时数形结合思想的应用. 变式训练 1 对于函数 f(x)=sin x, g(x)=cos x, h(x) π =x+ ,有如下四个命题: 3 ①f(x)-g(x)的最大值为 2; π ②f[h(x)]在区间[- ,0]上是增函数; 2 ③g[f(x)]是最小正周期为 2π的周期函数;

π ④将 f(x)的图象向右平移 个单位长度可得 g(x)的图 2 象. 其中真命题的序号是________. π 【解析】 f(x)-g(x)=sin x-cos x= 2sin(x- )≤ 2, 4 π π π π 故①正确;当 x∈[- ,0]时,x+ ∈[- , ],函数 2 3 6 3 π π π f[h(x)]=sin(x+ )在[- , ]上是增函数, 故②正确; 3 6 3 函数 g[f(x)]=cos(sin x)的最小正周期为π,故③

π 错误;将 f(x)的图象向左平移 个单位长度可得 g(x) 2 的图象,故④错误. 【答案】①② 热点二:三角函数图象的变换 通过近年各地高考试题可以看出, 三角函数图象的变换 一直是这些年高考考查的热点,且试题常考常新.高考对三 角函数图象变换的考查,常结合三角恒等变换、平面向量等 知识进行综合考查. (2013 湖北卷)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图 象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于

y 轴对称,则 m 的最小值是(

).

π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 6 【分析】函数图象经平移后关于 y 轴对称,即平移后的 函数为偶函数,可表示为 y=Acos ωx 的形式,故将函数 y = 3cos x+sin x(x∈R)化为 y=Acos(ωx+φ)的形式较 好. π 【解析】将函数 y= 3cos x+sin x=2cos(x- )的图象 6 π 向左平移 m 个单位后,得到函数 y=2cos(x- +m)的 6

π 图象,故 m 的最小值是 . 6 【答案】B 【归纳拓展】任何形如 y=Asin(ωx+φ)的函数的图象, 经过平移变换之后, 都可以变成一个奇函数或偶函数的图象, 即可以变换为 y=±Asin ωx 或 y=±Acos ωx 的图象. 在 进行图象变换时,必须注意ω对平移单位的影响,即由 y=

φ Asin ωx 变化到 y=Asin(ωx+φ)时,平移量应是| |; ω 但对 y=Asin(ωx+φ)进行伸缩变换时,要注意φ是不变
的.函数图象的变换一定要注意区别变换前后的函数

及其形式. 变式训练 2 如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图 象,只需将 f(x)的图象( ).

π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向右平移 个长度单位 3

π C.向左平移 个长度单位 6 π D.向左平移 个长度单位 3 【解析】由图象可知 A=1,又 = - = ,∴T=π, 4 12 3 4 2π 7π 从而ω= =2, 将( , -1)代入 f(x)=sin(2x+φ)中, T 12 7π 7 3 π 得 sin( +φ)=-1,由 π+φ= π,得φ= , 6 6 2 3

T 7π π π

π π ∴f(x)=sin(2x+ ).将 f(x)的图象向右平移 个长 3 6 度单位即可得到 g(x)=sin 2x 的图象. 【答案】A 热点三:三角函数求值 从近年高考试题的命题情况来看, 高考对三角函数求值 的考查题型有三类: ① “给角求值” , 即在不查表的前提下, 通过三角恒等变换求三角函数式的值;②“给值求值” ,即 给出一些三角函数(或三角函数式)的值, 求与之有关的其他 三角函数式的值;③“给值求角” ,即给出三角函数值,求 出符合条件的角.

π (2013 广东卷)已知函数 f(x)= 2cos(x- ), x 12 ∈R. π (1)求 f( )的值; 3 3 3π π (2)若 cos θ= ,θ∈( ,2π),求 f(θ- ). 5 2 6 【分析】本题主要考查三角函数的概念与计算,考查两 角和与差公式的应用. π π π π 【解析】(1)f( )= 2cos( - )= 2cos = 2? 3 3 12 4

2 =1. 2 π π π π (2)f(θ- )= 2cos(θ- - )= 2cos(θ- ) 6 6 12 4 π π = 2(cos θcos +sin θsin )=cos θ+sin θ. 4 4 3 3π ∵cos θ= ,θ∈( ,2π), 5 2 4 2 ∴sin θ=- 1-cos θ =- , 5

π 3 4 1 ∴f(θ- )= - =- . 6 5 5 5 【归纳拓展】对于条件求值问题,即由给出的某些角的 三角函数值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于 “变角”, 使“目标角”变换成“已知角” ,若角所在的象限没有确定, 则需分情况讨论,应注意公式的正用、逆用、变形用,掌握 其结构特征,还要注意拆角、拼角等技巧的运用. 变 式 训 练 3 (1) 若 sin α + 2cos α = 0 , 则 1+cos 2α 的值为( ). cos2α+sin 2α

2 A.- 3

2 B. 5

2 C. 3

8 D.- 3

3π 5 (2)已知α∈(π, ),cos α=- ,则 tan 2α等 2 5 于( ). 4 4 A. B.- C.-2 D.2 3 3 【解析】(1)由已知 sin α+2cos α=0 得 tan α=-2, 1+cos 2α 2cos2α 所以 2 = = cos α+sin 2α cos2α+2sin αcos α

2cos2α cos2α 2 2 = =- . 2 cos α 2sin αcos α 1+2tan α 3 + 2 cos α cos2α 5 3π (2)∵cos α =- ,α ∈(π, ) ,∴sin α=- 5 2 2 5 1-cos α=- ,∴tan α=2, 5
2

2tan α 2?2 4 ∴tan 2α= = 2 2=- . 1-tan α 1-2 3

【答案】(1)A (2)B 热点四:平面向量的运算 高考对平面向量的运算的考查常考常新, 与平面向量数 量积有关的问题(如向量共线、 垂直及夹角等问题)是高考考 查的重点.此类问题多以选择题、填空题的形式出现,有时 也渗透在解答题中与其他知识交汇命题, 综合考查学生分析 问题、解决问题的能力. (2013 广东卷)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关 于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c. ②给定向量 b 和 c,总存在实数λ和μ,使 a=λb+μ

c.
③给定单位向量 b 和正数μ, 总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μc. ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c, 使 a=λb+μc. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共 线,则真命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】本题主要考查平面向量的有关概念与性质. 【解析】命题①正确,因为对于非零向量 a,任意给定向量 b,均存在 a-b,即存在向量 c;由平面向量基本定理

可知命题②正确;命题③不正确,若|a|=2,给定的单 位向量 b 满足 a?b=0,μ=1 时,对任意的λ,c 恒有|a -λb|= 4+λ2≥2, |μc|=1, 即 a-λb=μc 不可能成 立;命题④不正确,若|a|=3,λ=μ=1,则不存在单位 向量 b , c 满足 a =λb+μc, 因为|λb+μc|≤λ+μ=2, 所以 a≠λb+μc. 【答案】B 【归纳拓展】平面向量主要考查:(1)平行、垂直的充 要条件;(2)数量积及向量夹角;(3)向量的模.解决此类问 题的办法主要有:(1) 利用平面向量基本定理及定义;(2) 通过建立坐标系进行坐标运算.

变式训练 4 (1)已知向量 a =(1,2),a?b =5,|a-

b|=2 5,则|b|等于(
A. 5 B.2 5

).

C.5 D.25

→ (2)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设→ BC=2→ BD, CA=3→ CE, →?→ 则AD BE=__________. 【解析】(1)∵|a-b|2=(a -b)2=20,∴|a|2+|b|2- 2a?b=20(*).又 a=(1,2),a?b=5, ∴(*)式可化为 5+|b|2-10=20,∴|b|2=25,∴|b| =5.

1→ → → → → (2)∵AD=CD-CA= CB-CA, 2 1→ → → → → BE=CE-CB= CA-CB, 3 1→ → 1→ → 1 1 7→ → → → ∴AD? BE=( CB-CA)? ( CA-CB)=- - + CB? CA= 2 3 2 3 6 1 - . 4 1 【答案】(1)C (2)- 4

热点五:解三角形 “解三角形”不仅反映了三角形边、角间的联系,体现 了数与形的结合,而且问题易与三角函数的图象和性质、简 单三角恒等变换、 平面向量等知识点联系, 符合高考命题 “要 在知识点的交汇处命题”的要求.故解三角形问题也一直是 历年高考的热点. (2013 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的 值.

【分析】本题主要考查三角恒等变换及正、余弦定理的 应用.第(1)问可先由题设条件求出 cos A 值,再求出角 A 的大小;第(2)问可先由面积求出 c 的值,再由余弦定理求 出 a 的值,最后由正弦定理求得 sin Bsin C 的值. 【解析】(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3

1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc? = bc=5 3 ,得 bc= 2 2 2 4 20.又由 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21.

b c bc 2 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A? sin A= 2 sin A a a a
20 3 5 = ? = . 21 4 7

【归纳拓展】解三角形问题,常常是对三角形边、角的 求解,此类问题我们要清楚其实质是对三角形有关边、角方 程的求解,故正确利用正、余弦定理建立边、角间的等式关 系是此类问题解答的关键. 解三角形问题可用“三二一”三个字来概述. “三”即 解三角形问题所用的三个基本定理:正、余弦定理及内角和 定理; “二”即解三角形所用的两条思路:根据结论所求或 题设条件,要么是把题设条件化为边的形式,要么是化为角 的形式; “一”即在解三角形的过程中,一定要注意角的范 围或一定要画图,借助图形更易找出边角关系及解题思路.

变式训练 5 已知锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,向量 m=(sin B, 3ac),n=(b2-a2 -c2,cos B),且 m ⊥n. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,求 AC 边上的高的最大值. 【解析】(1)∵m⊥n,∴m?n=0,因此(b2-a2-c2)sin

B+ 3accos B=0. a2+c2-b2 3 π 又 cos B= ,∴sin B= ,又 B∈(0, ), 2ac 2 2

π ∴B= . 3 π (2)∵b=3,B= ,∴由余弦定理得 9=b2=a2 +c2- 3 2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, ∴ac≤9,当且仅当 a=c 时取等号. 1 1 3 9 3 于是 S△ABC= acsin B≤ ?9? = , 2 2 2 4 1 3 3 又 S△ABC= bh,∴h≤ , 2 2

3 3 ∴AC 边上的高的最大值为 . 2 热点六:解三角形的实际应用 利用正、 余弦定理解决与测量或几何计算有关的实际问 题,也是对正、余弦定理的应用的考查,在近几年的新课标 高考中也多有体现,主要是考查分析问题、解决实际问题的 能力及计算能力. (2013 江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C.

现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B, 在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速 直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1260 m,经测 12 3 量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最

短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 【分析】根据题设条件建立数学模型,也即根据题意把 实际问题抽象为解三角形问题,结合图形,利用解三角形的 知识进行解答,解答过程要注意实际背景. 12 3 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]

=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 = ? + ? = . 13 5 13 5 65 1260 由正弦定理 = , 得 AB= ?sin C= sin C sin B sin B 63 65 4 ? =1040(m). 5 所以索道 AB 的长为 1040 m.

AB

AC

AC

(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此 时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余 弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2?130t?(100+50t) 12 ? =200(37t2-70t+50), 13 1040 35 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时, 甲、 130 37 乙两游客距离最短. (3)由正弦定理 = ,得 BC= ?sin A= sin A sin B sin B

BC

AC

AC

1260 5 ? =500(m). 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50?(2+8+1)=550(m),还 需走 710 m 才能到达 C. 500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3, v 50 1250 625 解得 ≤v≤ , 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时 43 14 1250 间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在[ , 43

625 ](单位:m/min)范围内. 14 【归纳拓展】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列 四步:(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤 其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视 角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在 图形中标出;(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验 解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确 答案.

解三角形的应用时要注意:(1)检验求解出的结果是否 符合实际意义是不可缺少的一个环节;(2)要尽可能地考虑 解直角三角形或利用平面几何知识, 这样可使得计算较为简 单;(3)为了避免误差的积累,解题过程中应尽可能地使用 已知(原始)数据, 少用间接量; (4)题中求解有精确要求的, 要合理选择近似值. 变式训练 6 如图, 某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处,由城 A 出发的一条公路,走向是南偏东 40°,在 C 处 测得公路距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去, 走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问 此人还要走多少千米可到达城 A?

【解析】如图,设∠ACD=α,∠CDB=β.

BD2+CD2-CB2 在△CBD 中,由余弦定理得 cos β= = 2BD?CD
202+212-312 1 4 3 =- ,∴sin β= . 2?20?21 7 7 而 sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60° 4 3 1 3 1 5 3 cos β= ? + ? = . 7 2 2 7 14 21 AD 21?sin α 在△ACD 中, = ,∴AD= = sin 60° sin α sin 60° 15(千米).

即这人再走 15 千米才可到达城 A. 热点七:平面向量与三角函数的综合 平面向量与三角函数的综合是高考命题的又一热点, 此 类问题是把平面向量的运算, 尤其是平面向量的数量积运算 作为三角函数问题的知识载体, 综合考查应用知识分析问题、 解决问题的能力,多以解答题的形式出现.故平面向量的数 量积公式,特别是向量数量积的坐标公式要能够熟练应用. (2013 辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b π =(cos x,sin x),x∈[0, ]. 2

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a?b,求 f(x)的最大值. 【分析】本题是考查向量的模及向量数量积的运算.第 (1)问把向量坐标代入向量模的公式,由|a|=|b|即可求得 x 的值;第(2)问把向量坐标代入向量数量积公式,化解析 式为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再由三角函数的知识求其 π 最值,一定要注意 x∈[0, ]. 2 【解析】(1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x) 2= 4sin2 x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.

π 1 π 又 x∈[0, ],从而 sin x= ,所以 x= . 2 2 6 (2)f(x)=a?b= 3sin x?cos x+sin2x 3 1 1 = sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 π 1 =sin(2x- )+ , 6 2 π π π 当 x= ∈[0, ]时,sin(2x- )取最大值 1. 3 2 6

3 所以 f(x)的最大值为 . 2 【归纳拓展】平面向量与三角函数的综合,实质上是借 助向量的工具性. 解这类问题的基本思路方法是将向量转化 为代数运算.常用到向量的数乘、向量的代数运算,以及数 形结合的思想. 变式训练 7 已知 f(x)=a? b,其中 a =(2cos x, - 3 sin 2x),b=(cos x,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,f(A)

→ → =-1, a= 7, AB? AC=3, 求边长 b 和 c 的值(b>c). 【解析】(1)由题意知 f(x)=2cos2x- 3sin 2x=1+ π cos 2x- 3sin 2x=1+2cos(2x+ ), 3 ∴f(x)的最小正周期 T=π. ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π ∴令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π(k∈Z), 3 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3

π π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 π (2)∵f(A)=1+2cos(2A+ )=-1, 3 π ∴cos(2A+ )=-1, 3 π π π 4π → → 又AB?AC>0,∴0<A< , <2A+ < , 2 3 3 3 π π ∴2A+ =π,∴A= . 3 3 ∵→ AB?→ AC=3,即 bc=6,

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc, ∴7=(b+c)2-18,∴b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2.

限时训练卷(一) 一、选择题 1.已知 sin θ<0,tan θ>0,那么θ是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 由 sin θ<0, 知θ在第三、 四象限, 由 tan θ >0,知θ在第一、三象限,所以θ在第三象限. 【答案】C

π 2.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误 2 的是( ). A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 【解析】∵f(x)=sin(x- )=-cos x, 2 ∴A,B,C 均正确,故错误的是 D.

【答案】D 5 π 3.若 cos(2π-α)= 且α∈(- ,0),则 sin(π 3 2 -α)等于( 5 A.- 3 ). 2 B.- 3 1 C.- 3 2 D.± 3

5 5 【解析】∵cos(2π-α)= ,∴cos α= . 3 3 π 2 又α∈(- ,0),∴sin α=- , 2 3

2 ∴sin(π-α)=sin α=- . 3 【答案】B 4.若圆的半径增加到原来的 2 倍,弧长也增加到原来 的 2 倍,则( ). A.扇形面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

l 【解析】∵l=|α|R,∴|α|= ,当 R、l 均变为原来 R

的 2 倍时,|α|不变. 1 而 S= |α|R2 中,∵α不变,∴S 变为原来的 4 倍. 2 【答案】B 5. 要得到函数 y=sin 2x 的图象, 只需将函数 y=sin(2x π - )的图象( ). 3 π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向左平移 个单位长度 6

π C.向右平移 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 3 π π 【解析】y=sin(2x- )=sin2(x- ), 3 6 故要得到函数 y=sin 2x 的图象, 只需将函数 y=sin(2x π π - )的图象向左平移 个单位长度. 3 6 【答案】B

6. 已知倾斜角为α的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行, 则 tan 2α的值为( ). 4 4 3 2 A. B. C. D. 5 3 4 3 【解析】已知倾斜角为α的直线 l 与直线 x-2y+2=0 1 2tan α 1 4 平行,则 tan α= ,tan 2α= = = . 2 2 1-tan α 3 3 4 【答案】B 7.下列关系式中正确的是( ). A.sin 11°<cos 10°<sin 168°

B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 【解析】sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=cos(90°-80°)=sin 80°, 由于正弦函数 y=sin x 在区间[0°,90°]上为递增函 数,因此 sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即 sin 11°<sin 168°<cos 10°. 【答案】C 8.在直角坐标平面内,已知函数 f(x) =loga(x+2) +3(a >0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,若角θ的终边过点 P,

则 cos2θ+sin 2θ的值等于( ). 1 1 7 7 A.- B. C. D.- 2 2 10 10 【解析】 由条件可知点 P 的坐标为(-1,3), 则 sin θ 3 1 = , cos θ=- , 故 cos2θ+sin 2θ=cos2θ+2sin 10 10 1 6 1 θcos θ= - =- . 10 10 2 【答案】A 9.下图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω> 0)图象的一部分,则其函数解析式是( ).

π π A.y=sin(x+ ) B.y=sin(x- ) 3 3 π π C.y=sin(2x+ ) D.y=sin(2x- ) 6 6 T π π π 【解析】由图象可知 A=1, = -(- )= ,∴T 4 6 3 2 =2π,

2π π ∴ω= =1.又( ,1)可看作“五点法”作图的第二 T 6 个点, π π π π ∴ +φ= ,∴φ= ,∴y=sin(x+ ). 6 2 3 3 【答案】A 二、填空题 10.sin(-600°)=________. 【解析】sin(-600°)=-sin 600°=-sin 240°= 3 sin 60°= . 2

3 【答案】 2 π 3 11.已知 sin(x+ )=- ,则 sin 2x=________. 4 4 π π 【解析】sin 2x=-cos( +2x)=-cos 2( +x) 2 4 3 2 1 2 π =2sin ( +x)-1=2?(- ) -1= . 4 4 8 1 【答案】 8

12.函数 y=sin(1-x)的递增区间为________. π 3π 【解析】y=-sin(x-1),令 +2kπ≤x-1≤ + 2 2 2kπ(k∈Z), π 3π 解得 x∈[1+ +2kπ,1+ +2kπ](k∈Z). 2 2 π 3π 【答案】[1+ +2kπ,1+ +2kπ](k∈Z) 2 2 三、解答题 13.已知函数 f(x)=2sin xcos x+cos 2x(x∈R). (1)当 x 取什么值时,函数 f(x)取得最大值,并求其最

大值; π 2 (2)若θ为锐角,且 f(θ+ ) = ,求 tan θ的值. 8 3 【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x 2 2 π = 2( sin 2x+ cos 2x)= 2sin(2x+ ). 2 2 4 π π π ∴当 2x+ =2kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,函 4 2 8 数 f(x)取得最大值,其值为 2.

π 2 (2)(法一)∵f(θ+ )= , 8 3 π 2 1 ∴ 2sin(2θ+ )= ,∴cos 2θ= . 2 3 3 π ∵θ为锐角,即 0<θ< ,∴0<2θ<π,∴sin 2 2 2 2 θ= 1-cos 2θ= , 3
2

sin 2θ 2tan θ ∴tan 2θ= =2 2 ,即 =2 2, 2 cos 2θ 1-tan θ

∴ 2tan2θ+tan θ- 2 =0, ∴( 2tan θ-1)(tan θ+ 2)=0. 2 ∴tan θ= 或 tan θ=- 2(不合题意,舍去). 2 2 ∴tan θ= . 2 π 2 π 2 (法二)∵f(θ+ )= ,∴ 2sin(2θ+ )= , 8 3 2 3

1 1 2 ∴cos 2θ= ,∴2cos θ-1= . 3 3 π 6 ∵θ为锐角,即 0<θ< ,∴cos θ= , 2 3 3 sin θ 2 ∴sin θ= 1-cos θ= , ∴tan θ= = . 3 cos θ 2
2

限时训练卷(二) 一、选择题 1.已知 a?b=-12 2,|a|=4,a 和 b 的夹角为 135°,

则|b|为( A.12

). B.3 C.6 D.3 3

【解析】4?|b|cos 135°=-12 2,解得|b|=6. 【答案】C 2.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,- →,则顶点 D 的坐标为( 2),C(3,1),且→ BC=2AD 7 1 A.(2, ) B.(2,- ) 2 2 C.(3,2) D.(1,3) ).

【解析】设 D(x,y),∵→ BC=(4,3),→ AD=(x,y-2),
? ? ?2x=4, → → 且BC=2AD,∴? 解得? 7 ? ?2y-4=3, ?y = .

?x=2, ?
2

【答案】A →=a ,→ 3.在△ABC 中,AB BC=b,若 a?b>0,则△ABC 的形状为( ). A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能判断

→与→ 【解析】如图,设AB BC的夹角为θ,

则|a||b|cos θ>0,∴cos θ>0.又 0<θ<π,∴0 π π <θ< ,∴∠ABC=π-θ> . 2 2 【答案】B

π 4.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, ]上单 3 π π 调递增,在区间[ , ]上单调递减,则ω等于( ). 3 2 3 2 A.3 B.2 C. D. 2 3 π 【解析】函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, ] 2ω π 3π 上单调递增,在区间[ , ]上单调递减, 2ω 2ω

π π 3 则 = ,即ω= ,答案应选 C. 2ω 3 2 π (另解)由题意可知当 x= 时, 函数 f(x)=sin ωx(ω 3 π π 3 >0)取得最大值, 则 ω=2kπ+ (k∈Z), 即ω=6k+ (k 3 2 2 ∈Z),结合选择项可得答案应选 C. 【答案】C 5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 若角 A,B,C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( ).

A. 2

B. 3

3 C. 2

D.2

【解析】由角 A,B,C 依次成等差数列,得 A+C=2B, π 解得 B= . 3 π 2 2 由余弦定理得( 3) =1+c -2ccos ,解得 c=2. 3 1 1 π 3 于是,S△ABC= acsin B= ?1?2sin = . 2 2 3 2 【答案】C

6. 满足 A=45°, c= 6 , a=2 的△ABC 的个数记为 m, 则 am 的值为( ). A.4 B.2 C.1 D.不确定

csin A 【解析】由正弦定理 = 得 sin C= = sin A sin C a
2 6? 2 3 = .∵c>a,∴C>A=45°, 2 2 ∴C=60°或 120°,∴满足条件的三角形有 2 个,即 m=2.

a

c

∴am=4. 【答案】A 7. 已知 A, B, C 是锐角△ABC 的三个内角, 向量 p=(sin A,1),q =(1,-cos B),则 p 与 q 的夹角是( ). A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 【解析】∵p?q=sin A-cos B,又△ABC 是锐角三角 π π π 形,∴A+B> ,即 >A> -B>0, 2 2 2 π ∴sin A>sin( -B),即 sin A>cos B,即 p?q>0, 2 易知 p,q 的夹角不为零角,

∴p ,q 的夹角为锐角. 【答案】A 8.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对 的边,设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若向量 m ⊥n ,则角 A 的大小为( ). π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 【解析】∵m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),且 m⊥n ,∴ m?n=(b-c,c-a)?(b,c+a)=b(b-c)+c2-a2=0,即 2 2 2 b + c - a bc 1 2 2 2 b +c -a =bc,又∵cos A= = = ,0<A 2bc 2bc 2

π <π,∴A= . 3 【答案】B 9.在△ABC 中,A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3, 则边 a 的值为( A.2 7 ). B. 21 C. 13 D.3

1 1 【解析】由 S△ABC= bcsin A= csin 60°= 3 ,得 c 2 2 =4.于是,a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8cos 60°=13,

a= 13.

【答案】C 二、填空题 →的 10.在△ABC 中,a=5,b=8,∠C=60°,则→ CB?CA 值为________. 【解析】→ CB?→ CA=|→ CB||→ CA|cos C=abcos C=20. 【答案】20 11.已知向量 a,b 满足|b|=2,a=(6,-8),a 在 b 方向上的投影是-5,则 a 与 b 的夹角为________. 【解析】由题意得,|a|?cos〈a,b〉=-5,即 cos

1 〈a ,b〉=- ,∴〈a ,b〉=120°. 2 【答案】120° 12.4cos 70°+tan 20°=________. sin 20° 【解析】原式=4sin 20°+ cos 20° 2sin 40°+sin 20° = cos 20° 2sin(60°-20°)+sin 20° cos 20°



3cos 20° = = 3. cos 20° 【答案】 3 三、解答题 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 3A 3A A A 已知 m =(cos ,sin ),n =(cos ,sin ),且满足|m+ 2 2 2 2

n|= 3.
(1)求角 A 的大小;

(2)若|→ AC|+|→ AB|= 3|→ BC|,试判断△ABC 的形状. 【解析】(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m?n=3,即 3A A 3A A 1+1+2(cos cos +sin sin )=3, 2 2 2 2 1 π ∴cos A= ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 (2)∵|→ AC|+|→ AB|= 3|→ BC|,∴b+c= 3 a, ∴sin B+sin C= 3sin A,

2π 3 3 1 ∴sin B+sin( -B)= 3? ,即 sin B+ cos B 3 2 2 2 3 = , 2 π 3 2π π π 5π ∴sin(B+ )= .∵0<B< ,∴ <B+ < , 6 2 3 6 6 6 π π 2π π π ∴B+ = 或 ,故 B= 或 . 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= 时,C= . 6 2 2 6

故△ABC 是直角三角形.

一、选择题 4 1. 已知角α的终边经过点 P(m, -3), 且 cos α=- , 5 则 m 等于( ). 11 11 A.- B. C.-4 D.4 4 4 4 【解析】由题意可知,cos α= 2 =- ,又 m<0, 5 m +9

m

解得 m=-4. 【答案】C π 2.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周 4 期为π,则该函数的图象( ). π A.关于点( ,0)对称 4 π B.关于直线 x= 对称 8 π C.关于点( ,0)对称 8

π D.关于直线 x= 对称 4 2π 【解析】由 T= =π,得ω=2,故 f(x)=sin(2x

ω

π π π kπ π + ),令 2x+ =kπ+ (k∈Z),x= + (k∈Z), 4 4 2 2 8 π 故当 k=0 时,该函数的图象关于直线 x= 对称. 8 【答案】B 3.△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c, 又 a、 b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 等于( ).

1 3 2 A. B. C. 4 4 4

2 D. 3

【解析】 ∵a、 b、 c 成等比数列, ∴b2=ac.又由 c=2a, a2+c2-b2 a2+4a2-ac 5a2-2a2 3 ∴cos B= = = = . 2ac 2ac 4a2 4 【答案】B 4.已知△ABC 的三内角为 A、B、C,设 p=(sin C-sin A,sin B),q=(sin B,sin C+sin A),若 p∥q,则角 C 的大小为( ). π π π 2π A. B. C. D. 2 3 6 3

【解析】由 p∥q,得 sin2C-sin2A=sin2B,∴c2-a2= π 2 2 2 2 b ,即 a +b =c ,∴C= . 2 【答案】A 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图 象如图所示,则 f(1) +f(2) +f(3) +?+f(11)的值等于 ( ).

A.2 B.2+ 2 C.2+2 2 D.-2-2 2

π 【解析】由图象可知 f(x)=2sin x,且周期为 8,∴ 4 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(11) = f(1) + f(2) + f(3) = π π 3π 2sin +2sin +2sin =2+2 2. 4 2 4 【答案】C

6.若△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且(→ AB+ → →=0,则△ABC 一定是( AC)?BC A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 →+→ →=0,∴(→ →)=0, 【解析】∵(AB AC)?BC AB+→ AC)?(→ AC-AB →2-AB →2=0,即|AC →|=|AB →|,又 A,B,C 成等差数列,∴ ∴AC ).

B=60°,从而 C=60°,A=60°,∴△ABC 为等边

三角形. 【答案】D
? a1 7.定义行列式运算? ? ? a3 ? ? ? ?

a2 ? ? ?=a1a4-a2a3.将函数 f(x)= a4 ?

3 sin x ? ? 所得图象 ?的图象向左平移 n(n>0)个单位长度, 1 cos x ? ).

对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( π π 5π 2π A. B. C. D. 6 3 6 3

? 【解析】 f(x)=? ? ?

3 sin x ? ? ?= 3cos x-sin x=2cos(x 1 cos x ?

π + ), 将其图象向左平移 n(n>0)个单位长度得到 f(x+n) 6 π =2cos(x+n+ )的图象,又此函数为偶函数,则 n 的最小 6 5π 值为 . 6 【答案】C

π 2 3 8.已知α,β∈(0, ), = ,且 2sin β 2 2 2α 1-tan 2 =sin(α+β),则β的值为( ). π π π 5π A. B. C. D. 6 4 3 12 3 【解析】由 = ,得 tan α= 3.∵α∈(0, α 2 2 1-tan 2 tan

tan

α

α
2

π ), 2 π ∴α= , 3 π 3 1 ∴2sin β=sin( +β)= cos β+ sin β, 3 2 2 3 π ∴tan β= ,β= . 3 6 【答案】A

9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a2+c2-b2)tan B= 3 ac,则角 B 的值为( π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3
2 2 2 a + c - b 【 解 析 】 由 (a2 + c2 - b2)tan B = 3 ac , 得 = 2ac

).

3 cos B 3 cos B 3 ? ,即 cos B= ? ,∴sin B= .又∵角 2 sin B 2 sin B 2

π 2π B 在三角形中,∴角 B 为 或 . 3 3 【答案】D 10.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的 对边,向量 m =(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1), 若 m⊥n,且 a+b=10,则△ABC 周长的最小值为( ). A.10-5 3 C.10-2 3 B.10+5 3 D.10+2 3

【解析】m⊥n?m?n=0?2cos2C-cos C-2cos C-2

1 =0,即 2cos C-3cos C-2=0,解之得 cos C=- , 2 cos C=2(舍去).又 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab(1 1 a+b 2 2 +cos C)=10 -2ab(1- )≥100-( ) =100-25=75, 2 2
2

∴c≥5 3,则△ABC 的周长为 a+b+c≥10+5 3. 【答案】B

二、填空题 π 11.函数 y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移 个单位 6 后如图所示,则ω的值是________.

3 7π π 【解析】由题中图象可知 T= -(- ),∴T=π, 4 12 6 2π ∴ω= =2.

T

【答案】2 2 12.在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B= 3 ,则 3 tan Atan B 的值为________. 【解析】tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= 3, tan A+tan B ∴tan(A+B)= = 3, 1-tan Atan B 2 3 3 1 即 = 3,解得 tan Atan B= . 1-tan Atan B 3

1 【答案】 3 13.已知|a|=10,|b|=8,a 与 b 的夹角为 120°,则 向量 b 在向量 a 方向上的投影等于________. 【解析】向量 b 在向量 a 方向上的投影等于|b|cos 120° 1 =8?(- )=-4. 2 【答案】-4 2cos 5°-sin 25° 14. 的值为________. cos 25°

2cos(30°-25°)-sin 25° 【解析】原式= = cos 25° 3cos 25° = 3. cos 25° 【答案】 3 π 15.在△ABC 中,BC=1,∠B= ,当△ABC 的面积等 3 于 3时,tan C=________. 1 1 π 【解析】由已知得 S△ABC= acsin B= csin = 3, 2 2 3

则 c=4,再由余弦定理可得 b2=1+42-2?1?4?cos π = 13 , 则 b = 13 , 据 余 弦 定 理 可 得 cos C = 3 1+( 13)2-42 1 =- , 2 13 13 2 3 故 sin C= ,因此 tan C=-2 3. 13 【答案】-2 3

三、解答题 π α α 6 16.已知α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 (1)求 cos α的值; 3 π (2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cos β的 5 2 值. 6 【解析】(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 2 2 2

α

α

1 π 3 sin α= .又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 2 π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β< 2 2 π - , 2 π π 故- <α-β< . 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+

3 4 1 3 4 3+3 sin αsin(α-β)=- ? + ?(- )=- . 2 5 2 5 10 →=(2sin2x,1),OB →=(1, 17.已知 O 为坐标原点,OA -2 3sin xcos x+1),f(x)=→ OA?→ OB+m. (1)求 y=f(x)的单调递增区间; π (2)若 f(x)的定义域为[ ,π],值域为[2,5],求 m 的值. 2

【解析】(1)f(x)=2sin2x-2 3sin xcos x+1+m=1 π -cos 2x- 3sin 2x+1+m=-2sin(2x+ )+2+m. 6 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π 2π 故 y=f(x)的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ](k 6 3 ∈Z).

π 7π π 13π (2)当 ≤x≤π时, ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 π 1 ∴-1≤sin(2x+ )≤ , 6 2 ∴1+m≤f(x)≤4+m,
? ?1+m=2, ∴? ?m=1. ? ?4+m=5

18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 3 且 a=1,c= 2 ,cos C= . 4 (1)求 sin(A+B)的值;

(2)求 sin A 的值; (3)求→ CB?→ CA的值. 【解析】(1)∵在△ABC 中,A+B=π-C,∴sin(A+ B)=sin(π-C)=sin C. 3 π 7 2 又∵cos C= , ∴0<C< , ∴sin C= 1-cos C= , 4 2 4 7 ∴sin(A+B)= . 4 (2)由正弦定理得 = , sin A sin C

a

c

7 1? asin C 4 14 ∴sin A= = = . c 8 2 (3)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C, 3 2 2 2 ∴( 2) =1 +b -2?1?b? , 4 1 2 则 2b -3b-2=0,解得 b=2 或 b=- (舍去), 2 3 3 → → → → ∴CB?CA=|CB|?|CA|?cos C=1?2? = . 4 2

1 19.已知向量 m=(sin A, )与 n=(3,sin A+ 3cos 2 A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取 得最大值时△ABC 的形状. 【解析】(1)因为 m∥n ,所以 sin A?(sin A+ 3cos A) 3 - =0. 2

1-cos 2A 3 3 3 1 所以 + sin 2A- =0,即 sin 2A- cos 2 2 2 2 2 π 2A=1,则 sin(2A- )=1. 6 π π 11π 因为 A∈(0,π),所以 2A- ∈(- , ). 6 6 6 π π π 故 2A- = ,即 A= . 6 2 3 (2)设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,则由余弦定理, 得 4=b2+c2-bc.

而 b2+c2≥2bc,所以 bc+4≥2bc,即 bc≤4(当且仅当 b=c 时等号成立), 1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= bc≤ ?4= 3. 2 4 4 当△ABC 的面积取最大值时,b=c. π 又 A= ,故此时△ABC 为等边三角形. 3 20.已知角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,若向量 m= A-B 5 A-B 9 (1-cos(A+B),cos ),n =( ,cos ),且 m?n= . 2 8 2 8 (1)求 tan Atan B 的值;

absin C (2)求 2 2 2的最大值. a +b -c
5 5 9 1 2A -B 【解析】 (1)m? n= - cos(A+B)+cos = - cos 8 8 2 8 8 9 9 Acos B+ sin Asin B= , 8 8 1 ∴cos Acos B=9sin Asin B,得 tan Atan B= . 9 1 (2)∵tan Atan B= >0, 9 ∴A,B 均是锐角,即其正切值均为正.

tan A+tan B 9 tan(A + B) = = (tan A + tan B) ≥ 1-tan Atan B 8 9 3 ?2 tan Atan B = , 8 4 1 当且仅当 tan A=tan B= 时,取得等号. 3 absin C sin C 1 1 3 = tan C=- tan(A+B)≤- , 2 2 2= a +b -c 2cos C 2 2 8 3 ∴所求最大值为- . 8

21. 已知 a=(1-cos x, 2sin ), b=(1+cos x, 2cos ). 2 2 1 (1)若 f(x)=2+sin x- |a-b| 2,求 f( x) 的表达式; 4 (2)若函数 f(x)和函数 g(x)的图象关于原点对称, 求函 数 g(x)的解析式; π π (3)若 h(x)=g(x)-λf(x)+1 在[- , ]上是增函 2 2 数,求实数λ的取值范围.

x

x

1 x 2 【解析】 (1)f(x) = 2 + sin x - [4cos x + 4(sin - 4 2 cos )2]=2+sin x-cos2x-1+sin x=sin2x+2sin x. 2 (2)设函数 y=f(x)的图象上任一点 M(x0,y0)关于原点 的对称点为 N(x,y), 则 x0=-x,y0=-y. ∵点 M 在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=sin2(-x)+2sin(-x), 即 y=-sin2x+2sin x, ∴函数 g(x)的解析式为 g(x)=-sin2x+2sin x.

x

(3)h(x)=-(1+λ)sin2x+2(1-λ)sin x+1, 设 sin x=t(-1≤t≤1), 则有 k(t)=-(1+λ)t2+2(1-λ)t+1(-1≤t ≤1). ①当λ=-1 时, k(t)=4t+1 在[-1, 1]上是增函数, ∴λ=-1 符合题意. 1-λ ②当λ≠-1 时,对称轴方程为直线 t= . 1+λ 1-λ (ⅰ)当λ<-1 时, ≤-1,解得λ<-1; 1+λ 1-λ (ⅱ)当λ>-1 时, ≥1,解得-1<λ≤0. 1+λ

综上,λ≤0.


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