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2016年山东科技职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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2016 年山东科技职业学院单招数学模拟试题(附答案解 析)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. ( )

A.
2.若

B.
,则“

C.

”是“

D.
”的 ( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3.函数 f (x)=2|x-1|的大致图象是

A

B C

D

4.下列命题正确的是 A.垂直于同一直线的两条直线平行





B.若一条直线垂直于两条平行线中的一条,则它垂直于另一条 C.若一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交 D.一条直线至多与两条异面直线中的一条相交
5 .从 6 名 男生和 2 名女 生中 选出 3 名志 愿者, 其中 至少有 1 名 女生的 选法 共有 ( ) A.30 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种

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6.首项系数为 1 的二次函数 A. C. 7.若圆 在 B. D. 和 ( ) 轴都相切,则该 处的切线与 轴平行,则 ( )

的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线

圆的标准方程是

A.

B.

C. 8.已知 若 A. 为等差数列, ,则 B.

D. 为等比数列,其公比 ,且 ( C. D. ) 或 ,

9.已知 围 是 A. C. 10.已知 或

,且

,若

恒成立,则实数

的取值范

( B.

) 或 D.

,C 为线段 AB 上距 A 较近的一个三等分点,D 为线段 CB 上 、 表示 的表达式为 ( )

距 C 较近的一个三等分点,则用

A.

B.

C.

D.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.

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11.设集合 , ,则 .

12. (



)6 的展开式中的常数项是

(用数字作答) .

13.已知椭圆

的离心率

,则 m 的值为___________.

14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了

10000 人,并根据 的频率 分布直方图(如图),为了分析居民的收入与 年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作 进一步调查,则在(2500,3000)(元)月收 入段应抽出的人数为 .

所得数据画出了样本

15.将大小不同的两种钢板截成 A、B 两 种 规格的成品,每张钢板可同时截得这两 种规格的成品的块数如右表所示.若现 在需要 A、B 两种规格的成品分别为 12

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块和 10 块, 则至少需要这两种钢板共 张.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设函数 . (Ⅰ)求实数 (Ⅱ)求函数 的值; 的最小值. ,其中向量 , ,且

17.(本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (Ⅱ)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.

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18.(本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 平面 . 中, . (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角 平面 ; 的大小. ,

19.(本小题满分 12 分)

如图,设矩形 ABCD( 把它关于 AC 折起来,AB 折过去后,交 DC 于点 P.设 AB= 积及相应的 值. ,求

的周长为 24, 的最大面

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20.(本小题满分 13 分) 平面直角坐标系中, 满足 、 (Ⅰ)求点 C 的轨迹方程; . 为坐标原点,给定两点 A(1,0)、B(0,-2),点 C

(Ⅱ)设点 C 的轨迹与双曲线 点,且以 MN 为直径的圆过原点,求证 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若双曲线的离心率不大于 取值范围. ;

交于 M、N 两

,求双曲线实轴长的

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21.(本小题满分 14 分) 已知数列 (Ⅰ)若 是公差为 , , 的等差数列, 为其前 ; 项和.

依次成等比数列,求其公比

(Ⅱ)若 与向量 共线;

,求证:对任意的



,向量

(Ⅲ)若



, ,点

,问是否存在一个半径 都在这个圆内或圆周上.

最小的圆,使得对任意的

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 B 8 C 9 D 10 A

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11. 12. 60 13.25 14. 3 或 15. 7

三、解答题 16.解:(Ⅰ) . ……………………………………2 分



,得

. ………………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

. ………………8 分



时,

的最小值为

. ……………………………12 分

17.解:(Ⅰ)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为事件 A,摸出两个球共有方 法 种. 种,其中,两球一白一黑有 ……………………………………3 分





答: 从口袋中摸出两个球恰好颜色不同的概率是

. …………………………6分

(Ⅱ)记“摸出一球,放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为事件 B.

摸出一球为白球的概率是

,摸出一球为黑球的概率是

, …………8 分





…………………………………12 分

答:“有放回摸两次,颜色不同”的概率为 0.48.

18.解:(Ⅰ)

平面



平面



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. ……………………………………………………………………2 分

, , , ,即 , (Ⅱ)连接 平面 为二面角 在 中, . , , 的平面角. . ……………………………………8 分 。 . 平面 . ………………………………………6 分

. …………………………………10 分

, 二面角 的大小为 .

. …………………………………………12 分

另解:(Ⅰ)建系设点正确 2 分,求出两个法向量 2 分,判断正确 2 分;

(Ⅱ)求出两个法向量 3 分,求出余弦值 2 分,求出正切值 1 分.

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19.解法一: 因为 又 由勾股定理得 , ,所以 . ,

整理得

.

…………………………………………………………4 分

因此

的面积

.

……………………………………………………………6 分

.

. ……………………………………………8 分

当且仅当 答:当 分 另解: 因为

时,即 时,

时,S 有最大值 的面积有最大值

. . ………………………12

,所以

.



中,

.

在 在

中, 中,

.

.(以下略)

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20.解:(Ⅰ)设 ,则

,

即点 C 的轨迹方程为

. ………………………………………………4 分

(Ⅱ) .

由题意

. …………6 分 .

,

. …………………………………9 分

(Ⅲ)

.

.

. ∴双曲线实轴长的取值范围是 21.解:(Ⅰ)因为 所以 , , , . ……………………………………………13 分

成等比数列, . …………………………2 分

所以



.

…………………………………………………4 分

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(Ⅱ)因为 . ………6 分



.

所以 所以,向量 与向量 共线. ………………………………………9 分

(Ⅲ)因为

,所以



.

所以

.

=

.

…………………………………………11 分

因为

,所以

,

,当

时取等号.

所以 对任意的 分

,即 ,点

所以存在半径最小的圆,最小半径为 都在这个圆内或圆周上.

,使得

……………………………………14


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