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07-13年广东高考数学圆锥曲线文科答案[1]


2007 年广东高考文科卷 11 题
y2=8x 解析:设抛物线方程为 y2=2px,过 P(2,4), ∴16=4p.∴p=4.∴方程为 y2=8x.
2 19 题 解: (1) 设圆 C 的圆心为 A (p,q) ,则圆 C 的方程为 (x-p) +(y-q)2=8,

∵直线 y=x 与圆 C 相切于坐标原点 O,∴O 在圆 C 上,且直线 OA 垂直于直 线 y=x.
? p2 ? q2 ? 8 ? p ? 2 ? p ? ?2 ? ?? 或? 于是有 ? q ? ? 1 q ? ? 2 ? ? q?2 ? p ?

由于点 A(p,q)在第二象限,故 p<0. 所以圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为 10, a2 9 ∴ 2a ? 10 ? a ? 5 .故椭圆右焦点为 F(4,0).

(2)∵椭圆

若圆 C 上存在异于原点的点 Q(x0,y0)到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长 , 2 2 2 则有|QF|=|OF|,于是 ( x0 ? 4)2 ? y0 ? 16 ,且 x0 ? y0 ? 0 .① 由于 Q(x0,y0)在圆上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.② 解①和②得 x0 ? , y0 ?
4 5 12 . 5
4 12 ). 5 5

故圆 C 上存在满足条件的点 Q ( ,

2008 年广东高考文科卷 19 题
解:(1)由 x2=8(y-b)得 y= x 2 +b.
1 8

当 y=b+2 时,x=±4, 则 G 点的坐标为(4,b+2). 于是抛物线 x2=8(y-b)在点 G 的切线的 l 的斜率 k ? 切线 l 的方程为 y=x+b-2. 由椭圆方程得 F1 点的坐标为(b,0), 又切线 l 经过椭圆的右焦点 F1 ∴由 0=b+b-2,解得 b=1.
1

x |x ? 4 ? 1 , 4

因此满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为

x2 2 ? y 2 ? 1和 x =8(y-1). 2

(2)抛物线上存在点 P,使得△ABP 为直角三角形,这样的点共有 4 个.

①分别过 A, B 作 x 轴的垂线, 与抛物线分别交于两点 P1 (? 2, ) 和 P2 ( 2, ) , 则△ABP1 和△ABP2 都是直角三角形. ②以原点为中心, | AB |? 2 为半径作圆周,由于圆周半径大于椭圆的半短 轴长 1,且椭圆与抛物线仅交于一点,所以上述圆周必与抛物线相交于两 点 P 3 和 P 4. 则△ABP3 和△ABP4 都是直角三角形. 因为 P1A 与圆相切于点 A,而 P3 在圆周上, 所以 P3 与 P1 不重合,同理 P4 与 P2 不重合. 故 P1、P2、P3 和 P4 是两两互不相同的点.
1 2

5 4

5 4

2009 年广东高考文科卷 15 题
(1)-6

? x ? 1 ? 2t , 3 的普通方程为 3x+2y-7=0, k1 ? ? . 2 ? y ? 2 ? 3t , 4 直线 4x+ky=1 的斜率 k2 ? ? , k

解析:直线 ?

∵两直线垂直,∴k1·k2=-1. ∴k=-6.

19 题 解:(1)设椭圆 G
? 2a ? 12 则? ?c 3 ? ? 2 ?a
2 2

x2 y 2 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),半焦距为 a b

c,

解得 ? ?
2

? a?6 ? ?c ? 3 3

∴b =a -c =36-27=9.
2

所求椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 9

(2)点 Ak 的坐标为(-k,2),
1 1 S?AK F1F2 ? ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 . 2 2

(3)若 k≥0,由 6 +0 +12k-0-21=15+12k>0,可知点(6,0)在圆 Ck 外; 2 2 若 k<0,由(-6) +0 -12k-0-21=15-12k>0,可知点(-6,0)在圆 Ck 外, ∴不论 k 为何值,圆 Ck 都不能包围椭圆 G.

2

2

2010 年广东高考文科卷 7题
答案为:B 由 2a,2b,2c 成等差数列,所以 2b=a+c. 又 b2=a2-c2,所以(a+c)2=4(a2-c2). 所以 a= c.所以 e= = .
5 3 c a

15 题

答案为:(1, )

? 2

3 5

解析:由 ρ (cosθ +sinθ )=1,ρ (sinθ -cosθ )=1,
? ? ?1 ? ? ?1 ? ? cos ? ? 0 ? 得? ,又因 ρ ≠0,所以 ?cos ? ? 0 ,即 ? ? ?. ?? ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? 2 ? ? 所以交点极坐标为(1, ). 2

21 题

解:(1)∵(nx2)′=2nx, 2 ∴曲线 Cn 过点 Pn(xn,yn)的切线 ln 的方程为 y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn ) , 2 2 即 2nxn x ? y ? nxn ? 0 .令 x=0,得 y ? ?nxn , 2 ∴Qn 的坐标为(0, ?nxn ). (2)原点 O(0,0)到 ln 的距离为 d ( xn ) ?
4 | PnQn |? xn 2 ? 4n 2 xn .

2 nxn 2 1 ? 4n 2 xn



1 1 d ( xn ) nxn d ( xn ) 1 时, 取得最大值 . ? ,? ? 4n2 xn ,即 xn ? 2 2n 4 | PnQn | 1 ? 4n xn xn | Pn Qn | 1 1 故所求 Pn 的坐标为( , ). 2n 4n

2011 年广东高考文科卷 8题
答案为:A 动圆圆心 C 到定点(0,3)的距离与到定直线 y=-1 的距离相等,符合抛物
3

线的定义,故选 A 项.

14 题

答案为:(1,

2 5 ) 5

解析:由两曲线参数方程消去 x,y,t 得
5 5 cos ? ? sin 2 ? ,由此得 5cos2 ? ? 4 5 cos ? ? 5 ? 0 . 4

? x ?1 5 2 5 2 又∵0≤θ <π ,∴解得 cos ? ? .∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? .∴ ? ? 2 5. 5 5 ?y ? 5 ? 2 5 故交点坐标为(1, ). 5

19 题

解: (1)两圆的圆心分别为 A( ? 5 ,0),B( 5 ,0),半径为 2, 设圆 C 的半径为 r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4, 即||CA|-|CB||=4. 则 C 的轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5 ,b2=1 ∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图, 连 MF 并延长交双曲线于一点 P,此时|PM|-|PF|= |MF|为||PM|-|FP||的最大值.
3 5 4 5 2 ? 5)2 ? ( ) ?2 5 5 MF 的方程为 y ? ?2( x ? 5) 即 y ? 2 5 ? 2x 代入 x2-4y2=

又 | MF |? (

4 并整理得 15x2 ? 32 5x ? 84 ? 0 ,解得 x=
6 5 6 5 ,显然 x= 为点 P 的横坐标, 5 5 2 5 2 5 ?? 点 P 的纵坐标为 y p ? 2 5 ? . 5 5

14 5 或 x= 15

即||MP|-|FP||的最大值为 2,此时点 P 的坐标为 (

6 5 2 5 ,? ). 5 5

2013 年广东高考文科卷 7.【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到 直线的距离等于 r ? 1 ,排除 B、C;相切于第一象限排除 D,选 A.直接法可
4

设所求的直线方程为:y ? ? x ? k ? k ? 0? , 再利用圆心到直线的距离等于 r ? 1 , 求得 k ? 2 .
d? 0?c?2 2 ? 3 2 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去)

20.【解析】 (1)依题意

2 ? 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ;

(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,
2 由 x ? 4 y ,即

y ?

1 1 2 x x , ? y ? 4 2 . 得

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 即 ∵
y?
y1 ?

y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) 2 ,

x1 1 x ? y1 ? x12 2 2 . x 1 2 x1 y ? 1 x ? y1 4 , ∴ 2 . y0 ? x1 x0 ? y1 2 .

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, ∴ x y 0 ? 2 x0 ? y 2 2 同理, . ②



综合①、②得,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 ∵经过 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为
y0 ? x x0 ? y 2 ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1

y0 ?

x x0 ? y 2 .

(3)由抛物线的定义可知



所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ?1
? x2 ? 4 y ? 2 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0 , 联立 ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ,消去 x 得 2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ? 1 9 y0 ? ? AF ? BF 2 时, ?当 取得最小值为 2
2 0

2

5


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