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第十二节 定积分与微积分基本定理


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第十二节

定积分与微积分基本定理 结束

第十二节 [课前· 双基落实] 基础盘查一 1.(1)√ (2)× (3)×

定积分与微积分基本定理

(4)√

π 2.4

基础盘查二 1.(1)× (2)√ 3π2 2.(1) 8 +1

(2)e2-e-2ln 2 [课堂· 考点突破] 考点一 [题组练透]
2 解:(1)∫3 -1(3x -2x+1)dx =(x3-x2+x)|3 -1=24.

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1 1 2 2 (2)∫1?x- ?dx=? x -ln
?

?

?

?

x?

?2

? ? 3 2 x? ? ?1= -ln 2 ? ?
?π ? ? ?

2.

(3) (sin x-cos x)dx= sin xdx- cos xdx=
0 0 0 π (-cos x) |π 0 -sin x |0 =2.

?π ? ? ?

?π ? ? ?

(4) |1-x|dx= (1-x)dx+ (x-1)dx
0 0 1

?2 ? ? ?

?1 ? ? ?

?2 ? ? ?

? ?1 2 ? ? 1 2? ? 2 ?1 ? x -x? ? =?x-2x ? ? + ?1 0 ? ? ? ?2 ? ? ? ?1 ? ?1 ? 1? 2 2 =?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1?=1. ? ? ? ? ? ?

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考点二 [典型母题] 解析:由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,即两曲线

交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为
?4 ? ? ?

0

( x-x+2)dx=

?2 3 1 2 ??4 16 ? x - x +2x??0= . 3 ?3 2 2 ??

16 答案: 3

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[题点发散] 1.解:如图所示,由 y= x及 y=-x+2 可得 x=1.由定积分的几何意义可知,由 y= x,y =-x+2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为
?1 ? ? ?

0

2 3 xdx+ (-x+2)dx=3x 2 1
?2 ? ? ?

? ?1 ?0 ?

? x2? ? 7 ?2 ? ? + 2x- 2 ? 1= . 6 ? ? ?
m2 0

2.解析:S= ? m=2. 答案:2
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m 0

2

(m-

? ? 2 3 2 x)dx=?mx- x ? 3 ? ?

2 3 8 =m -3m =3,所以
3

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? ?y= x, 3.解:由? ? ?y=2-x

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得交点 A(1,1).

? ?y=2-x, 由? 得交点 B(3,-1). 1 y=-3x ? ? 故所求面积 S=
?1? ? ? ? ?

0?

?3? 1 ? 1 ? ? ?2-x+ x?dx x+3x?dx+? ? 3 ? 1? ?

?2 3 ? 1 2? ? 1 2? ? 3 ?1 2 ?2x- x ? ? =? x + x ? ? + ?1 0 3 ? ? 6 ? ? ? ?3

2 1 4 13 =3+6+3= 6 .
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考点三 [ 典题例析 ] 25 解析: 由 v(t) = 7 - 3t + = 0 ,可得 t = 1+t 4 s,此期 dt =

? ? 8 4?t=-3舍去?,因此汽车从刹车到停止一共行驶了 ? ?

间 行 驶 的 距 离 为

?4 ? ? ?

0

v(t)dt = 5.

?4 ? ? ?

? 25 ? ? ? 7 - 3 t + 1+t? 0 ? ? ?

? ? ? 32 4 ?7t- t +25ln?1+t?? ? ?0=4+25ln 2 ? ? ?

答案:C

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[演练冲关] 解析:由题意知,力 F(x)所做的功为 W= F(x)dx= 5dx+ (3x+4)dx
0 0 2
?4 ? ? ? ?2 ? ? ? ?4 ? ? ?

?3 ?3 ?? ?3 2 ? ? 2 2 ?4 =5×2+?2x +4x? ? 2=10+? ×4 +4×4-?2×2 +4×2?? ? ? ?? ? ? ?2

=36(焦). 答案:36

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