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从高考题谈解题的情景转换


uuuu v BEF 的一个法向量 . 同 理 可 证 D1 B 为平面 CEF 的一个法向量. ∵ B(0,1,0) , C (0,0,0) , A1 (1,1,1) , D1 (1,0,1) , uuuu v uuuu v ∴ A1C = ( ?1, ?1, ?1) , D1 B = ( ?1,1, ?1) . uuuu v uuuu v uuuu v uuuu v A1C ? D1 B 1 ∵ cos < A1C , D1 B >= uuuu = , v A1C D1 B 3 uuuu v uuuu v ∴ < A1C , D1 B >= arccos(1/3) . uuuv 又由 BC = (0, ?1, ?0) 得 uuuv uuuuv uuuv uuuu v BC ? A1C = 1 > 0, BC ? D1B = ?1 < 0 , 可知所求二面角与其法向量夹角互补 ∴二面角 B ? EF ? C 的大小为 z 1 E π ? arccos . 3 例 3 如图,已知正方 M F 形 ABCD 和矩形 ACEF B C y 所在的平面互相垂直, AB = 2, AF =1, M 是线 D A x 段 EF 的中点. (I)求证 AM ⊥ 平面 BDF ; ( Ⅱ ) 求二面角 A ? DF ? B 的大小 .(2004 高考浙江卷) 解 (I)略. (II)如图建立空间直角坐标系以 C ? xyz , 则 A( 2, 2,0), B(0, 2,0), M ( 2 2 , ,1) ,由 (I) 2 2

从高考题谈解题的情景转换
福建莆田第一中学 林炳宗 黄天华

匈牙利数学家路莎?彼得曾经说过:“数 学家们往往不是对问题进行正面攻击 ,而是 不断地将它变形 ,直到把它转化为能够得到 解决的问题”.这就是说运用转化方法把新问 题归结为已经解决的问题 ,是数学家们处理 问题时惯用的思维方式 ,我们应该学习掌握 这种思维方式去解决问题. 在数学解题中 ,有 时会出现问题的情境比较陌生、复杂或模糊 , 从而导致解题思路不清或受阻中断的情形 . 这时 ,不要死钻牛角尖 ,而应灵活运用所学的 知识和方法 ,通过适当,巧妙的转换处理,把问 题的情境转换为熟悉、简单、清晰的情景,再 进行具体求解 ,本文以历年高考题为例 ,说明 相关的情境转换策略. 1 类比转换 类比转换就是 ,通过对两个或两类对象 进行比较 ,找出它们之间在某关系或性质上 的相同点或相似点 ,以此为依据. 推测它们在 另外的关系或性质上 , 也有相同或相似的结 论 ,数学学习中常见的有: 特征类比 ,结构类比 等. 例 1 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,对任意 x, y ∈ R 都 有 f ( x + y) + f ( x ? y) = 2 f ( x) f ( y) , c 且存在 c ∈ R+ ,使 f ( ) = 0 ,试问 f ( x) 是不是 2 周期函数?如果是 ,求出它的一个周期 ;如果不 是,说明理由. 分 析 乍看本题 ,情境新颖陌生 ,但仔细联 想,就会发现本题情境与学生熟识的“余弦函 数 f ( x) 的全部条件” ,于是推测在另外的性质 f ( x) 与 cos x 也类似,因此猜想 f ( x) 是周期函 数,它的一个周期可能是 2c. 下面给以证明:

uuuuv 2 2 可知 AM = ( ? ,? ,1) 为平面 BDF 的法 2 2 向量, 又∵ AF ⊥ AB, AB ⊥ AD, AF I AD = A , ∴ AB ⊥ 平面 ADF , uuu v ∴ AB = ( ? 2,0,0) 为平面 ADF 的法向 量, uuuuv uuu v uuuuv uuu v AM ? AB 1 v = , ∴ cos < AM , AB >= uuuuv uuu | AM || AB | 2 uuuu v uuu v ∴ < AM , AB >= 60 ° . uuu v 又由 AB = ( ? 2,0,0) 得 uuu v uuuuv uuu v uuu v AB ? AM = 1 > 0, AB ? AB = 2 > 0 . 可知所求二面角与其法向量夹角相等, ∴二面角 A ? DF ? B 的大小为 60°. ?26?

令x=t+

c c , y + 代入已知等式,得: 2 2

3 等价转换 等价转换是指待解命题 A 运用适当的方 法转化与其同真同假的等价命题 B,通过解决 命题 B 而达到解决命题的一种解题方法 ,数 学解题中 ,常见的有 ,逆否命题等价转换,一一 对应法 ,条件等价法 ,方程的同解变形 ,不等式 的同解变换,定义法等价转换等法. 例 3 (2001 年高考题)若定义在区间(-1,0) 内的函数 f ( x) = log 2a ( x + 1) 满足 f ( x) > 0 ,则 a 的取值范围是( ). A、(0,1/2) B、(1,1/2] 1 C、( , +∞ ) D、(0,+ ∞ ) 2 lg( x + 1) 分 析 因为 f ( x) = log 2a ( x + 1) = , lg2a 所以 f ( x) > 0 等价于 lg( x + 1) 与 lg(2a ) 有相 同的正负性 ; 由对数函数的单调性可知 , 当 x ∈ ( ?1,0),lg(1 + x) < lg1 = 0 , 从 而 f ( x) > 0 等 价于 lg(2a ) < 0 ,得 0 < a < 1 < 1 / 2 . 4 特殊与一般转换 特殊与一般转换是指对于一个待解的一 般问题首先从特殊情况着手 ,以求得问题的 部分解决 ,然后建立一般情况与特殊情况的 某种联系 ,把一般情况转化为特殊情况加以 解决的解题方法. 例 4 (2000 年高考题)已知数列 {cn } ,其中 cn = 2 n + 3n , 且数列 {cn+1 ? pcn } 为等比数列 , 求常数 p . 分 析 一般思路,由等比数列的定义,对数 列 {cn+1 ? pcn } 中任意相邻三项,中间项的平方 等于前后两项之积 ,由此得关于 n 的恒等式 , 然后求解,若注意到对任意 n ∈ N 都成立,对前 三项也成立时 ,问题转化为关于 p 一元二次 方程求 p 值. 设 d n = cn+1 ? pcn , 则 由 已 知 得 d1 = 13 ? 5 p , d 2 = 35 ? 13 p , d3 = 97 ? 35 p ,又已知 {d n } 为等比数列 , 故有 d 22 = d1 d3 , 即 (35 ? 13 p )2 = (13 ? 5 p )(97 ? 35 p ) ,整理得 p 2 ? 5 p + 6 = 0 ,解 得 p =2或 p =3. ?27?

c c c c f [(t + ) + ] + f [(t + ) ? ] 2 2 2 2 c c c = 2 f (t + ) ? f ( ) ,又因为 f ( ) = 0 , 2 2 2 ∴ f (t + c) + f ( t ) = 0 ,即 f (t + c) = ? f (t ) ∴ f ( x + 2 c) = f [( x + c) + c] = ? f ( x + c) = ?[ ? f ( x)] = f ( x) . ∴ f ( x) 是周期函数, 2c 是它的一个周期. 2 数形转换 数形转换是指借助数的精确性来阐明形 的某种属性 ,或者对于所研究的代数问题转 为研究其对应的几何图形使问题获解 ,通过 以“形助数”或以“数解形”,使抽象问题具 体化 ,使复杂问题简单化 ,它在数学解题中具 有极为独特的策略指导与调节作用. 数形转换应用广泛,不仅在选择题、填空 题解答中显示出它的优越性 ,而且在解决一 些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果. 例 2 (2000 年高考题) y 设函数 f ( x) = x2 + 1 ? ax ,其 中 a ≥ 0 ,解不等 式 f ( x) ≤ 1 . 分析 不等式 f ( x) ≤ 1 ,即 x2 + 1 ≤ 1 + ax . 令 f ( x) = x2 + 1 , g ( x) = 1 + ax( a > 0) . 在同一直角坐标系中画出它们的图象 , 如图所示 ,其中 f ( x) 的图象表示双曲线 y 2 ? x2 = 1 ,在 x 轴上方的一支, g ( x) 的图象表示过 定点(0,1)的直线,从图象我们不难看出: 当 a ≥ 1 时,原不等式的解为 x ≥ 0 ; 当 0 < a < 1 时,原不等式的解为 2a 0≤ x ≤ , 1 ? a2 2a 其中 x = 是方程 x2 + 1 = 1 + ax 的 2 1? a 解.

O

x

当 p = 2 时 , d n = cn+1 ? pcn = 3n+1 ,对任意 d n ∈ N , n +1 = 3,{d n } 为等比数列,当 p = 3 时,同 dn 理可得 d n = 2 ,此时 {d n } 也为等比数列 ,所 以 p =2或 p =3.
n +1

补集法、可逆原理法等. 例 6 (1995 年高考题)某地区为促进淡水 养殖业发展 ,把价格控制在适当范围内 ,决定 对淡水鱼养殖提供政府补贴 . 设淡水鱼市场 价 x 元/公斤 ,政府补贴 t 元/公斤 ,据市场调查 , 在 8 ≤ x ≤ 1 时 ,淡水鱼的日供应量 P 千克与需 求量 Q 千克近似地有: P = 1000( x + t ? 8) ( x ≥ 8, t ≥ 0) , Q = 500[40 ? ( x ? 8) 2 ]1 / 2 , (8 ≤ x ≤ 14) , 称 P = Q 时淡水鱼价为市场平衡价格. ①把市场平衡价表示为政府补贴的函数, 并求此函数的定义域, ②为使市场平衡价不高于 10 元/公斤,政 府补贴每公斤至少多少元? 分析 由 P = Q 有 1000( x + t ? 8) = 500[40 ? ( x ? 8) 2 ]1 / 2 , (*) 4 2 50 ? t 2 , 可解得: x = 8 ? t ± 5 5 由于 x ≥ 8, t ≥ 0 ,所以函数表示式为 4 2 x =8? t + 50 ? t 2 , 5 5 欲求函数的定义域,按常规思路应由 4 2 8 ≤ x ≤ 14 ,即由 8 ≤ 8 ? t + 50 ? t 2 ≤ 14 ,解 5 5 出 t 的范围,这显然很繁琐. 事实上 ,对于严格单调的函数 ,如果给出 了值域 ,利用单调性就可以求出定义域 ,而函 4 2 数x =8? t + 50 ? t 2 在 t ∈ [0,5 2] 上是单 5 5 调减函数 ,故当 x = 8 时, t 应有最大值 ,将 x = 8 直接代入等式 (*);可方便地求出 t = 10 ,而 t 的 最 小 值 显 然 为 0, 故 函 数 的 定 义 域 为 t ∈ [0, 10] . 对于 (2), 有 8 ≤ x ≤ 10 ,同理 ,当 x = 10 时 , t 最小 ,将 x = 10 代入等式 (*), 可求得 t = 1 ,故政 府补贴每公斤至少 1 元. 7 不等价转换 两个命题 A 和 B 不等价 ,若 A ? B 则称

5 动静转换 动和静是事物状态表现的两个侧面 . 在 数学中 ,一方面动和静在一个参照系统中是 相对的 ,可以转化的. 另一方面 ,对于同一事物 可以追寻形成静止状态以前的运动过程 ;或 者反过来 ,从运动表现中推出事物将会达到 的相对静止局面.因此 ,在解决数学问题时 ,可 用动的观点来处理静的数量和形态 ,即以动 求静 ;也可以用静的方法来处理运动过程和 事物,即以静求动. 例 5 如图 ,等腰直角三角形△ ABC 中 , ∠ABC = 90 ° , AB = BC = a ,现将△ ABC 置于 平 面 , 使 边 AB 的 两 端 A 与 B 分 别 在 直 角 MON 的两边 OM 与 ON 上滑动 ,求 OC 的最 大值和最小值. C 分析 以 O 为原点, N P OM 为 x 轴建立坐标系 B 后,若设 C ( x , y ) ,用 OC O' M 2 2 = x + y 求解则较麻 A O Q 烦.若固定 A 、 B ,使坐 标系转动,则原点 O 的轨迹是以 AB 为直径的 圆,记圆心为 O ' ,知 O ' 是 AB 的中点. 这样 OC 的最大值即是连 CO ' 交轨迹圆 于 Q 时的 | OC | max =| QC |= ( 5 + 1)a / 2 ,同理可 知, | OC | max =| QC |= ( 5 ? 1)a / 2 . 6 正反转换 正反转换是指解题时 ,顺推不行时考虑 逆推 ,正面直接解决不行时考虑从其反面来 间接解决 ,探讨可能性发生困难时转换为探 讨不可能性. 总之 ,当我们反复思考某个问题 陷入困难时 ,逆向思维会使人顿开茅塞 ,绝境 逢生.在中学数学中,正反转换常用有反证法、 ?28?

A 是 B 的强不等价命题 ,称 B 是 A 的弱不等 价命题 . 不等价转换是把得解命题 A 运用适 当方式转化为它的强不等价或弱不等价命题 B ,通过解决命题 B 而达到解决命题 A 的一 种解题方法 . 不等价转换要对所得结论进行 必要的修正 ,其过程是充分或必要的 ,以便找 到问题的突破口. 例 7(2001 年高考题)已知 i , m , n 是正整数, 且 1 < i ≤ m < n ,证明: ni pm i < mi pn i . p i pi 分析 结论等价于: mi < n m ni pmi m m ? 1 m ? 2 m ? i + 1 又 = ? ? L , mi m m m m pni n n ? 1 n ? 2 n ? i + 1 = ? ? L . ni n n n n 由于 m < n ,对整数 k = 1,2,L i ? 1, 有 n?k m?k > , n m p i pm i 所以, n > i ,即 mi pn i > ni pm i . ni m 总之 , 转换是分析和解决数学问题中的 一种重要的思维策略 ,在教学中 ,要持之以恒 地引导学生进行多角度 ,全方位的思考 ,培养 其“转换”意识和能力,这样,学生灵活分析和 解决问题的能力定会不断提高 . 同时也可有 效地培养了学生的发散思维能力和求异思维 能力,强化了创新精神和创新意识的渗透. 参考文献
[1] 张同君主编.中学数学解题研究.东北师范大学出 版社. [2] 马忠林主编.数学思维理论(新版).广西教育出版 社. [3] 教育部考试中心“高考内容,形式与能力考查” 课题组编.数学——历年高考试题精选解析.中国 人民大学出版社. [4] 明知白主编.3+ x 高考导练.数学中国致公出版社. [5] 李再湘编著.中学理解教师科研论文导写.湖南师 范大学出版社.

善于观察分析,   巧解整除问题例谈  
福建龙岩高级中学 叶寿坤

整除问题是数学分支中古老的问题之一, 也是中学数学教学过程中对学生进行思维训 练、知识整合、培养观察、推理能力、拓宽 数学问题解题思路的生动素材之一. 现有教材中常见的整除习题,一般采用 因式分解方法 ,添加因子的方法或数学归纳 法予以证明 ,解题思路比较明确. 但对一些特 殊命题 ,若不引导学生认真观察题目中内在 的数量关系 ,借助学生已有的知识和经验 ,是 较难解决的. 本文例举几道整除证明问题 ,说 明如何引导学生认真观察、培养学生的创造 思维 ,提高解题能力. 以达到举一反三 ,促进学 生思维水平发展,培养能力的目的. 例 1 求证: 73|8n + 2 + 92 n +1 . 分析 从题面上,不容易看出常数 73 与 8、 9 的联系,但 8n+ 2 + 92n+1 = 64× 8n + 9 × 81n ,引导 学生仔细观察,学生凭着直觉可以发现 64+9=73,再仔细观察  81n ? 8n   = (81 ? 8)(81n ?1 + 81n ? 2 ? 8 + L + 8n ?1 )   = 73(81n ?1 + 81n ? 2 ? 8 + L + 8n ?1 ) 于是,就可以借助添加因子的方法获证. 8n+ 2 + 92n+1 = 64 × 8n + 9 × 81n = 73 × 8n ? 9 × 8n + 9 × 81n = 73 × 8n + 9 × (81n ? 8n ) = 73 × 8n + 9 × (81 ? 8)(81n ?1 + 81n ? 2 × 8 + L + 8n ?1 )
= 73 ×[8n + 9 × (81n ?1 + 81n ?2 × 8 + L + 8n ?1 )]

∴ 738n+ 2 + 92n+1 . ?29?


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