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1.2.1任意角的三角函数.ppt1


1.2.1任意角的三角函数

复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c
a

sin? ?
cos? ?
tan? ?

O

?
b

M

a c b c a b

新课

引入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b
2 2

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

y

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思探究 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)


M

?
O

M?

x

MP M ?P? sin ? ? ? OP OP ? ? OM ? OM cos? ? OP ? OP MP ? M ?P? tan? ? OM ? OM

?OMP ∽ ?OM ?P?

能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢?

若 OP ? r ? 1,则 以原点为圆心,以单位
Y

长度为半径的圆叫做 单位圆.

P(a,b)

MP sin ? ? OP
OM cos? ? OP

?b

?
O M X

?a b MP tan? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y ? 的正切,记作tan? ,即 tan ? ? ( x ? 0) (3) 叫做
x
y

α的终边

﹒ ? P ? x, y
O

x 所以,正弦,余弦,正切都是 以角为自变量,以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将他们统称为三角函数.

A?1,0? x

思考:终边相同的角的三 角函数值一定相等吗?

实例剖析

1 3 例1:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 P ( ? , ) 2 2
求角α的正弦、余弦和正切值。 解:根据任意角的三角函数定义:

y
1 3 P(? , ) 2 2

3 sin ? ? 2
tan? ? ? 3

1 cos? ? ? 2

O

x

点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标, 则可直接利用定义求三角函数值。

例2

5? 求 的正弦、余弦和正切值. 3
1 ? 3 ( , ) 2 2

5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作?AOB ? 3

的终边与单位圆的交点坐标为

y
5? 3

5? 5? ? 3 5? 1 tan ? ? 3 所以 sin cos ? ? 3 2 3 2 3

o



A

x

﹒B

5? 4? 换成 呢? 3 3

点评:若已知角α的大小求三角函数值时,可先求出角α 终边与单位圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。

思考:若点P(x,y)为角α终边上任意一 点,那么sinα,cosα,tanα对应的函数 值分别等于什么?

若点P( x, y )到原点的距离为r ? x ? y ,则
2 2

y

P ? x, y ? ﹒

y sin ? ? r
y tan ? ? x

x cos ? ? r

o

?


M

x

例3:已知角a终边上一点的坐标为P(-4,-3),
求角a的各个三角函数值。
解:因为x=-4,y=-3,

?r ?

?? 4? ? ?? 3?
2

2

? 25 ? 5

y 3 ? sin a ? ? ? r 5 x 4 cos a ? ? ? r 5

y 3 tan a ? ? x 4

练习:已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0 ?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0?
2 2

?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2 ? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17a 17 ?15a 15

探究:

1.三角函数的定义域 三角函数

sin ? cos? tan?


定义域

{? | ? ?
y

R R?
2



? k? , k ? Z }
y

( (

?) ?

y

2.三角函数值在各象限的符号

?

sin ?

o )(

?

x )

? )( ? ) ?cos?
o )( x ?)

?) ( ?)
? tan? ?
o ) ( x )



归纳总结

本节课主要学习了那些内容?
①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.

2 ? 1、角?的终边落在y=-x上,则sin ? =______ 2
cos x tan x 2、函数y = + ? 的值域为() D sin x cos x tan x sin x

当堂检测:

A.?0?

B.?3?

C.??1?

D.?3, ?1?

4 3、若点P ? ?3, y ? 是角? 终边上的一点,且 sin ? ? ? , 5 则y ? ______ ?4

课后作业

课本第15页,练习第1题 和第20页习题1.2 A组 第2题

例4 求证:当下列不等式组成立时,
角 ? 为第三象限角.反之也对。

证明:

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限.

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0

① ②

因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

课内练习
终边相同的角的同一三角函数的值是否相等?

sin(? ? k ? 2? )=sin ? ,
cos( ? ? k ? 2? )=cos? , tan(

? ? k ? 2? )=tan ?,

(其中k? z) 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2 ? (或00-3600)角的三角函数值.

课内练习

例5.确定下列各三角函数值的符号:
⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4);

⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;
练习2.

已知sinθ<0且cosθ>0,确定θ角的象

限.

思考:若点P(x,y)为角α终边上任意一 点,那么sinα,cosα,tanα对应的函数 值分别等于什么?
定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0 y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r
r
x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r y y ? ③ x 叫做 的正切,即 tan ? ? ?x ? 0 ? x 任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

练习1. 已知角 ? 的终边过点 P 求

?? 12,5?
? 52 ? 13



?

的三个三角函数值.
2 2

解:由已知可得:

r? x ?y ?
y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

?? 12?

2

x 12 cos ? ? ? ? r 13


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