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导数的应用问题精选试题及答案


导数的应用问题精选试题答案
1. 已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。
2

2. 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 3 2

其中 a>0.

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) a=1 时, 当 设函数 f (x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M , (t) 最小值为 m ,记 g(t)=M(t)-m(t), (t) 求函数 g(t)在区间 [?3,?1] 上的最小值。

1

3. 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

2

4. 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值. 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取得极值

故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x 3 ? 12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ? 12

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。 由 此 可 知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处 取 得 极 大 值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处 取 得 极 小 值

f (2) ? c ? 16 由题设条件知 16 ? c ? 28 得 c ? 12 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ? 16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4
5. 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 【解析】 (方法一) f ( x) ? ax ? (I) 当且仅当 ax ? 1( x ?

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a, b 的值。 2

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a

II)由题意得: f (1) ?

3 1 3 ? a? ?b ? , ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? , ② ax a 2
3

由①②得: a ? 2, b ? ?1 。

6. 已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在 ? 0,1? 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)= f(-x)- f′(x),求 g(x)在 ? 0,1? 上的最大值和最小值。 【答案】 【解析】

7.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) ,( x 2 , f ( x 2 )) 的直线 l 与 x 轴的交点在曲 线 y ? f (x) 上,求 a 的值。

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