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哈尔滨工大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习:函数概念与基本处等函数I


哈尔滨工程大学附中 2014 三维设计 高考数学一轮单元复习精品练习: 函数概念与基本处等函数 I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 一项是符合题目要求的) 1.函数 f ( x) ? x cos x2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为( A.4 B.5 C.6 【答案】C ) D.7 为 [?1,

0) ? (0,1] , 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中,只有

2.已知奇函数 f (x) 的图象是两条直线的一部分(如图所示) ,其定义域 则不等式 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集是( )

A. C.

?x | ?1 ? x ? 1且x ? 0?
?x | ?1 ? x ? 0?
)

1 ? ? 或0 ? x ? 1? 2 ? ? 1 ? ? D. ? x | ?1 ? x ? 0或 ? x ? 1? 2 ? ?
B. ? x | ?1 ? x ? ?

【答案】B 3.下面不等式成立的是( A. C.

log 3 2 ? log 2 3 ? log 2 5
log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 5

B. D.

log 3 2 ? log 2 5 ? log 2 3
log 2 3 ? log 2 5 ? log 3 2

【答案】A 4. 已知二次函数 取值范围为( A. ) B. 满足: , 则 的

C. 【答案】C
x

D.

5.根据表格中的数据,可以断定方 程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是(

)

m

A. ( -1,0) 【答案】C 6.计算 ? ?

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

?

2 2 ? 的结果是( ? ?
B.2

4 3

) C.

A. 2 2 【答案】B

2

D. 2

2
2

7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15 x 和 L2=2 x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大 利润为( 【答案】B 8.若 log 1
2

) B.45.6 ) C. 0 ? x ? C.45.56 D.45.51

A.45.606

x ? 1,则 x 的取值范围是(
1 2
B. x ?

A. x ? 【答案】C

1 2

1 2

D.

x?0

9.已知方程|x-2n|=k x(n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范 围 是( ) A.k>0 C. 1 1 <k≤ 2n+1 2n+1 B .0<k≤ 1 2n+1 D .以上都不是

【答案】B

.. 10. 以下四个函数图像错误的是(

)

【答案】C 11.方程 2 x ? x ? 4 ? 0 的解所在的区间为( A. ? 1 ,0) ( 【答案】C 12.下列各组函数是同一函数的是( ① f ( x) ? )
[来源:学科网 ZXXK]

) C. (1,2) D. (2,3)

B. (0,1)

?2 x 3 与 g ( x) ? x ?2 x ;② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ;
m

③ f ( x) ? x 与 g ( x) ?
0

1 2 2 ; ④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。 0 x
B. ①③ C. ③④ 共 90 分) D. ①④

A. ①② 【答案】C

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间
2

?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围

为 【答案】

.

?? ?,?3?


14.若 x, y 为正实数,且满足 x ? y ? 20 ,则 lg x ? lg y 的最大值等于 【答案】2

15.根 据表格中的数据,可以判定函数 f ? x ? ? ln x ? x ? 2 有一个零点所在的区间为

? k , k ? 1? ? k ? N * ? ,则 k 的值为



【答案】3 16.若关于 x 的方程 ln x ? ax ? 0 只有一个实根,则实数 a ? 【答案】

1 e

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤)

? 1 ?1 ? x , x ? 1 ? 17.已知函数 f ( x) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1 ?x ?
(1)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,求

1 1 ? 的值. a b

(2)是否存在实数 1 ? a ? b , 使得函数 y ? f (x) 的定义域、 值域都是 [a, b] , 若存在, 则求出 a, b 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)因为 x 因为 0 ?

? 1时, f ( x) ? 1 ? ,所以 f (x) 在区间 [1,??) 上单调递增,
1 ? 1 ,所以 f (x) 在区间(0,1)上单调递减. x
[来源:学科网 ZXXK]

1 x

x ? 1 时, f ( x) ?

所以当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,有 0 ? a ? 1, b ? 1 , 所以

1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ,故 ? ? 2 ; a b a b
因为当 1 ? a ? b 时, f (x) 在区间 [a, b] 上单调递增,

(2)不存在.

m

所以 x ? [a, b], f ( x) 的值域为 [ f (a), f (b)] ; 而 f (a) ? 1 ?

1 1 1 ? f ( x) ? 1 ? ? f (b) ? 1 ? ? 1 ? a , a x b

所以 f (x) 在区间 [a, b] 上的值域不是 [a, b] . 故不存在实数 1 ? a ? b ,使得函数 y ? f (x) 的定义域、值域都是 [a, b] 18.设 f ?x ? ? 3ax ? 2bx ? c. 若 a ? b ? c ? 0
2

f ?1? ? 0 ,求证:

(Ⅰ) a

? 0且?2 ?

b ? ?1 ; a

(Ⅱ)方程

f ?x ? ? 0 在 ?0,1? 内有两个实根.

【答案】 (I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a

[来源:学科网]

(II)函数 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (?
2

b 3ac ? b 2 , ), 3a 3a

在 ?2 ?

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . 3 a 3 3a 3

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a

b b ) 上单调递减,在 (? ,1) 上单调递增, 3a 3a b b 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ? ) 与 (? ,1) 内分别各有一实根。 3a 3a
又因为 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 在 (0, ?
2

故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根. 19.已知函数 f ( x) ? ? x ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?5 ,且 f (x) 在区间 (??,2] 和区
2

间 [2,??) 上分别单调。 (Ⅰ)求 f (x) 解析式;

? f ( x), x ? 0, 求 F (2) ? F (?2) 的值。 ?? f ( x), x ? 0, 【答案】 (Ⅰ)∵ f (?1) ? ?5 , ∴ f (?1) ? ?1 ? lg a ? 2 ? lg b ? ?5 。 ① 又∵ f (x) 在区间 (??,2] 和区间 [2,??) 上分别单调, ∴ f (x) 的对称轴为 x ? 2 ,
(Ⅱ)若函数 F ( x) ? ?

m

lg a ? 2 ? 2 。② 2 由②得, a ? 100 。 把 a ? 100 代入①得 b ? 1 , f ( x) ? ? x 2 ? 4 x 。 ? f ( x), x ? 0, (Ⅱ)∵ F ( x)? ?? f ( x), x ? 0, ∴ F (2) ? f (2) ? 4, F (?2) ? ? f (?2) ? 12 , ∴ F (2) ? F (?2) ? 16 。


b ? 2x 20.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x 是奇函数。 2 ?a
(1)求 a, b 的值; (2) 用定义证明 f (x) 在 ?? ?,?? ?
2

上为减函数;
2

(3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。 【答案】 (1)?

f ( x)为R上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1.
经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.

又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1.
(2)任取 x1 , x2

? R, 且x1 ? x2 则
1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )( 2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )( 2 x1 ? 1) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)
[来源:学科网 ZXXK]

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

=

2(2 x2 ? 2 x1 ) (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
(3)?

t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,

? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )
? f (x) 为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 . 即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而

1 1 1 1 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? ? ? . ?k ? ? . 3 3 3 3
21.已知 a>0 且 a ? 1 ,关于 x 的不等式 a
x

? 1 的解集是 ?x | x ? 0? ,解关于 x 的不等式
m

1 log a ( x ? ) ? 0 。 x
【答案】? 关于 x 的不等式 a ∵ log a ( x ?
x

? 1 的解集是 ?x | x ? 0?,? a ? 1 ,

1 1 ) ? 0,? log a ( x ? ) ? log a 1 x x

? 1 () ?x ? x ? 0 1 ? ∴? ? x ? 1 ? 1 ( 2) ? x ?
由(1)得

x2 ?1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; x

由(2)得

x2 ? x ?1 1? 5 1? 5 或0 ? x ? ; ? 0 ,解得 x ? x 2 2 1? 5 1? 5 ) ? (1, ). 2 2
, g ( x)

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴原不等式的解集是 (?1,

22.已知函数

f ( x) ? 3 x ,且 f (a ? 2) ? 18

? 3a x ? 4 x

的定义域为区间

[ 0 ,1],
(1)求 g (x ) 的解析式; (2)判断 g (x ) 的增减性. 【答案】 (1)?

f ( x) ? 3 x 且 f (a ? 2) ? 18

? 3a?2 ? 18 ? 3a ? 2 ? g ( x) ? 2 x ? 4 x
10、由 设

x ? [0,1]

g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 x ? (2 x ) 2

t ? 2x


? x ? [0,1] ?t ? [1,2]
g (t ) ? t ? t 2



1 1 g (t ) ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? 2 4



g (t ) 在 [1,2] 上单调递减,



t ? 2 x 在 [0,1] 上是递增
m



g ( x) ? 2 x ? 4 x 在 [0,1] 上递减。

m


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